第十九讲 立体图形2-（思维拓展讲义）六年级数学尖子生高分题库（通用版）

六年级奥数 第19讲 立体图形2 ( 知识概述 ) 一个长方形，以它的一条边为轴旋转一周生成的几何体叫做圆柱。圆柱的侧面积等于底面周长与高的乘积。圆柱的表面积是侧面积与两个底面积的和。圆柱的体积等于底面积与高的乘积。如果用r表示底面圆的半径，h表示高，那么: 圆柱的侧面积是：S侧=2πrh; 圆柱的表面积是：S表=2πrh+2πr²; 圆柱的体积是：V=πr²h。 一个直角三角形，以它的一条直角边为轴旋转一周生成的几何体叫做圆锥。圆锥的体积等于底面积和高乘积的。如果用r表示底面圆的半径，h表示高，那么: 圆锥的体积是：V=πr²h。 ( 例题 精 学 ) 例1 有两个棱长都为8厘米的正方体盒子，A 盒中放入直径为8厘米、高为8厘米的圆柱体铁块一个，B 盒中放入直径为4厘米、高为8厘米的圆柱体铁块四个。先在A盒注满水，再把A 盒中的水倒入B 盒，使B 盒也注满水。问：A 盒余下的水是多少? A 盒 B盒 【思路点拨】这道题目要计算A盒和B盒中圆柱体的体积，可以根据两个圆柱底面直径的关系不计算判断。8÷4=2,A盒中圆柱的底面积是B 盒中每个圆柱的底面积的4倍，高又相等，那么A盒和B盒中圆柱体的体积相等。 ( 例题 精 学 ) 例2 有一个如图所示形状的通风管，求这样一个通风管的表面积(单位：厘米)。 【思路点拨】 不是规则的圆柱，不好直接求。用两个完全一样的拼成一个规则的圆柱。原通风管的表面积就是现在圆柱的侧面积的一半。 ( 例题 精 学 ) 例3 一个长方形，长18.84厘米、宽6.28厘米，把这样 一个长方形卷成一个圆柱的侧面，问：怎样卷圆柱的容积最大? 【思路点拨】 有两种卷法，要分析两种情况。 一种情况是长18.84厘米作为底面周长，6.28厘米作为高；另一种情况是宽6.28 厘米作为底面周长，18.84厘米作为高。把这两种情况分别算一算。 ( 例题 精 学 ) 例4 把一个直径为4厘米的圆柱体沿底面直径切开，分成若干等份，然后再拼成一个与它等底等高的近似长方体。这个长方体的表面积增加了40平方厘米，长方体的体积是多少立方厘米? 【思路点拨】先要找出增加的面积在哪儿。长方体六个面中增加的是左右两个面。别忘记长方体的体积等于圆柱的体积。这样就可以求出圆柱的高了。 ( 例题 精 学 ) 例5 一个直角三角形，三条边分别为3厘米、4厘米和5 厘米，把这个直角三角形以4厘米的一条直角边为轴旋转一周，求旋转后图形的体积。 【思路点拨】要求体积，就要知道圆锥的底面半径和高。轴就是高，另一条直角边就是圆锥底面圆的半径。 ( 同步精练 ) 1.一根长1.5米的圆柱体木料，锯掉4分米长的一段后，表面积减少了50.24平方分米，这根木料原来的体积是多少? 2. 一个圆锥和一个圆柱的体积相等，它们的底面半径之比是3:2,圆锥的高是8厘米，圆柱的高是多少厘米? 3.有一长方体木料，长、宽、高分别为6分米、4分米、8分米，把它加工成体积最大的圆柱体，这个圆柱的体积是多少立方厘米? 4.把一个高3分米的圆柱体底面平均分成若干个扇形，然后把圆柱体切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，长方体的表面积比圆柱体的表面积增加120平方厘米，原来圆柱体的体积是多少? 5.把一个圆锥沿底面直径平均分成体积相等、形状相同的两部分，表面积比原来增加了120平方厘米。圆锥的高是10厘米，圆锥的体积是多少? 6.把一张长15厘米，宽12厘米的长方形纸卷成一个圆柱体，圆柱体的容积最大是多少立方厘米?(π的值取 3 ) 7.一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米。在这个杯中放进棱长是6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块。这时水面高多少厘米? 8.一个胶水瓶(如下图),它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈),容积为31.4立方厘米。当瓶子正放时，瓶内胶水液面高8厘米；当瓶子倒放时，空余部分高为2厘米。瓶内胶水的体积是多少? 9.如图，圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水? 10.张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤。今年改用长3米、宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤。问：今年粮囤的容积是去年的多少倍? ( 课后作业 ) 1.把一个棱长为6厘米的正方体削成一个圆锥，求去掉部分的体积。 2.一个圆锥体的容器，高15厘米，底面半径比高少7厘米，容器装满水后，