6.2.3 组合～6.2.4组合数-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第三册）

6.2.3 组合~6.2.4组合数 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 1.了解组合、组合数的意义，掌握常见的组合处理方法，会用组合的相关方法解决简单的组合问题.熟练运用组合数的相关公式及性质解决与组合有关的问题. 2.在实际问题中能区分排列与组合的关系，准确选择恰当的方法解决排列组合的相关问题. 通过本节课的学习，要求在掌握组合、组合数的意义基础上，能解决简单的组合问题.并能解决简单的排列组合综合问题. 课前预习 预习01组合及组合数的定义 1．组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 2．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示． 预习02排列与组合的关系 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 关系 组合数C与排列数A间存在的关系 A＝ 预习03组合数公式 组合数 公式 乘积 形式 C＝， 其中m，n∈N*，并且m≤n 阶乘 形式 C＝ 规定：C＝1. 预习04组合数的性质 性质1：C＝C. 性质2：C＝C＋C. 知识讲解 知识点 1.组合定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2.组合数定义及公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，即组合数，用符号C表示，其中C＝＝. 3．组合的性质： 性质1：C＝； 性质2：C＝. 4. 排列与组合的概念 名称 定义 区别 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 排列有序，组合无序 组合 合成一组 2.排列数与组合数 定义 计算公式 性质 联系 排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号“A”表示 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (n，m∈N*，且m≤n) (1)A＝n！； (2)0！＝1 C＝ 组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号“C”表示 C＝ (n，m∈N*，且m≤n) (1)C＝C＝1； (2)C＝C； (3)C＝C＋C 【特别注意】 1.组合问题的常见类型与处理方法： ①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取. ②“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解. 2.排列组合综合题思路，先选后排，先组合后排列. 当有多个限制条件时，应以其中一个限制条件为标准分类，限制条件多时，多考虑用间接法，但需确定一个总数. ①不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：不均匀分组、均匀分组、部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法. ②对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”. 【大招总结】 大招1组合概念的理解 排列、组合辨析切入点 (1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可． (2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合． (3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．大大招2组合公式的应用 (1)组合数公式C＝一般用于计算，而组合数公式C＝一般用于含字母的式子的化简与证明． (2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数C的隐含条件为m≤n，且m，n∈N*. (3)计算时应注意利用组合数的两个性质： ①C＝C；②C＝C＋C. 大招3简单的组合问题 1、组合个数的求解策略 (1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，相同元素的不必重复列举，如本例中，先枚举以字母A开头的组合，再枚举以字母B开头的组合，直到全部枚举完毕． (2)公式法：利用排列数A与组合数C之间的关系C＝求解． 2、利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方法，借助排列数求组合数． 大招4有限制条件的组合问题 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类 (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数． (2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准