第4章 因式分解压轴（4个考点40题专练）-2023-2024学年七年级数学下学期考试满分全攻略高频考点+重难点讲练与测试（浙教版）

第4章 因式分解压轴（4个考点40题专练） 一．因式分解-运用公式法（共1小题） 1．（2023春•冷水滩区校级期中）先阅读，再分解因式： ，按照这种方法把多项式分解因式． 二．因式分解-分组分解法（共2小题） 2．（2023春•凤阳县期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：． ①分解因式：； ②若，都是正整数且满足，求的值； （2）若，为实数且满足，，求的最小值． 3．（2022春•吉安期末）请看下面的问题：把分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 人们为了纪念苏菲热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲热门的做法，将下列各式因式分解． （1）； （2）． 三．因式分解-十字相乘法等（共2小题） 4．（2023春•冷水滩区校级期中）已知二次三项式的常数项与的常数项相同，而它的一次项与的一次项相同，试将此多项式因式分解． 5．（2023春•江阴市期中）已知，，，其中． （1）求证：，并指出与的大小关系； （2）阅读对因式分解的方法： 解：． 请完成下面的两个问题： ①仿照上述方法分解因式：； ②指出与哪个大？并说明你的理由． 四．因式分解的应用（共35小题） 6．（2024春•镇海区校级期中）设实数满足，若，则的值为　　 A． B．14 C． D．6 7．（2023春•慈溪市期中）已知，均为正整数且满足，则的最小值是　　 A．20 B．30 C．32 D．37 8．（2024春•浙江期中）已知多项式，，为整数，则的值为 　　． 9．（2023春•沙坪坝区校级期末）若一个四位自然数（其中，，，均为整数，，，，满足，则称为“等和数”，并规定．已知一个四位自然数（其中，，，均为整数，，，且，是“等和数”，且被7除余数为1，则满足条件的的最小值为 　　． 10．（2024春•浙江期中）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．杨老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宋的解题步骤如下： 小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： （1）下列多项式中①；②；③；④是完全平方式的有 　　（请填写序号） （2）若是一个完全平方式，则的值等于 　　为常数）． （3）代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 11．（2024春•浙江期中）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称为，的“和方差数”． （1）求2，的“和方差数”． （2）若两个非零数，的积是，的“和方差数”，求的值． （3）若，，求，的“和方差数” ． 12．（2024春•宁波期中）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张． （1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是　　； （2）如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片　　张，3号卡片　　张； （3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式分解因式，其结果是　　； （4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式　　画出拼图． 13．（2023春•宁波期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式 　　． （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若，，则　　． （3）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则　　． （4）如图4所示，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，，你能求出阴影部分的面积吗？ 14．（2022春•金东区期末）通常情况下，不一定等于，观察下列几个式子： 第1个：； 第2个：； 第3个： 我们把符合的两个数叫做“和积数对”． （1）写出第4个式子． （2）写出第个式子，并检验． （3）若，是一对“和积数对”，求代数式的值． 15．（2022春•义乌市期中）利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美； （1）请你检验说明这个等式的正确性． （2）若，，，你能很快求出的值吗？ （3）若，，，求的值． 16．（2021春•嘉兴期中）已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示． （1）若用1张边长为的正方形，2张边长为的正方形，3张边长分别为和的长方形拼成一个新的长