第七讲 盈亏问题2-（思维拓展讲义）五年级数学尖子生高分题库（通用版）

第7讲 盈亏问题2 ( 知识概述 ) 上一讲，我们讨论了盈亏问题的一般情形，盈亏问题又叫盈不足问题，早在《九章算术》中已有记载《九章算术》于公元前1世纪成书，是中国最重要的数学经典，也是世界古代数学史上一颗璀璨的明珠。这一讲，我们将讨论复杂一些的盈亏问题。 ( 例题 精 学 ) 例1 友爱中心小学师生乘车到公园春游，如果每车坐65人，则有15人不能乘上车;如果每车坐70人，恰好可以少用一辆汽车。问一共有几辆汽车? 有多少人去春游? 【思路点拨】第一种分配方案:“每车坐65人，多15人”，而第二种分配方案只告诉“每车坐 70人，恰好少用一辆汽车”，分配的结果究竟是盈数还是亏数呢?可以这样想:每车坐70人，恰好少用一辆汽车，而这辆车还可以坐70人。这辆车按原定计划开到公园总人数就少70人，也就是可以将这个数看作“亏”。也就是每辆车坐70人，总人数少70人，把第二种分配方案转化为盈亏问题的一般情形。 ( 例题 精 学 ) 例2 少先队员去植树，如果每人挖5个树坑还有3个树坑没人挖;如果其中2人各挖4个树坑，其余的人每人各挖6个树坑，就恰好挖完所有树坑。一共要挖多少个树坑? 【思路点拨】这道题与例1比较相似，关键是要把第二种分配方案转化成盈亏问题的一般情形。 转化第二种分配方案是这道题的关键。可这样想:第二种方案中挖4个树坑的2人，也各挖6个，这样每人就多挖2个，共多挖4个，结果就会多挖4个树坑。第二种分配方案就转化为:每人挖6个，总数就少4个树坑。这样就可以用盈亏问题的方法求出一共挖多少个树坑。 ( 例题 精 学 ) 例3 一些学生搬一批砖，如果每人搬4块，其中5人要搬两次;如果每人搬5块，就有两人没有砖可搬。搬砖的学生有多少人?这批砖一共有多少块? 【思路点拨】 这道题中，两种分配方案都需要转化成盈亏问题的一般情形。第一种分配方案中，若5人第二次不搬砖，砖的总数就多4x5=20(块)。可转化成:每人搬4块，砖的总数就多20块;第二种分配方案中，如最后的2人也想搬砖，砖的总数就少5x2=10(块)。可转化成:每人搬5块，砖的总数就少10块。 ( 例题 精 学 ) 例4 学校规定上午8时到校。王强上学时，如果每分钟走60米，可以提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可以提早8分钟到校。王强应该什么时候离开家?他家离学校多远? 【思路点拨】这是一道行程问题，好像可以用盈亏思路来解决。这道行程问题确实可以转化成盈亏问题来解决。可以这样想:每分钟走60米可提早10分钟到校，也就是到校后到8时为止还可以多走60×10=600(米);每分钟走50米可提早8分钟到校，也就是到校后到8时为止还可以多走50×8=400(米)。在规定的时间内，每分钟走60米，可以多走600米;每分钟走50米，可以多走400米。这样就可以用盈亏问题的解答方法求出答案。 ( 例题 精 学 ) 例5 若干人擦玻璃，其中两人各擦4块，其他人各擦5块，则余12块;若每人擦6块则正好擦完。求擦玻璃人数及玻璃的块数。 【思路点拨】这道题不像我们之前做过的盈亏问题嘛，第一种擦法并不统一，解起来有点困难了。这题需要适当转化一下，就能与前面的例题一样了。如果将“其中两人各擦4块，其他人各擦5块”这一条件改成“若每人都擦 5 块”这样就会余12-(5-4)x2=10(块)。“若每人擦6块，则正好擦完”，可以理解成“盈”0块或“亏”0块。 ( 同步精练 ) 1.五年级同学去划船。如果每条船坐8人，则有24人还留在岸边;如果每条船坐12 人，就多出3条船。问:五年级共有多少人?要租多少条船? 2.学校安排学生到会议室听报告。如果每3人坐一条长椅，则剩下48人没有座位;如果每5人坐一条长椅，则空出2条长椅。参加会议的学生有多少人? 3.同学们给花浇水。如果每人浇8盆，还有7盆花没人浇;如果其中2人各浇4盆，其余的人每人浇9盆,恰好浇完。问:一共有多少名同学?共浇花多少盆? 4.小红买来一篮橘子分给全家人。如果每人分2只则多出8只;如果其中1人分6只，其余每人分4只则缺少12只。小红买了多少只橘子?小红家共有多少人? 5.一些学生分练习本。其中2人每人分6本，其余每人分4本，就会多4本;如果有1人分10本，其余每人分6本，就务少18本。学生有多少人？练习本有多少本? 6.全班同学去划船，如果减少一条船，每条船正好坐9人，如果增加一条船。每条船正好坐6人，全班有多少人? 7.一个学生从家到学校，先用每分钟50米的速度走了2分钟，如果这样走下去，他会迟到8分钟，于是他改用每分钟60米的速度前进，结果早到校5分钟。从这个学生家到学校的路程是多少米? 8.筑路队计划每天筑路720米，实际每天比原计划多筑80米，这样，在规定完成任务时间的3天前，还剩下1160米未筑。这条路有多长