8.1.2向量数量积的运算律导学案-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

8.1.2　向量数量积的运算律 课堂内容展示 1、 知识回顾 2、 探究新知 [初试身手] 3、 典例探究 ． 四、课堂小结： 学科网（北京）股份有限公司 3．平面向量数量积的几何意义 a·b=(|a|cos〈a，b〉)|b| 两个向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在其上投影数量的乘积 特别地a·e=(|a|cos〈a，e〉)|e| =|a|cos〈a，e〉 探究点一　向量数量积运算律的提出 问题1　类比实数的运算律，向量的数量积是否具有类似的特征？请大胆猜想类比后的结论，再判断正误(完成下表)： 运算律 实数乘法 向量数量积 判断正误 交换律 ab＝ba 结合律 (ab)c＝a(bc) 分配律 (a＋b)c＝ac＋bc 消去律 ab＝bc(b≠0) ⇒a＝c 问题2　在上述类比得到的结论中，对向量数量积不再成立的有哪些？试各举一反例说明． 探究点二　向量数量积的运算律 已知向量a，b，c和实数λ，向量的数量积满足下列运算律： ①a·b＝b·a(交换律)； ②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)； ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 问题1　证明a·b＝b·a. 问题2　证明(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (提示：分λ＝0，λ>0，λ<0三种情况讨论) 问题3　下面是证明分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c的过程， 请你补充完整． 证明：当a、b、c中至少有一个是零向量时，分配律显然成立。下面只要说明a、b、c都不是零向量的情形即可。 [提示]一个向量与一个直线上单位向量的数量积等于这个向量在直线上投影的数量。若将c换成它的单位向量c0,则分配律变成(a＋b)·c0＝a·c0＋b·c0 如图所示， 向量a＋b在向量c0上投影为 投影数量为|a＋b|cos〈a＋b，c0〉 向量a在向量c0上的投影为 投影数量为|a|cos〈a，c0〉 向量b在向量c0上的投影为 投影数量为|b|cos〈b，c0〉 又因为 所以 ＋ ＝|a＋b|cos〈a＋b，c0〉． 即(a＋b)·c0＝a·c0＋b·c0 两边同时乘以|c|，即可知 (a＋b)·c＝a·c＋b·c. 探究点三　平面向量数量积的运算性质 实数中，某些多项式乘法公式“移植”到平面向量的数量积运算中仍然成立，请你根据下面多项式乘法中的一些乘法公式类比相应的向量数量积的运算性质. 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋ c2＋2ab＋2bc＋2ca 1.下面给出的关系式中正确的个数是(　　) ① 0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2； ④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2. A．1　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 2.已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝eq \r(2)，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是(　　) A．0　 B．a　 C．b　 D．c 3.已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量|a－4b|2＝(　　) A．2　 B．2eq \r(3)　 C．6　 D．12 4．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论： ①a·c－b·c＝(a－b)·c； ②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直； ③|a|－|b|<|a－b|； ④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2. 其中正确的序号是________． 典例探究一　利用向量数量积的运算律进行运算 例1：已知e1，e2是互相垂直的单位向量，a＝eq \r(3)e1－e2，b＝e1＋λe2. 若a与b的夹角为60°，求实数λ的值． 例2：　已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直． 【变式】已知e1与e2是两