第九讲 抽屉原理1-（思维拓展讲义）六年级数学尖子生高分题库（通用版）

第9讲 抽屉原理1 ( 知识概述 ) 我们来完成这样一个操作:把3本书放入A、B 两个抽屈,看有几种不同的放法。 操作的结果如下表。把表中4种不同的结果用一句话来概括就是:把3本书放入2个抽屉,无论怎么放,必定有一个抽屉里至少有2本书。 生活中这样的例子很多,比如: 把5只苹果放入4个果盘里，那么一定有某个果盘里至少有2只苹果; 13名同学中至少有2人在同一个月份出生; 如果从5双袜子中挑出6只来，那么挑出的6只袜子中必定有2只是配对的; 如果把22个“三好学生”的名额分配给4个班级,那么至少有一个班级分得的名额多于5名; 如果安排15名同学坐到7张长凳上,那么必有一张长凳上至少坐3名同学;上面这些简单的事实，你可能碰见过，也可以验证它。从这些事实中,可以概括出抽屉原理的两条原则。我们先学习第1条原则以及它的应用。 原则1如果把n+k(k≥1)件东西放入n个抽屉那么至少有一个抽屉中有2件或2件以上的东西。 ( 例题 精 学 ) 例1 六年级有31名学生是在9月份出生的，那么其中至少有2名学生的生日是在同一天。为什么? 【思路点拨】 因为9月份有30天,把30天看做30个抽屉,31名学生看做31个苹果。假设每天只有1名同学过生日,30天可以有30名学生不在同一天过生日。 ( 例题 精 学 ) 例2 在长度为2米的线段上任意点11个点，至少有两个点之间的距离不大于20厘米。为什么? 【思路点拨】20厘米就是把 2 米平均分成10段后每段的长度。在20厘米长的线段上任意点两个点。如果这两点处在线段的两个端点上,那么它们的距离为20厘米;如果这两点处在线段的两个端点之内,那么它们的距离小于20厘米:如果这两点中的一点处在线段的端点上,另一点处在线段的两个端点之内那么它们的距离也小于 20 厘米。总之,它们的距离不大于20 厘米。 ( 例题 精 学 ) 例3 任意4个自然数,其中至少有2个数的差是3的倍数。这是为什么? 【思路点拨】 可以先取若干组自然数,每组4个数,试一试,看这个结论是否成立。差是3的倍数的两个数除以3,会发现这样一条规律:如果两个自然数除以3的余数相同,那么这两个自然数的差就是3的倍数。任何一个自然数被3除的余数，有3种情况:0、1或2。根据这3种情况可以把自然数分成3类,即看做3个抽屈。 ( 例题 精 学 ) 例4 (1)从1到100的自然数中,任取52个数,其中必有两个数的和为102: (2)从1到100的所有奇数中,任取27个数,其中必有两个数的和等于 102。请说明理由。 【思路点拨】根据题目中的条件,可以设想要制造的抽屉必须有一个特点,即抽屉中的两个数相加,和一定是102。和为102的两个数有:2+100,3+99,4+98,……,50+52,共49组,看做49个抽屉。还少了两个数1和51,可以单独把它们看做2个抽屉,那么一共有51个抽。 ( 例题 精 学 ) 例5下面画出了3行9列共27个小方格，将每一个小方格涂上红色或蓝色。不论如何涂色,其中至少有两列的涂色方式相同。这是为什么? 【思路点拨】每列有上、中、下3格,这3格中可以任意涂上红、蓝两种颜色。那么，每列的涂色有多少种不同的情况呢?共有2x2x2=8(种)不同的涂色方法。 ( 同步精练 ) 1.数学兴趣小组有38人，老师至少拿多少本书,随意分给大家,才能保证至少有1名学生能拿到2本书? 2.某小学学生的年龄最大的为13岁，最小的为6岁,至少需要从中挑选多少名同学,就一定能使挑出的同学中有两位同学岁数相同? 3.在100米的路段上植树,至少要植多少棵树,才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米? 4.任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数? 5.从1到50的自然数中,任取27个数,其中必有两个数的和等于52。这是为什么? 6.从1、2、3、4，……，10这10个数中,任取多少个数,可以保证在这些数中一定能找到两个数,使其中一个数是另一个数的倍数? 7.从1，2，3，……，12这12个数中,任意取出7个数,其中差等于6的数至少有多少对? 8.有红笔、蓝笔、黄笔、绿笔各两枝,让一位小朋友任意抓两枝，这位小朋友至少抓多少次才能确保他至少有两次抓到的笔的种类完全相同(每抓一次后又放回,再抓另一次)? 9.学校买来历史、文艺、科普三种图书各若干本,每名同学从中任意借两本。那么,至少多少名同学中一定有两人所借图书的种类相同? 10.将一大筐苹果和梨子,分成若干堆。如果要确保找到这样两堆,其中梨子的总数和苹果的总数都是偶数，那么,最少要把这些苹果和梨分成多少堆? ( 课后作业 ) 1.用红、黄两