6.1.2 向量的加法学案-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

向量的加法 【学习目标】 1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律。 2．掌握向量加法运算法则，能熟练地进行加法运算。 3．数的加法与向量的加法的联系与区别。 【学习重难点】 1．向量加法的概念。 2．向量加法的运算法则。 3．数与向量的类比。 【学习过程】 问题导学 预习教材P137－P141的内容，思考以下问题： 1．两个向量相加就是两个向量的模相加吗？ 2．向量的加法如何定义？ 3．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？ 【新知初探】 1．向量加法的三角形法则 一般地，平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则向量称为向量a与b的和（也称为向量a与b的和向量），向量a与b的和向量记作a＋b，因此＋＝。 这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则。 对任意向量a，有a＋00＋a＝A． 向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|。 2．向量加法的平行四边形法则 一般地，平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为＝，因此＝＋＝＋。 这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则。 由向量加法的平行四边形法则不难看出，向量的加法运算满足交换律，即对于任意的向量a，b，都有a＋b＝b＋A． 3．多个向量相加 结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。 因为向量的加法满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果是唯一的，我们可以任意调换其中向量的位置，也可以任意决定相加的顺序。例如 （a＋b）＋（c＋d）＝a＋[（b＋c）＋d]＝[（d＋c）＋a]＋B． 【自我检测】 1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）a＋（b＋c）＝（a＋b）＋C．（　　） （2）＋＝0.（　　） （3）求任意两个非零向量的和都可以用平行四边形法则。（　　） 2．＋＋等于（　　） A． B． C． D． 3．边长为1的正方形ABCD中，|＋|＝（　　） A．2 B． C．1 D．2 4．如图，在平行四边形ABCD中，＋＝________。 解析：由平行四边形法则可知＋＝。 探究点一：向量加法运算法则的应用 1．（1）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么（在横线上只填上一个向量）： ①＋＝________； ②＋＝________； ③＋＋＝________。 （2）①如图甲所示，求作向量和a＋B． ②如图乙所示，求作向量和a＋b＋C． [互动探究] 1．[变问法]在例1（1）条件下，求＋。 解：因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，所以＋＝。 2．[变问法]在例1（1）图形中求作向量＋＋。 解：过A作AG∥DF，且AG＝DF交CF的延长线于点G， 则＋＝。作＝，连接， 则＝＋＋，如图所示。 [规律方法] （1）三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量。 （2）平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合。 （3）求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单。 1．如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心。 则（1）＋＝________； （2）＋＋＝________； （3）＋＋＝________。 探究点二：向量加法运算律的应用 2．（1）设a＝（＋）＋（＋），b是一个非零向量，则下列结论正确的有________。（将正确结论的序号填在横线上） ①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|。 （2）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： ①＋＋； ②＋＋＋。 [规律方法] 向量加法运算律的意义和应用原则 （1）意义 向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的。实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。 （2）应用原则 利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序。 1．已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________。 解析：|＋＋＋|＝|（＋）＋（＋）|＝|＋|＝2||＝2。 答案：2 探究点三：向量加法的实际应用 3．如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）。 [规律方法] 利用向