抓分练7 旋转、中心对称与图形的全等-【追梦之旅·期末真题篇】2023-2024学年七年级数学下册（华东师大版 河南专用）

追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 7　 旋转、中心对称与图形的全等 一、选择题 1. 【科技前沿】2023 年 10 月 26 日,神舟十七 号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火发 射. 不断太空接力的神舟家族将中国人的 太空家园建设得越来越美好. 下列航天图 标属于中心对称图形的是(　 　 ) A. 　 　 　 　 　 B. C. D. 2. 如图,△ABC≌△CDA,且 AB = CD,则下列 结论错误的是(　 　 ) A. ∠1 = ∠2 B. AD=CB C. ∠D= ∠B D. AB=BC 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 3. 【教材 P122 练习 1 变式】如图是中国共产 主义青年团团旗上的图案(图案本身没有 字母)要想与原来图形重合,则绕圆心至少 旋转(　 　 ) A. 36° B. 60° C. 72° D. 90° 4. 如图,将△ABC 绕顶点 A 逆时针旋转 30°到 △ADE,∠B= 40°,∠DAC = 50°,则∠E 的度 数为(　 　 ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 第 4 题图 　 第 5 题图 5. 如图,△ABC 与△A′B′C′关于点 O 成中心对 称,有以下结论: ①点 A 与点 A′是对称点;②BO=B′O; ③AB∥A′B′;④∠ACB= ∠C′A′B′. 其中结论正确的有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 6. 如图,直角三角形 ABC,AC = 3,BC = 4,AB = 5,点 C、A 在直线 l 上,将△ABC 绕着点 A 顺 时针转到位置①,得到点 P1,点 P1 在直线 l 上,将位置①的三角形绕点 P1 顺时针旋转 到位置②,得到点 P2,点 P2 在直线 l 上,…, 按照此规律继续旋转,直到得到点 P2 024,则 AP2 024 = (　 　 ) A. 674 B. 8 093 C. 8 097 D. 8 100 二、填空题 7. 如图,四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′是全 等四边形,若∠A′ = 95°,∠B = 75°,∠D′ = 130°,则∠C= 　 　 　 　 . 8. 如图,直线 a、b 垂直相交于点 O,曲线 C 关 于点 O 成中心对称,点 A 的对称点是点 A′, AB⊥a 于点 B,A′D⊥b 于点 D. 若 OB = 3, OD = 2, 则 阴 影 部 分 的 面 积 之 和 为　 　 　 　 . 第 8 题图 　 第 9 题图 9. 如图,如果把正方形 CDFE 经过旋转后能与 正方形 ABCD 重合,那么图形所在的平面上 可作为旋转中心的点共有　 　 　 　 个. 31 专版真题·ZBH·七年级数学下 三、解答题 10. 如图均为 5×5 的正方形网格,每个小正方 形的顶点称为格点,△ABC 的顶点和点 D 均在格点上,只用无刻度的直尺,在给定 的网格中,按下列要求作图、并保留作图 痕迹. (1)在图 1 中,画出△A1B1C1,使△A1B1C1 与△ABC 关于点 D 成中心对称; (2)在图 2 中,画出将△ABC 绕点 D 顺时 针旋转 90°得到的△A2B2C2 . 11. 如图,△ABC 是直角三角形,延长 AB 到 D,使 BD = BC,在 BC 上取 BE = AB,连结 DE. △ABC 顺 时 针 旋 转 后 能 与 △EBD 重合. (1) 旋转中心是哪一点? 旋转角是多 少度? (2)AC 与 DE 的关系怎样? 请说明理由. 12. 已知△ABC 和△DEF 都是直角三角形, ∠E= ∠ABC= 90°,∠F= 45°,∠ACB= 60°. 如图 1,点 A 与点 D 重合,点 B 在边 EF 上,∠EDB = 1 3 ∠EDF,现将△ABC 绕点 B 以每秒 4°的速度顺时针旋转(当点 A 落在 射线 BF 上时停止旋转),设旋转时间为 t 秒. (1) 当 t = 　 　 　 　 秒时,DB∥AC;当 t = 　 　 　 　 秒时,DF⊥AB; (2)在旋转过程中,边 AB 与边 DF 的交点 记为 M,如图 2,若△DBM 有两个内角相 等,求 t 的值; (3)当边 AC 与边 DF,EF 分别交于点 P,Q 时,连结 BP,如图 3,当∠DBP = 2 ∠FPQ 时,∠BQP-∠BPQ 是否为定值? 如果是, 请求出定值;如果不是,请说明理由. 41 (2)设这个多边形的边数是 n,由题意得( n - 2) × 180° = 360°×2+180°,∴ n = 7,∴ 这个多边形对角线 的条数是 n(n-3) 2 = 7 ×(7-3) 2 = 14. (3)1800°÷180° = 10,∴ 原多边形边数:10+2 = 12,∵ 一个多边形截去一个内角后,边数可能减 1,可能不 变,可能加 1,∴ 即新多边形的边数可能是 11,12, 13,∴ 新多边形的内角和可能是( 11 - 2) × 180° = 1 620°,( 12 - 2 ) × 180° = 1800°, ( 13 - 2 ) × 180° = 1980°. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法总结】多边形截去一个角后,新的多边形的 边数有 3 种情况:(1)增加一条边;(2)边数与原 多边形相同;(3)减少一条边. 15. 解:(1) ∠DCE = ∠A,理由如下:在四边形 ABCD 中, ∠B+∠D+∠A+∠BCD= 360°,∵ ∠B+∠D = 180°,∴ ∠A+∠BCD= 360°-180° = 180°,∵ ∠DCE+∠BCD = 180°,∴ ∠DCE= ∠A; (2) AE⊥CF,理由如下: ∵ ∠B + ∠EAB + ∠AEB = 180°,∠B= 90°,∴ ∠EAB+∠AEB = 180°-90° = 90°, ∵ AE 平分∠BAD,CF 平分∠DCE,∴ ∠DAE = ∠EAB = 1 2 ∠DAB, ∠DCF = ∠ECF = 1 2 ∠DCE,由 ( 1) 知 ∠DCE = ∠BAD,∴ ∠EAB = ∠ECF,∵ ∠EAB+∠AEB = 90°, ∴ ∠ECF + ∠AEB = 90°, ∴ ∠CFE = 180° - (∠ECF+∠AEB)= 90°,∴ AE⊥CF. 16. 解:(1)∠BDC = ∠A+∠B+∠C. 理由如下:连结 AD 并延长至点 F, 根据外角的性质, 可得 ∠BDF = ∠BAD+ ∠B, ∠CDF = ∠C + ∠CAD, 又 ∵ ∠BDC = ∠BDF+∠CDF,∠BAC = ∠BAD+∠CAD,∴ ∠BDC = ∠BAC+∠B+∠C; (2)Ⅰ. 50 　 【解析】由(1) 可得,∠BDC = ∠ABD + ∠ACD+ ∠A;又∵ ∠A = 40°,∠D = 90°,∴ ∠ABD + ∠ACD= 90°-40° = 50°. Ⅱ. 由(1),可得∠BPC = ∠BAC+∠ABP+∠ACP,∴ ∠ABP+∠ACP= ∠BPC-∠BAC = 130°-40° = 90°,又 ∵ BD 平分∠ABP,CD 平分∠ACP,∴ ∠ABD+∠ACD = 1 2 ( ∠ABP + ∠ACP) = 45°, ∴ ∠BDC = ∠ABD + ∠ACD+∠A= 45°+40° = 85°. 基础知识抓分练 6 一、选择题 1. D 2. B　 【解析】由图可知三角形纸板平移了 0-(-5)= 5, 又∵ 点 M 和点 M′是平移前后的对应点,∴ 点 M 平移 的距离 MM′为 5. 故选 B. 3. C　 【解析】∵ 把△ABC 沿直线 BC 向右平移 3 个单位 长度得到△A′B′C′,∴ A′A =CC′= 3,∴ 四边形 ABC′A′ 的周长=AB+AA′+BC′+A′C′= 5+3+7+3 = 18. 故选 C. 4. B 5. C　 【解析】根据对称的性质,得∠C = ∠OPC,∠D = ∠OPD,∵ ∠COD = 70°, ∴ ∠C + ∠D = ∠CPD = 1 2 (360°-70°)= 145°. 故选 C. 6. C　 【解析】∵ △ABC 经过平移后得到△DEF,∴ AB∥ DE,AD = BE = CF, ∠ACB = ∠DFE, AD∥CF∥BE, △ABC≌△DEF,∴ △ABC 和△DEF 的面积相等;∵ AD 和 CF 之间的距离不一定等于 CF 和 BE 之间的距 离,AD=CF= BE,∴ 四边形 ACFD 和四边形 BCFE 的 面积不一定相等,故①②③④正确. 故选 C. 二、填空题 7. 数学 8. 66　 【解析】根据平移的性质可得,绿化部分可看作 是长为(14-3)米,宽为 6 米的长方形,即绿化面积 = (14-3)×6 = 66(m2) . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　【方法指导】求解此类问题可利用平移的特征,化 不规则图形为规则图形,再用相应规则图形的面 积公式求解. 9. 8　 【解析】连结 AP. ∵ 点 A 与点 C 关于直线 a 对称, ∴ PC=PA,∴ △PBC 的周长 = PC+PB+BC = PA+PB+ BC,当 A,P,B 三点共线时,PA+PB 最小,即 PA+PB = AB 时,△PBC 周长取最小值,△PBC 周长的最小值 = AB+BC= 5+3 = 8. 三、解答题 10. 解: (答案不唯一) 11. 解:(1)如图,△A′B′C′即为所求; (2)平行且相等 (3)线段 BC 扫过的面积= 5×3 = 15. 12. 解:(1)如图,△A1B1C1 即为所求; S△A1B1C1 = 3×4- 1 2 ×2×3- 1 2 ×1×3- 1 2 ×4×1 = 5. 5. (2)如图,△A2B2C2 即为所求; (3)连结 AC2 交直线 m 于点 P,则点 P 即为所求点. 13. 解:(1)α+2∠B= 90° (2)∵ △ABC 的周长为 24,∴ AC+BC+AB = 24,∵ BC = 4 3 AC,AB= 5 3 AC,∴ AC+ 4 3 AC+ 5 3 AC = 24,解得 AC = 6,∴ BC= 8,AB= 10,∵ 点 A,B 关于直线 MN 对称, ∴ AN=BN,∴ △ACN 的周长= AC+CN+AN = AC+CN+ BN=AC+BC= 6+8 = 14. 基础知识抓分练 7 一、选择题 1. D 2. D　 【解析】 ∵ △ABC≌ △CDA,∴ AD = CB,AB = CD, ∠1 = ∠2,∠D= ∠B. 故选 D. 3. C　 【解析】∵ 360°÷5 = 72°,∴ 该图形绕中心至少旋 转 72 度后能和原来的图案互相重合. 故选 C. 4. C　 【解析】由题意,得∠BAD= ∠CAE= 30°,∠D= ∠B = 40°,∵ ∠DAC= 50°,∴ ∠DAE = ∠DAC+∠CAE = 50° +30° = 80°,∴ ∠E = 180° -∠DAE-∠D = 180° - 80° - 40° = 60°. 故选 C. 5. C 追梦之旅·初中期末真题篇·专版 ZBH·七年级数学下　 第 4 页 6. C　 【解析】在△ABC 中,∠ACB = 90°,AC = 3,BC = 4, AB= 5,∴ 由题可得 AP1 = AB = 5,P1P2 =BC = 4,P2P3 = AC= 3,∴ AP2 = 5+4 = 9,AP3 = 5+4+3 = 12,然后旋转 3 次一循环,∵ 2 024÷3 = 674……2,∴ AP2 024 = 674×12+ 9 = 8 097. 故选 C. 二、填空题 7. 60°　 【解析】∵ 四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′是全 等四边形,∴ ∠A = ∠A′,∠D = ∠D′,∵ ∠A′ = 95°, ∠D′= 130°,∴ ∠A = 95°,∠D = 130°,∵ ∠B = 75°,∴ ∠C= 360°-(95°+130°+75°)= 60°. 8. 6　 【解析】如图,过点 A 作 AE⊥ 直线 b 于点 E,由题可得图形①与 图形②面积相等,∴ 阴影部分的 面积之和 = 长方形 ABOE 的面积 = 3×2 = 6. 9. 3 三、解答题 10. 解:(1)△A1B1C1 即为所求. (2)△A2B2C2 即为所求. 11. 解:(1)旋转中心为点 B,旋转角是 90°; (2)AC=DE,AC⊥DE. 理由如下:延长 DE 交 AC 于点 F. ∵ △ABC 绕点 B 顺时针旋转 90°后能与△EBD 重 合, ∴ DE = AC, ∠C = ∠D. ∵ ∠CEF = ∠DEB, ∴ ∠CFE= ∠DBE= 90°,即 AC⊥DE. 12. 解:(1)7. 5　 15 (2)由题可得∠DBM = (4t)°,∵ ∠ABC = 90°,∠ACB = 60°,∴ ∠BDM = 30°,∴ ∠BDE = 15°. 当∠MDB = ∠MBD 时,(4t)° = 30°,解得 t= 30 4 = 7. 5;当∠DBM = ∠DMB 时,∠DBM = 1 2 ×(180°-30°) = 75°,即(4t)° = 75°,则 t= 75 4 ;当∠BDM = ∠BMD = 30°时,30°+30° +(4t)° = 180°,解得 t = 30. 当点 A 落在射线 BF 时, ∠DBA= ∠BDE+∠E = 105° = (4t)°,∴ t = 105 4 ,∴ t≤ 105 4 ,∴ t= 30(舍) . 综上所述,t 的值为 7. 5 或 75 4 ; (3)结论:∠BQP-∠BPQ = 15°,是定值. 理由如下: ∵ ∠PQB= ∠F+∠QPF = 45°+∠QPF,又∵ ∠BPF = ∠DBP+∠BDP,∴ ∠BPQ+∠QPF = 30°+2∠QPF,∴ ∠BPQ = 30° + ∠QPF, ∴ ∠BQP - ∠BPQ = ( 45° + ∠QPF) -(30°+∠QPF)= 15°. 追梦专项一　 大题抢分练(一) 1. 解:(1)去括号,得 3-x+2 = 5x+5. 移项,得-x-5x= 5-3 -2,即-6x= 0. 两边都除以-6,得 x= 0; (2)化简方程组得 x-3y= 1①2x-3y= 3②{ ,②-①,得 x = 2;将 x = 2 代入①,得 2 - 3y = 1,解得 y = 1 3 ,∴ 方程组的解 为 x= 2 y= 1 3 { . 2. 解: 2x+3≥0① x+5 3 - x 2 >1②{ ,由①解得 x≥- 32 ,由②解得 x<4, 所以不等式组的解集为- 3 2 ≤x<4,将解集在数轴上 表示出来如下,故不等式组的非负整数解为 0,1, 2,3. 3. 解:任务一:(1)乘法分配律 (2)不等式的基本性质 1 (3)①　 去分母时,2 没有乘以分母的最小公倍数 6 任务二:x<4 4. 解:(1) ∵ 3@ x<7,∴ 3+2x<7,解得 x<2,∵ x 为正整 数,∴ x= 1; (2)解不等式 3(x+1)≤8-x 得,x≤ 5 4 ,由 x@ a≤5 得 x+2a≤5,解得 x≤5-2a,∵ 关于 x 的不等式 3( x+1) ≤8-x 的解和 x@ a≤5 的解相同,∴ 5 4 = 5-2a,解得 a = 15 8 . 5. 解:(1)① a<0b<0{ 　 　 a>0 b>0{ 　 　 ② a<0b>0{ 　 　 a>0 b<0{ (2)若 x-2 x+1 >0,则① x-2>0x+1>0{ 或② x-2<0 x+1<0{ ,解不等式组 ①得 x>2;解不等式组②得 x<-1,所以不等式 x-2 x+1 >0 的解集是 x>2 或 x<-1. 6. 解:(1)由②得:3x+6x-4y = 19,即 3x+2(3x-2y) = 19 ③,把①代入③得:3x+2×5 = 19,解得 x = 3,把 x = 3 代 入①得:y= 2,则方程组的解为 x= 3y= 2{ ; (2)由 5x2 -2xy+20y2 = 82 得:5( x2 +4y2 ) -2xy = 82,即 x2 +4y2 = 82+2xy 5 ,由 2x2 -xy+8y2 = 32 得 2(x2 +4y2 ) -xy = 32,将 x2 +4y2 = 82+2xy 5 代入,得 2× 82+2xy 5 -xy = 32, 整理得 xy= 4,∴ x2 +4y2 = 82+2xy 5 = 18. 7. 解:(1)AD 即为所求; (2)AE 即为所求; (3)△A′B′C′即为所求; (4)点 P 即为所求. 8. 解:(1)平移　 (2)D　 (3)如图,图形④即为所求. 追梦之旅·初中期末真题篇·专版 ZBH·七年级数学下　 第 5 页