8.1.1向量数量积的概念导学案-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

溪流有阻碍，才有歌声；人生的乐章因为有了各种困难、挫折，才变得壮美！ 向量数量积的概念导学案 课题：向量数量积的概念 1.学习目标：①通过自学课本，了解向量数量积的含义与物理意义。 ②通过自学课本，让学生知道向量的投影与向量数量积的几何意义。 ③掌握数量积的定义及运算性质，并会利用性质解决有关长度、夹角、垂直等问题 2、重点难点： 1、重点：平面向量数量积的定义。 2、难点：平面向量数量积的定义的理解。 课堂内容展示 一、复习回顾： 1.向量的的概念：有大小和方向的量。 2、向量的加法、减法、数乘等运算。 二、情境导入，明确目标 (如图)一个物体在力F 的作用下产生的位移s，且F与s的夹角为,那么力F 所做的功应当怎样计算？ ( θ s F ) W=︱s︱︱F︱cosθ 3、 自学自测，提出问题 阅读课本71-72页内容回答： 1、什么是向量的夹角？向量夹角的范围是什么？ 定义：给定两个非零向量a、b，OA =a，OB = b. 则称[0，π]内的∠AOB称作向量a和向量b的夹角, 记作<a ，b>. 并规定0≤ <a ，b> ≤π 小结：（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点； （2） 〈a ，b〉=〈b ，a〉 （3） 范围0≤〈a ，b〉≤π； （4） 〈a ，b〉=0时, a、b同向;〈a ，b〉=π时，a、b反向；〈a ，b〉= 90°时， a ⊥b. （5） 规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直. 阅读课本72-73页内容回答： 2、向量数量积的定义是什么？性质有哪些？两个向量垂直的充要条件是什么？ 定义： 一般的，当a与b都是非零向量时 称 ︱︱︱︱cosθ 叫做与的数量积（或内积），记作：· 如果a与b都是非零向量，那么·可以是正数吗？可以是负数吗？可以是零吗？ 向量数量积的性质： （1）︱·︱≤︱︱︱︱（2）·=︱︱2，即︱︱= （3）向量垂直的充要条件 ⊥ ·=0 四、合作探究，解决问题 阅读课本73-74页探究1： 向量的投影与向量数量积的几何意义？ 问题：如果a,b都是非零向量，且a在b上的投影为，那么向量的方向、长度与<a,b>有什么关联？ 一般地,如果a,b都是非零向量,则称|a|cos<a,b> 为向量a在向量b上的投影的数量. 投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量可能是非负数，也可能是负数 几何意义：两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积 探究2： 例1已知a,b是两个非零向量. (1)若|a|=5,|b|=4,<a·b>=120°,求a·b; (2)若|a|=3，|b|=2，a·b=3，求<a·b> ： 小结自查，综合测评： 将本节课自己的思维导图补充完整 自我检测：做课本75页习题A与B组练习 【向量数量积的概念 】第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$