专题5.3 等边三角形重难点题型归纳-2023-2024学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题5.3 等边三角形重难点题型归纳 【题型1 等边三角形中动点与全等三角形综合问题】 【题型2 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 【题型3 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 【题型1 等边三角形中动点与全等三角形综合问题】 【典例1】如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M． （1）求证：△ABQ≌△CAP； （2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． （3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数． 【变式1-1】如图，以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连接BD、CE，相交于O． （1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由； （2）求出BD和CE的夹角大小，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由． 【变式1-2】（1）如图，在等边△ABC中，N为ABC中，N为BC边上任意一点（不含B、C两点），CM为等边△ABC的外角∠ACK的平分线．若∠ANM＝60°，求证：AN＝NM． （2）如图，在等边△ABC中，N为BC延长线上任意一点，CM为等边△ABC的外角∠ACK的平分线，若∠ANM＝60°，请问AN＝NM是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【题型2 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 【典例2】如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是射线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF． 【问题解决】如图1，点D与点B重合，求证：AE＝FC； 【类比探究】（1）如图2，点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD； （2）如图3，点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？直接写出你的结论． 【变式2-1】如图，等边三角形ABC中，点E是BC上一定点，点D是射线AC上一动点，以DE为边作等边三角形DEF，连接CF． （1）如图1，点D与点A重合，直接写出线段CD、CE、CF之间的数量关系 　CD＝CE+CF　． （2）如图2，点D在AC边上，求证：CD+CF＝CE． （3）如图3，点D在边AC的延长线上，请探究线段CD、CE、CF之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式2-2】如图，在等边三角形ABC中，点E是边CA延长线上一点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF． （1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE＝CF+CD； （2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系，并说明理由． 【变式2-3】如图，在等边△ABC中，点D是边AC上一定点，点E是直线BC上一动点，以DE为一边作等边△DEF，连接CF． （1）如图1，若点E在边BC上，且DE⊥BC，垂足为E，求证：CD＝2CE； （2）如图1，若点E在边BC上，且DE⊥BC，垂足为E，求证：CE+CF＝CD； （3）如图2，若点E在射线CB上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【题型3 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 【典例3】如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是射线AB、射线CB上的动点，点D从点A出发沿着射线AB移动，点E从点B出发沿着射线BG移动，点D、E同时出发并且移动速度相同，连接CD、DE． （1）如图①，当点D移动到线段AB的中点时，DE与DC的长度关系是：DE　　DC． （2）如图②，当点D在线段AB上移动但不是中点时，探究DE与DC之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图③，当点D移动到线段AB的延长线上，并且ED⊥DC时，求∠DEC的度数． 【变式3-1】已知：△ABC是等边三角形，点D是线段AC上一点，作DB＝ED，交BC延长线于点E． （1）求证：AD＝CE； （2）若DC＝4，CE：BC＝1：3，求BE的长度． 【变式3-2】△ABC是边长为2的等边三角形，点P、Q分别从A、C两点同时出发做匀速直线运动，且它们的速度相等．已知点P沿边射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，设PQ与直线AC相交于点D，作PE⊥AC，垂足是E． （1）当点P在线段AB上运动时，求证：2DE＝AC； （2）当点P、Q继续运动时，（1）中的结论还成立吗？若成立，画出图形并证明．如不成立指出DE与AC的关系并说明理由． 【变式3-3】已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC． （1）【特殊情