第十四讲 找规律-（思维拓展讲义）六年级数学尖子生高分题库（通用版）

第14讲 找规律 ( 知识概述 ) 一些数列或者图形题目，它们的计算或者排列常有一定的规律,经过观察、思考和试算,发现数与数、图形与图形相互之间的关系,寻找出其中的规律,最后利用规律求出题目的答案 ( 例题 精 学 ) 例1 观察分析下面这串分数的变化规律: ，，，，，，，，，，，，，，，，…… 求:(1)是第几个分数? (2) 第400个分数是几分之几? 解 (1) 分母是1的分数有1个:; 分母是2的分数有3个:，，; 分母是3的分数有5个:，，，，; 分母是4的分数有 7个:，，，，，，; 依此类推，分母是5,6,7,8,9的分数个数分别是9个,11个,13个,15个,17个。分母是 1,2,3,4,5,6,7,8,9的分数的个数为:1+3+5+7+9+11+13+15+17=81(个)。分母为10的分数一共有19个，应该是分母为10的分数中的第7个和第13个。81+7=88,81+13=94,所以是第 88个和第94个分数。 (2)分母是1,2,3,4,5,6,7,8,9,……的分数的个数分别为1,3,5,7,9,11,13,15,17,……试算一下,分母从1到19,分数的个数共有1+3+5+……+35+37=361(个),从第362个开始是分母为 20的分数，分母为20的分数共有39个,361+39=400，第400个分数正好是分母为20的分数中的最后一个,所以第400个分数应该是。 【思路点拨】这串分数中分母是1的分数有1个分母是2的分数有3个，分母是3的分数有5个,分母是4的分数有 7个......这一串分数中分子的排列也很有规律,像“上坡下坡”一样,如分母是2的3个分数的分子依次为1,2,1,分母是3的5个分数的分子依次为1,2,3,2,1,… ( 例题 精 学 ) 例2 有甲、乙两个水杯,甲杯有水1千克,乙杯是空的。第一次将甲杯里水的倒入乙杯里，第二次又将乙杯里水的倒人甲杯里，第三次又将甲杯里水的倒入乙杯里，第四次又将乙杯里水的倒入甲杯里……这样来回倒下去,一直倒了2023次后,甲杯里的水还剩多少千克? 解 从上表中可以发现这样的规律:倒过奇数次之后,甲杯中的水与乙杯相等,2023是奇数,所以第2023次后,甲杯中的水仍然是千克。 答:甲杯中的水还剩千克。 【思路点拨】要计算倒了2023次后甲杯里的水还剩多少千克,需要计算的步骤太多了,我们可以先试着算一算前几次倒过水以后的结果,看能不能找出规律。可以把前几次的倒水结果列成下面的表格: 次数 甲杯中的水(单位:千克) 第一次 1x(1-)=(与乙杯相等) 第二次 x(1+)= 第三次 x(1-)=(与乙杯相等) 第四次 x(1+)= 第五次 x(1-)=(与乙杯相等) .... .... ( 例题 精 学 ) 例3 将自然数1,2,3,4，....像下图那样按顺序排列起来,在最上面的一行中,从左到右第100 个数是多少?在最左面的一列中,从上到下第100个数是多少? 1 3 6 10 15 21 2 5 9 14 20 4 8 13 19 7 12 18 11 17 16 解 最上面一行数从左到右的排列规律是: 第1列 a1=1=1; 第2列 a2=3=1+2; 第3列 a3=6=1+2+3; 第4列 a4=10=1+2+3+4; ...... 第 100列a100=1+2+3+4+....+99+100=(1+100)x100÷2=5050。 5050就是最上面的一行中从左到右的第100个数。 最左面一列数从上到下的排列规律是: 第1行 b1=1=1; 第2行 b2=2=1+1; 第3行 b3=4=1+1+2; 第4行 b4=7=1+1+2+3; ...... 第100行 b100=l+1+2+3+...+99=1+(1+99)x99÷2=4951。 通过观察还可以发现，最左面一列的每个数与最上面一行之间有一种对应关系,那就是: 第1行b1=1=1; 第2行b2=2=1+1=a1+1; 第3行b3=4=3+1=a2+1; 第4行b4=7=6+1=a3+1; .... 第n行 bn=an-1+1。 知道了an-1是多少,就能求出bn是多少。要求最左面一列的第100个数b100,应该先求出a99；a99 =a100-100=5050-100=4950。所以b100=a99+1=4950+1=4951。 【思路点拨】 最上面一行数从左到右的排列规律是： 第一个数是1,然后不断地加2、加3、加4.....最左面一列数从上到下的排列也有规律:第一个数是1,然后不断