微专题06 三角形的“四心”问题-2023-2024学年高一数学微专题期末精准突破（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第二册） 微专题06 三角形的“四心”问题 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 三角形的重心判断及应用 （一）三角形重心的判断 （二）重心性质的应用 考点二 三角形的外心判断及应用 （一）三角形外心的判断 （二）外心性质的应用 考点三 三角形的内心判断及应用 （一）三角形内心的判断 （二）内心性质的应用 考点四 三角形的垂心判断及应用 （一）三角形垂心的判断 （二）垂心性质的应用 考点五 三角形的“四心”问题的综合 三角形的内心、外心、垂心与重心问题，尤其是与平面向量相结合后，学生考查时感觉比较棘手，错误率较高，甚至无从下手。因此，本讲将对与“四心”有关的知识进行总结归纳，借助典型例题说明解题要领。 一、四心的概念介绍： （1）重心：三条中线的交点，重心将中线长度分成2：1． （2）内心：三条角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． （3）外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． （4）垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直． 四心 定义 性质 向量表示 重心 三边中线的交点（重心是中线上的三等分点）.如图,点G （1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。 （2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 （3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即. 设是的重心，为平面内任意一点. （1） （2），，， （3）若，则点的轨迹一定经过三角形的重心. （4）动点满足，，则的轨迹一定通过的重心 （5）动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的重心 内心 三个内角的角平分线的交点（或内切圆的圆心).如图，点P 角平分线上的任意点到角两边的距离相等 （1）（或） 其中分别是的三边的长 （2），则点的轨迹一定经过三角形的内心 （注：向量()所在直线过内心(是角平分线所在直线)） （3）动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的内心 （4） 外心 三角形三边的垂直平分线的交点（或外接圆的圆心） 外心到三角形各顶点的距离相等 （1） （2）变形：P为平面ABC内一动点，若，则为三角形的外心 （3）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心； 垂心 三条高线的交点，如图，点O 锐角三角形的垂心在三角形内； 直角三角形的垂心在直角顶点上； 钝角三角形的垂心在三角形外。 （1） （2）（3）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心 （4） （5）. 二、奔驰定理 奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式 是的重心 是的内心 是的外心 是的垂心 备注：奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用． 考点一 三角形的重心判断及应用 （一）三角形重心的判断 1．若是内一点，，则是的（ ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 2.已知中，点为所在平面内一点，则“”是“点为重心”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．O是ABC所在平面上的一点，若（其中P为平面上任意一点），则点O是ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 4.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足 ，，则点P的轨迹一定经过（ ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．边的中点 5．已知是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6．已知中，点为边中点，点为所在平面内一点，则“”为“点为重心”（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 7.已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．边的中点 8.O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：＝，则直线AP一定通过△ABC的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 9．若O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若点P满足+λ(λ∈(0，+∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的（