1.1.1 空间向量及其运算-2024-2025学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.1 空间向量及其运算 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 1．理解空间向量的概念，空间向量的共线定理、共面定理及推论. 2．会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算. 1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解. 2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.. 课前预习 预习01 空间向量的有关概念 1.空间向量的定义 在空间，像位移、力、速度、加速度这样既有 又有 的量，叫作空间向量. 2.空间向量的表示 空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条 来表示. 3.空间向量的线性运算 (1)空间向量的加法、减法与数乘运算的意义，如图. ＝＋＝a＋b； ＝－＝a－b； ＝λa(λ∈R). (2)空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律： 运算律(其中λ，μ∈R) (1)交换律：a＋b＝ ； (2)结合律：(a＋b)＋c＝ ，λ(μa)＝ ； (3)分配律：(λ＋μ)a＝ ，λ(a＋b)＝ ． 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算. 预习02特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定 的向量叫做零向量，记为0 单位向量 的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度 而方向 的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量 ，即对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向 且模 的向量称为相等向量．在空间， 且 的有向线段表示同一向量或相等向量 预习03共线向量及共线向量定理 1． 空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 2．方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa，我们把与向量a 的非零向量称为直线l的 . 3．向量和直线平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l ，那么称向量a平行于直线l. 4．向量和平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平面α. 5．共面向量： 同一个平面的向量，叫做共面向量． 6．空间向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 知识讲解 知识点01空间向量的有关概念 1．空间向量 （1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． （2）长度或模：空间向量的大小． （3）表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或． 2．几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 【特别注意】解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 （1）关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． （2）注意点：注意一些特殊向量的特性． ①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性． ②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1． ③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量． 知识点02空间向量的线性运算 （1）向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 a＋b 减法 a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) （2）空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 a．结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a． b．分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb． 【特别注意】空间向量加法、减法运算的