6.1.5 向量的线性运算学案-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第二册

向量的线性运算 【学习目标】 理解并掌握向量的混合运算，会进行向量的线性运算. 【学习重难点】 向量的运算律. 【学习过程】 一、问题导学 预习教材内容，思考以下问题： 1． 向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？ 2． 数乘向量的定义及其几何意义是什么？ 3． 向量线性运算满足哪些运算律？ 二、新知初探 1．向量的线性运算 （1）若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________． （2）化简下列各式： ①3(6a＋b)－9；②[(3a＋2b)－]－2；③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a． 【解】（1）由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a．故填4b－3a． （2）①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a． ②原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0. ③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c． 2．利用已知向量表示相关向量 （1）如图，▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝( ) A．a－b B．a＋b C．a＋b D．a－b （2）如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知＝a，＝b，试用a，b分别表示，，. 【解】（1）选D．＝＋＝＋ ＝－＝a－b． （2）由三角形中位线定理，知DE=BC，故＝，即＝a． ＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b． ＝＋＋＝＋＋＝－a－b＋a＝a－b． 3．利用向量判断三点共线 已知非零向量e1．e2不共线．如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线． 【证明】因为＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.所以，共线，且有公共点B，所以A、B、D三点共线． 三、学习小结 向量的线性运算： （1）向量的加法与数乘向量的混合运算 一般地，对于实数λ与μ，以及向量a，有λa＋μa＝(λ＋μ)a． 一般地，对于任意实数λ，以及向量a与b，有λ(a＋b)＝λa＋λb． （2）向量的线性运算 向量的加法、减法、数乘向量以及它们的混和运算，统称为向量的线性运算． 四、精炼反馈 1．下列命题中正确的个数是( ) ①＋＝0；②－＝；③0·＝0. A．1 B．2 C．3 D．0 解析：选A．由两相反向量的和为零向量知①正确； 由向量的减法运算法则知，－＝，②错； 由数乘向量的意义知0·＝0，③错； 即正确的个数是1，故选A． 2．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( ) A．－ B．－ C．＋ D．＋ 解析：选A．法一：如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A． 法二：＝－＝－＝－×(＋)＝－，故选A． 3．对于向量a，b有下列表示： ①a＝2e，b＝－2e； ②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2； ③a＝4e1－e2，b＝e1－e2； ④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2． 其中，向量a，b一定共线的是( ) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 解析：选A．对于①，b＝－a，有a∥b； 对于②，b＝－2a，有a∥b； 对于③，a＝4b，有a∥b； 对于④，a与b不共线． 4．若|a|＝5，b与a方向相反，且|b|＝7，则a＝________b． 解析：由题意知a＝－b． 答案：－ 学科网（北京）股份有限公司 $$