第十八讲 立体图形1-（思维拓展讲义）六年级数学尖子生高分题库（通用版）

六年级奥数 第18讲 立体图形1 ( 知识概述 ) 长方体和正方体是最简单的立体图形，它们都有6个面，8个顶点，12条棱。长方体和正方体的表面积都是指6个面的面积和。如果用a,b,h 分别表示长方体的长、宽、高，那么: 长方体的表面积是S表=2(ab+ah+bh); 长方体的体积是V=abh。 用a表示正方体的棱长，那么: 正方体的表面积S表=6a²; 正方体的体积V=a³。 长方体和正方体都是立体图形，空间形体的想象能力是小学生的一种重要的数学能力，而立体图形的学习对培养这种能力十分有效。将空间的位置关系转化成平面的位置关系来处理，是解决立体图形问题的一种常见思路。 ( 例题 精 学 ) 例1 一个长方体的棱长总和是60厘米，这个长方体的长、宽、高的比为7:5:3,求这个长方体的表面积和体积。 【思路点拨】要是知道长方体的长、宽、高就好了。长方体的棱长总和是60厘米，结合长、宽、高的比为7:5:3,就可以分别求出长、宽、高了。 ( 例题 精 学 ) 例2 一个长方体的长为8厘米，上面与前面的面积和为72平方厘米，右面的面积是上面面积的一半，求这个长方体的体积。 【思路点拨】 可以画图进行分析。根据图可知，上面与前面的面积和为72平方厘米，那么,宽和高的和为72÷8=9(厘米)。右面的面积是上面的面积的一半，高就是8÷2=4(厘米)。 ( 例题 精 学 ) 例3 从一个棱长为2厘米的正方体的上面正中向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中再向下挖一个棱长为厘米的正方体小洞。现在得到的立体图形的表面积为多少平方厘米? 【思路点拨】 表面积不仅没有减少，反而增加了。每挖一个小正方体就会增加4个侧面的面积。 这个立体图形的表面积就是原正方体的表面 积加上增加的3个小正方体的4个侧面积。 ( 例题 精 学 ) 例4 一个长方体的前面与上面的面积之和为77平方厘米，它的长、宽、高都是整厘米数，且为素数，求这个长方体的表面积与体积。 【思路点拨】由前面与上面的面积之和为77平方厘米可得：长×高+长×宽=77。就是长×(高+宽)=77。根据长、宽、高都是素数，只有11×7=77。只有7可以分拆成两个质数的和，7=2+5。 对!长、宽、高就分别为11、2、5。 ( 例题 精 学 ) 例5 右图是用3个正方体木块堆成的多面体，其中最下面的正方体的棱长为10厘米，而上面的两个正方体下底面的4个顶点分别是其下面正方体上底面各边的中点。那么这个多面体的表面积是多少平方厘米? 【思路点拨】图形太复杂了，一个叠一个。那就从下往上一个一个地算呀! 我发现，把最上面的一个面依次放 到下一个正方体的底面去计算。但是，还有一个问题，就是上面的正方体每个面的面积又是多少呢?就像右图一样，上面正方体每个面的面积等于下面正方体每个面面积的一半。那么,中间正方体每个面的面积是50平方厘米，最上面正方体的每个面的面积就是25平方厘米。 ( 同步精练 ) 1.用4个同样的正方体拼成一个长方体(如右图),表面积减少了32平方厘米，每个小正方体的体积是多少立方厘米? 2.一个长方体，宽增加5厘米后就变成了正方体，表面积增加了160平方厘米。这个长方体的体积是多少? 3.有一个长方体的盒子，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米，往这个盒子里放长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，最多能放几块? 4.在棱长为5厘米的正方体的上下前后左右六个面的正中位置都挖去一个穿透的孔，孔的横截面是边长为1厘米的正方形，问：挖孔后图形的表面积是多少平方厘米? 5.用三个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体，拼成一个大长方体，有几种拼法?怎样拼，这个大长方体的表面积最小? 6.某巧克力的礼品盒，如右图那样用丝带包装，所用带长分别为365厘米，405厘米，485厘米，每条丝带接头处都重叠5厘米。这个礼品盒子的体积是多少? 7. 一个长方体的盒子，它的正面与上面的面积和为209平方厘米，如果它的长、宽、高都是素数，那么这个盒子的容积是多少(盒子的厚度忽略不计)? 8.一个长方体封闭水箱，长10分米，高4分米，里面水的高度是3分米。如果把这个水箱竖放(如图),那么里面水的高度是多少分米? 9.一根横截面为正方形的长方体木料，表面积为 114平方厘米，锯下一个最大的正方体后，表面积为50平方厘米。求锯下的最大正方体的表面积与体积。 10.从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方体上截下一个最大的正方体，剩下部分的棱长之和最少是多少? ( 课后作业 ) 1.一个长方体木条恰好可以锯成7个完全一样的正方体，锯完后，所有正方体木块表面积之和比原来长方体表面积增加百分