6.1.1 平面向量的概念学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

向量的概念 【学习目标】 1．理解向量的有关概念及向量的几何表示 2．理解共线向量、相等向量的概念 3．正确区分向量平行与直线平行 【学习重难点】 1．向量的概念 2．共线向量、相等向量 3．向量与几何的关系 【学习过程】 问题导学 预习教材P133－P136的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？怎样表示向量？ 2．向量的相关概念有哪些？ 3．两个向量能比较大小吗？ 【新知初探】 1．位移与向量 （1）向量的概念 一般地，像位移这样既有大小又有方向的量称为向量（也称为矢量）。 向量的大小也称为向量的模（或长度）；只有大小的量称为标量，长度、面积等都是标量。 （2）向量的表示方法 ①始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为，此时向量的模用||表示。除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外，还可用一个小写字母来表示向量：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c等来表示向量；在书写时，用带箭头的小写字母如，，等来表示向量。 ②始点和终点相同的向量称为零向量。零向量的模为0.零向量的方向是不确定。模不为0的向量通常称为非零向量。模等于1的向量称为单位向量。e是单位向量的充要条件是|e|＝1． ■名师点拨 向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段。 2．向量的相等与平行 一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量。 如果两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行。因为零向量的方向不确定，因此通常规定零向量与任意向量平行。两个向量a和b平行，记作a∥B．两个向量平行也称为两个向量共线。 ■名师点拨 共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同。 【自我检测】 1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）零向量没有方向。（　　） （2）向量的长度和向量的模相等。（　　） （3）单位向量都平行。（　　） （4）零向量与任意向量都平行。（　　） 2．在下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速。其中可以看成是向量的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．关于零向量，下列说法中错误的是（　　） A．零向量是没有方向的 B．零向量的长度为0 C．零向量只与零向量相等 D．零向量的方向是任意的 4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________（填序号）。 ①与；②与； ③与；④与。 探究一：向量的有关概念 1．判断下列命题是否正确，请说明理由： （1）若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； （2）若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； （3）对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b； （4）向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反。 [规律方法] （1）理解零向量和单位向量应注意的问题 ①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等。 ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向。 （2）共线向量与平行向量 ①平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别。 ②共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同。 ③平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同。 2．给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上。 其中正确命题的序号是________。 探究二、向量的表示及应用 1．（1）如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量。 （2）在如图所示的坐标纸上（每个小方格边长为1），用直尺和圆规画出下列向量： ①，使||＝4，点A在点O北偏东45°处； ②，使||＝4，点B在点A正东处； ③，使||＝6，点C在点B北偏东30°处。 [规律方法] （1）向量的两种表示方法 ①几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点。 ②字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如，，等。 （2）两种向量表示方法的作用 ①用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础。 ②用字母表示法表示向量，便于向量的运算。 2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点。 （1）作出向量，，； （2）求的模。 探究三、相等向量和共线向量 3．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝C． （1）与a的长度相等、方向相反的向量有哪