专题强化三 共点力动态平衡分析 共点力平衡中的临界与极值问题-【金版教程】2025年高考物理一轮复习解决方案全书word（新教材）

高考科学复习解决方案 　物理 专题强化三　共点力动态平衡分析 共点力平衡中的临界与极值问题 关键能力　发展与提升 考点一　共点力动态平衡分析　　解题技巧 1．共点力动态平衡问题 在共点力动态平衡过程中物体始终处于一系列的平衡状态，在问题的描述中常用“缓慢”等语言叙述。 2．解决共点力动态平衡问题的常用方法 (1)解析法 确定研究对象并进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。 (2)图解法 此法常用于求解三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况。一般按照以下流程解题。 (3)相似三角形法 三力平衡问题中，正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中的线、杆、壁等围成的几何三角形相似，则可用相似三角形对应边成比例求出力的比例关系，进而求解。注意构建三角形时可能需要画辅助线。 三个共点力，其中一个力为恒力，另两个力的方向均发生变化，则通常用相似三角形法分析。 (4)正弦定理法 如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任何一个力的大小分别与另外两个力的夹角的正弦成正比，即＝＝。 (5)外接圆法 三力平衡问题中，一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出外接圆，恒力为圆的一条弦，根据不同状态的矢量三角形边角关系判断各力的大小、方向变化，如图所示。 考向1解析法 例1　(2023·天津市河东区高三下一模)如图所示，绕过滑轮的轻绳一端固定在竖直墙上，站在地面上的人用手拉着绳的另一端，滑轮下吊着一个小球，处于静止状态，不计滑轮摩擦。保持B点高度不变，手与绳无相对滑动且球不碰地。在人缓慢向右移动一小段距离的过程中(　　) A．绳上张力变大 B．人对地面的压力变大 C．滑轮受到绳的作用力不变 D．地面对人的摩擦力变大 [答案]　C [解析]　对滑轮与小球整体受力分析，设整体的质量为m，滑轮受到绳的作用力为F，根据平衡条件，有F＝mg，方向竖直向上，则滑轮受到绳的作用力不变，C正确；设滑轮两边绳上的张力大小均为T，绳间的夹角为θ，根据平衡条件，有2Tcos＝mg，解得T＝，人缓慢向右移动一小段距离的过程中，θ逐渐减小，cos变大，则绳上的张力T变小，A错误；对人受力分析，设地面对人的支持力为N，摩擦力为f，根据平衡条件，有N＝m人g＋Tcos，f＝Tsin，联立解得N＝m人g＋mg，f＝mgtan，根据牛顿第三定律，可知人对地面的压力为N′＝N＝m人g＋mg，则随着人缓慢向右移动，θ变小，人对地面的压力N′不变，地面对人的摩擦力f变小，B、D错误。 考向2图解法 例2　光滑斜面上固定着一根刚性圆弧形细杆，小球通过轻绳与细杆相连，此时轻绳处于水平方向，球心恰位于圆弧形细杆的圆心处，如图所示。将悬点A缓慢沿杆向上移动，直到轻绳处于竖直方向，在这个过程中，轻绳的拉力(　　) A．逐渐增大 B．大小不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 [答案]　C [解析]　解法一(图解法)：在悬点A缓慢向上移动的过程中，小球始终处于平衡状态，小球所受重力mg的大小和方向都不变，支持力的方向不变，对小球进行受力分析如图甲所示，由图可知，拉力T先减小后增大，C正确。 解法二(解析法)：如图乙所示，由正弦定理得＝，得T＝，由于mg和α不变，而sinβ先增大后减小，可得T先减小后增大，C正确。 考向3相似三角形法 例3　如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，在圆环的最高点有一个光滑小孔，一根轻绳的下端系着小球，上端穿过小孔用力F拉住，开始时绳与竖直方向的夹角为θ，小球处于静止状态，现缓慢拉动轻绳，使小球沿光滑圆环上升一小段距离，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是(　　) A．绳与竖直方向的夹角为θ时，F＝mgcosθ B．小球沿光滑圆环上升过程中，轻绳拉力逐渐增大 C．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力逐渐增大 D．小球沿光滑圆环上升过程中，小球所受支持力大小不变 [答案]　D [解析]　绳与竖直方向的夹角为θ时，小球受到竖直向下的重力mg、圆环对小球沿半径向外的支持力FN以及沿绳方向的拉力F，画出力的示意图如图所示，由三角形相似得：＝＝，可知FN＝mg，F＝2mgcosθ，A错误；小球沿光滑圆环上升过程中，FN＝mg不变，L变短，则F变小，故D正确，B、C错误。 考向4正弦定理法 例4　(2022·河北高考)如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点，将木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中(　　) A．圆柱体对木板的压力逐渐增大 B．圆柱体对木板的压力先增大后减小 C．两根细绳上的拉力均先增大后减小 D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 [答案]　B [解析]　设两根细绳对圆柱体拉力的合力为T，木板对圆柱体的支持力为N，T与N之间的夹角为α(α为锐角)，当木板倾角为γ时，从右向左看，圆柱体的受力分析图如图所示；在矢量三角形中，根据正弦定理有＝＝，在木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平的过程中，α不变，γ从90°逐渐减小到0，又γ＋β＋α＝180°，且α<90°，可知β从锐角逐渐增大到钝角；由于sinγ不断减小，sinβ先增大后减小，可知T不断减小，N先增大后减小，结合牛顿第三定律可知，圆柱体对木板的压力先增大后减小，A、D错误，B正确。设两根细绳之间的夹角为2θ，细绳上的拉力大小均为T′，则2T′cosθ＝T，可得T′＝，θ不变，T逐渐减小，可知两根细绳上的拉力均不断减小，故C错误。 考向5外接圆法 例5　(多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　) A．MN上的张力逐渐增大 B．MN上的张力先增大后减小 C．OM上的张力逐渐增大 D．OM上的张力先增大后减小 [答案]　AD [解析]　解法一(外接圆法)：重物受到重力mg、OM绳的拉力FOM、MN绳的拉力FMN共三个力的作用。缓慢拉起过程中任一时刻可认为是平衡状态，三力的合力恒为0。如图所示，由三角形定则得一首尾相接的闭合三角形，由于α>且不变，则三角形中FMN与FOM的交点在一个圆弧上移动，由图可以看出，在OM被拉到水平的过程中，绳MN中拉力一直增大且恰好达到最大值，绳OM中拉力先增大后减小，故A、D正确，B、C错误。 解法二(正弦定理法)：设重物的质量为m，绳OM中的张力为TOM，绳MN中的张力为TMN。开始时，TOM＝mg，TMN＝0。由于缓慢拉起，则重物一直处于平衡状态，两绳张力的合力与重物的重力mg等大、反向。 如图所示，已知角α不变，在重物被缓慢拉起的过程中，角β逐渐增大，则角(α－β)逐渐减小，但角θ不变，在三角形中，利用正弦定理得：＝，(α－β)由钝角变为锐角，则TOM先增大后减小，D正确；同理知＝，在β由0变为的过程中，TMN一直增大，A正确。 考点二　共点力平衡中的临界与极值问题　　思想方法 1.临界问题 在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。临界问题常见的种类： (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 (3)刚好离开接触面，弹力F弹＝0。 2．极值问题 在力的变化过程中存在力的最大值或最小值。 3．解决共点力平衡中的临界问题和极值问题的方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大或极小。 (2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 (3)物理分析法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图(力的平行四边形或力的矢量三角形)，通过对物理过程的分析，在力的矢量图上进行动态分析，确定最大值或最小值。 考向1极限法 例6　如图所示，物体A放在水平桌面上，通过定滑轮悬挂一个重为10 N的物体B，且已知物体A与桌面间的最大静摩擦力为4 N。要使A静止，需加一水平向左的力F1，则力F1的取值可以为(　　) A．3 N B．7 N C．15 N D．17 N [答案]　B [解析]　对A受力分析，当A受到的最大静摩擦力水平向左时，力F1最小，此时F1min＋Ff＝mBg，解得F1min＝6 N；当A受到的最大静摩擦力水平向右时，力F1最大，此时F1max－Ff＝mBg，解得F1max＝14 N，所以力F1的取值范围是6 N≤F1≤14 N，故A、C、D错误，B正确。 考向2数学分析法 例7　质量为m＝10 kg的木箱置于水平地面上，它与地面间的动摩擦因数μ＝，取g＝10 m/s2，其受到一个与水平方向成θ角斜向上的拉力F，如图所示，为使木箱做匀速直线运动，拉力F的最小值以及此时θ分别是(　　) A．50 N　30° B．50 N　60° C. N　30° D. N　60° [答案]　A [解析]　解法一：对木箱受力分析，木箱受重力mg、拉力F、地面的支持力N和滑动摩擦力f作用，木箱做匀速直线运动，根据平衡条件得：Fcosθ＝f，Fsinθ＋N＝mg，又f＝μN，联立解得：F＝＝，其中tanα＝＝，α＝60°，由数学知识可知，当θ＋α＝90°，即θ＝30°时F有最小值，且最小值为：Fmin＝＝ N＝50 N，故A正确，B、C、D错误。 解法二：四力平衡转化为三力平衡，再结合图解法分析。f与N的合力F合方向不变，当F的方向与F合的方向垂直时，F最小，如图所示。设F合与竖直方向的夹角为β，则tanβ＝＝μ，β＝30°，Fmin＝mgsinβ＝mg＝50 N，此时θ＝β＝30°，故选A。 考向3物理分析法 例8　(多选)筷子是中华饮食文化的标志之一，我国著名物理学家李政道曾夸赞说：“筷子如此简单的两根木头，却精妙绝伦地应用了物理学杠杆原理。”如图所示，用筷子夹住质量为m的小球，两根筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为θ。已知小球与筷子之间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，小球静止。下列说法正确的是(　　) A．筷子对小球的最小压力是 B．当θ增大时，筷子对小球的最小压力一定增大 C．当θ减小时，筷子对小球的最小压力一定增大 D．要想用筷子夹住小球，必须满足μ>tanθ [答案]　BD [解析]　对小球受力分析，如图所示，小球受力平衡，竖直方向有：2fcosθ＝mg＋2Nsinθ，f≤fmax＝μN，解得：N≥，故筷子对小球的最小压力为，A错误；根据Nmin＝，可知当θ增大时，筷子对小球的最小压力一定增大，故B正确，C错误；要想用筷子夹住小球，则Nmin＝>0，则μcosθ－sinθ>0，即必须满足μ>tanθ，故D正确。 (1)共点力平衡中的临界与极值问题常与动态平衡问题结合起来考查，应用图解法进行分析，作出力的平行四边形或矢量三角形，常常有助于直观地得到结果。 (2)由静摩擦力变为滑动摩擦力、摩擦力方向改变、弹力有无及方向改变常常是临界与极值问题中要特别注意的。 9 学科网（北京）股份有限公司 $$