第十一讲 有趣的找规律-（思维拓展讲义）五年级数学尖子生高分题库（通用版）

第11讲 有趣的找规律 ( 知识概述 ) 四年级时我们初步学习了找图形中的规律和找规律填数，本讲我们将进一步探讨较复杂的数列及图形操作中存在的规律。要发现规律，就必须细心观察、动手操作。找到规律后解决问题就方便多了。 ( 例题 精 学 ) 例1 一串数按规律排列如下: 1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，5，6，7,......从第一个数算起，前100个数的和是多少? 【思路点拨】这列数从第一个数起连续加1、加1、减1。再加1、加1、减1....，先找出这一列数排列的规律，再利用规律把它们分组排列:(1，2，3)， (2，3，4),(3，4，5)，(4，5，6)， (5，6，7)，......观察后可以发现:每一组中的第一个数分别是 1，2，3，4，5，......且第几组的第一个数就是几，如第5组第一个数就是5，这样就可以算出每组的和，然后利用等差数列求和公式来求总和。我还发现每组三个数的和等于中间这个数的3倍。100÷3=33(组).....1(个)。说明前100个数共可分为33组还多1个数，即第100个数是第34 组的第一个数，是34。所以此题只要计算前33组数的和加上第34组的第一个数34是多少即可。每一组的和还可以写成中间数乘上3，这样，计算可以更简便些。 ( 例题 精 学 ) 例2 在平面上画1994条直线，这些直线最多能形成多少个交点? 【思路点拨】1994条直线太多，无法画出，更不可能直接去数交点的个数，先从最简单的情形入手，画上几个图，看每幅图的交点情况(如下图)，然后找出规律。 一条直线 两条直线 三条直线 四条直线 0个交点 最多1个交点 最多3个交点 最多6个交点 再将直线条数与交点个数排列成表，从简单的情况来看，是否有规律? 直线数 1 2 3 4 5 …… 交点数 0 1 3 6 10 …… 规律 0 0+1 0+1+2 0+1+2+3 0+1+2+3+4 …… 我知道了，根据表中的规律，1994条直线最多形成的交点数是:0+1+2+3+4+.....+1993 ( 例题 精 学 ) 例3 在一个长方形中，如果没有一条直线，则长方形可以看作一个部分。如果在长方形中画一条直线，这个长方形就被分成两个部分。在长方形中画两条直线最多可以将长方形分成四个部分。如果画三条直线最多可以将长方形分成七个部分(如图)。 如果在长方形中画100条直线，最多可以将长方形分成多少个部分? 【思路点拨】 这道题能否仿照例 2的方法，先从简单的情况入手进行分析?已知长方形中没有直线时，可以看作一个部分;有一条直线时，比原来多1个部分;当有两条直线时，长方形中有 4个部分，比有一条直线时又多了2个部分。经过分析，不难得到以下结果: 直线条数 分成的部分数 规律 0 1 1 1 2 1+1 2 4 1+1+2 3 7 1+1+2+3 …… …… …… 100 当直线为100条时，最多可将长方形分成1+1+2+......+100个部分。 ( 例题 精 学 ) 例4 小明放学回家要路过一个有10个台阶的广场，如果上台阶时每步跨一个或两个台阶，要跨上第10个台阶共有多少种不同的走法? 【思路点拨】这道题的解法也可以像例1、例2一样，从简单的情况入手，一步一步地找出规律。 台阶数 具体走法 规律 1 (1) 1 2 (1,1),(2) 1+1=2 3 (1,1,1),(1,2),(2,1) 1+2=3 4 (1,1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),(2,2) 2+3=5 5 (1,1,1,1,1),(1,1,1,2),(1,1,2,1),(1,2,1,1)(2,1,1,1),(1,2,2),(2,1,2), (2,2,1) 3+5=8 …… …… …… 10 从1,2,3,5,8,......中发现此走法的规律了吗?从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和。只要在 1，2，3，5，8，这列数的后面再排出5个数，则跨上第10个台阶的走法数就是对应这串数的第10个数。 ( 例题 精 学 ) 例5 在方格纸上画折线(如下图)，小方格的边长是1，图中的1，2，3，4，......分别表示折线的第1，2，3，4，......段。求折线中第1994段的长度。 8 4 9 5 1