第5节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用-【金版教程】2025年高考数学一轮复习解决方案全书word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第五节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 课标解读 考向预测 1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响. 2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 从近几年的高考来看，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质是高考的热点，预计2025年高考函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质及三角函数的应用，仍然是出题的热点，以中档题为主，可能会与三角函数式的求值、化简相结合. 必备知识——强基础 1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点 五个关键点如下表所示： x － － － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 提醒：两种变换的区别：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度． 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)把y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sinx.(　　) (2)将y＝sin(－2x)的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．(　　) (3)利用图象变换作图时，可以“先平移，后伸缩”，也可以“先伸缩，后平移”，平移的长度一致．(　　) (4)y＝2sin的初相为－.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．小题热身 (1)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　) A．2，4π， B．2，， C．2，，－ D．2，4π，－ 答案　C 解析　由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.故选C. (2)(人教A必修第一册习题5.6 T1改编)为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin2x的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 答案　A 解析　y＝2sin＝2sin.故选A. (3)(人教B必修第三册7.3.2练习B T1改编)为了得到y＝3cos的图象，只需把y＝3cos图象上的所有点的(　　) A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 答案　D 解析　因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y＝3cos图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，即可得到函数y＝3cos的图象．故选D. (4)(人教A必修第一册5.7例1改编)如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B，A＞0，ω＞0，0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为________． 答案　y＝5sin＋10，x∈[6，14] 解析　从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的半个周期，则所以A＝×(15－5)＝5，B＝×(15＋5)＝10.又×＝14－6，所以ω＝.又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，0<φ<π，所以φ＝，所以y＝5sin＋10，x∈[6，14]． 考点探究——提素养 考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换 例1 (1)将函数f(x)＝cos的图象向左平移个单位长度，得到的图象的函数解析式为(　　) A．y＝－sin B．y＝cos C．y＝－cos D．y＝sin 答案　D 解析　由题意知，将函数f(x)＝cos的图象向左平移个单位长度，得g(x)＝cos＝cos＝cos＝－cos＝sin，所以函数解析式为y＝sin.故选D. (2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象经过点B，且f(x)的相邻两个零点的距离为，为得到y＝f(x)的图象，可将y＝sinx图象上的所有点(　　) A．先向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 B．先向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C．先向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 D．先向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 答案　B 解析　因为相邻两个零点的距离为，所以函数f(x)的最小正周期T＝2×＝π，则ω＝＝2，又点B在函数图象上，所以sin＝0，解得－＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，又0<φ<，所以当k＝0时，φ＝，所以f(x)＝sin，则将y＝sinx的图象先向左平移个单位长度可得y＝sin的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y＝f(x)的图象．故选B. 【通性通法】 三角函数图象变换的关键点及解题策略 (1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到哪一个函数的图象． (2)变同名：如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值． (3)选方法：根据变换前后函数的特点，选择先平移后伸缩还是先伸缩后平移． 注意：对于函数y＝sinωx(ω>0)的图象，向左平移|φ|个单位长度得到的是函数y＝sin[ω(x＋|φ|)]的图象，而不是函数y＝sin(ωx＋|φ|)的图象． 【巩固迁移】 1．(2023·武汉模拟)为了得到y＝sin的图象，只需将y＝sinx图象上的所有点的纵坐标不变(　　) A．所有点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度 B．所有点的横坐标变为原来的4倍，再向右平移个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的4倍 D．先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的 答案　C 解析　y＝sinx图象上所有点的横坐标变为原来的4倍得到y＝sin的图象，再向右平移个单位长度得到y＝sin的图象，故A，B错误；y＝sinx的图象先向右平移个单位长度得到y＝sin的图象，再将所有点的横坐标变为原来的4倍得到y＝sin的图象，故C正确，D错误． 考点二　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例2 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的表达式可以为(　　) A．f(x)＝2cos B．f(x)＝2cos C．f(x)＝sin D．f(x)＝2sin 答案　A 解析　不妨令A＞0，ω＞0.由题图可知，A＝2，T＝－，∴T＝π，∴ω＝＝2，f(x)的图象经过最高点，∴2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，故φ＝－＋＋2kπ，k∈Z，∴f(x)＝2sin＝2sin＝2cos.故选A. 【通性通法】 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. (2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝. (3)求φ，常用的方法有： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)； ②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时，ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)；“最小值点”(即图象的“谷点”)时，ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)． 提醒：如果已知图象上有最值点，最好代入最值点求解．若将图象上的非最值点代入解析式求解时，注意点在上升区间还是在下降区间． 【巩固迁移】 2．(2024·湘潭模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为(　　) A．y＝－cos2x B．y＝cos2x C．y＝sin D．y＝sin 答案　C 解析　观察图象得A＝1，令函数f(x)的周期为T，则有＝－＝，解得T＝π，则ω＝＝2，而当x＝时，f(x)max＝1，则有2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，则φ＝，因此f(x)＝sin.将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得f＝sin，所以将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y＝sin.故选C. 考点三　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(多考向探究) 考向1图象与性质的综合应用 例3 (1)已知函数f(x)＝sin＋sinωx(ω>0)的最小正周期为π，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后，再将图象上的所有点的纵坐标缩短为原来的，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)－3cosx的最小值为(　　) A．4 B．－4 C． D．－ 答案　D 解析　f(x)＝sin＋sinωx＝sinωx＋cosωx＋sinωx＝sinωx＋cosωx＝sin，因为f(x)的最小正周期为π，ω>0，所以π＝，所以ω＝2，所以f(x)＝sin，又将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后，再将图象上的所有点的纵坐标缩短为原来的，得到函数y＝g(x)的图象，所以g(x)＝×sin＝cos2x，所以y＝g(x)－3cosx＝cos2x－3cosx＝2cos2x－3cosx－1，当cosx＝时，y＝g(x)－3cosx有最小值，为－.故选D. (2)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，若函数f(x)在区间(0，π)上有且只有两个零点，则ω的取值范围为________． 答案　 解析　由x∈(0，π)可得ωx－∈.若函数f(x)在区间(0，π)上有且只有两个零点，则π<ωπ－≤2π，解得<ω≤.故ω的取值范围为. 【通性通法】 (1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． (2)解决三角函数中的零点(方程根)问题的关键是根据条件作出对应函数的图象，然后利用数形结合思想求解． 【巩固迁移】 3．(多选)(2023·黑龙江佳木斯一中模拟)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋1的图象向左平移个单位长度后关于直线x＝0对称，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)在区间上有一个零点 B．f(x)的图象关于点对称 C．f(x)在区间上单调递增 D．f(x)在区间上的最大值为＋1 答案　AD 解析　函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋1的图象向左平移个单位长度后的图象对应的解析式为g(x)＝sin＋1＝sin＋1，又g(x)的图象关于直线x＝0对称，且|φ|<，所以＋φ＝，φ＝－＝－，所以f(x)＝sin＋1，因为f≠0，所以f(x)的图象不关于点对称，故B错误；当≤x≤时，≤2x－≤，令t＝2x－，则f(x)在的零点个数可转化为y＝sint＋1在t∈的零点个数， 结合图象可知，当≤t≤时，y＝sint＋1的图象与x轴只有一个交点，即f(x)在上只有一个零点，故A正确；当≤x≤时，0≤2x－≤，结合图象可知，此时f(x)有增有减，故C错误；当≤x≤时，0≤2x－≤，结合图象可知，此时f(x)单调递增，所以当x＝时，函数取最大值，为f＝sin＋1＝＋1，故D正确．故选AD. 考向2三角函数模型的简单应用 例4 如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动．记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2. (1)求t＝时，A，B两点间的距离； (2)若y＝y1＋y2，求y关于时间t(t>0)的函数关系式，并求当t∈时，y的取值范围． 解　(1)连接AB，OA，OB(图略)， 当t＝时，∠xOA＝＋＝，∠xOB＝， 所以∠AOB＝. 又OA＝1，OB＝2， 所以AB2＝12＋22－2×1×2cos＝7， 即A，B两点间的距离为. (2)依题意，y1＝sin，y2＝－2sin2t， 所以y＝sin－2sin2t＝cos2t－sin2t＝cos， 即函数关系式为y＝cos(t>0)， 当t∈时，2t＋∈， 所以cos∈， 故当t∈时，y∈. 【通性通法】 利用三角函数模型解决实际问题的步骤 (1)寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型． (2)寻找数据，建立函数解析式并解题；最后将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答． 解题思路如下： 【巩固迁移】 4．(多选)(2024·西南大学附中模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到点P，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，则下列叙述正确的是(　　) A．水斗做周期运动的初相为－ B．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其高度不断增加 C．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其最高点离平衡位置的纵向距离是3 D．当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6 答案　AD 解析　对于A，由A(3，－3)，知R＝＝6，T＝120，所以ω＝＝.当t＝0时，点P在点A位置，有－3＝6sinφ，解得sinφ＝－，又|φ|<，所以φ＝－，故A正确；对于B，由A项可知f(t)＝6sin，当t∈(0，60]时，t－∈，所以函数f(t)先增后减，故B错误；对于C，当t∈(0，60]时，t－∈，sin∈，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C错误；对于D，当t＝100时，t－＝，点P的纵坐标为y＝－3，横坐标为x＝－3，所以|PA|＝|－3－3|＝6，故D正确． 课时作业 一、单项选择题 1．为了得到函数y＝2sin的图象，只需把函数y＝sinx－cosx的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　C 解析　y＝sinx－cosx＝2＝2＝2sin，故将其图象向左平移个单位长度可得y＝2sin＝2sin的图象．故选C. 2．关于函数f(x)＝sin，下列结论错误的是(　　) A．－π是f(x)的一个周期 B．f(x)的图象可由y＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到 C．f(x＋π)的一个零点为x＝ D．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 答案　B 解析　f(x)＝sin的最小正周期为π，故－π也是其周期，故A正确；f(x)的图象可由y＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到，故B错误；f＝f＝sin＝sin2π＝0，故C正确；f＝sin＝sin＝sin＝1，故D正确． 3.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．为了得到函数f(x)的图象，可以将函数y＝sinx的图象(　　) A．先向右平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 B．先向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 C．先向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 D．先向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 答案　D 解析　由题图可知，A＝，T＝－＝，所以T＝π，即＝π，解得ω＝2.当x＝时，×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝.所以f(x)＝sin.将y＝sinx的图象先向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到f(x)＝sin的图象．故选D. 4．(2023·湖南永州模拟)将函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x－1的图象向右平移个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的单调递增区间是(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 答案　A 解析　f(x)＝sin2x＋－1＝sin2x＋－＝sin－，则g(x)＝sin－，令－＋2kπ≤4x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋≤x≤＋(k∈Z)． 5．(2023·贵州贵阳模拟)将函数f(x)＝sin(2x－φ)(φ>0)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象．若g(x)在上单调递增，则φ的最大值为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　由题意可得g(x)＝f＝sin，当x∈时，2x－－φ∈，因为g(x)在上单调递增，所以－≤－－φ<－，解得0<φ≤，所以φ的最大值为. 6.已知函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)sin，ω>0，|φ|<，如图是y＝f(x)的部分图象，则f＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案　A 解析　f(x)＝4sin(ωx＋φ)sin＝4sin(ωx＋φ)cos(ωx＋φ)＝2sin(2ωx＋2φ)．由题图可知f(0)＝，即sin2φ＝，由于点(0，)在单调递增的区间内，所以2φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z，根据题意知φ＝，由图象过点，则ω＋＝2π，解得ω＝2，故f(x)＝2sin，则f＝2sin＝－2sin＝－.故选A. 7．若关于x的方程2cos2x－sin2x＝－m在区间上有且只有一个解，则m的取值范围为(　　) A．(－1，0] B．{－2}∪(－1，0] C．[－2，0] D．{－1}∪[0，1) 答案　B 解析　2cos2x－sin2x＝－m整理可得cos＝－，令t＝2x＋，因为x∈，则t∈，所以cost＝－在区间上有且只有一个解，即y＝cost的图象和直线y＝－只有1个交点．由图可知，－＝1或0≤－<，解得m＝－2或－1<m≤0.故选B. 8．(2023·湖北三校联考)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图，f(x1)＝f(x2)＝－，则cos＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案　C 解析　由f(0)＝2sinφ＝1，得sinφ＝，因为0<φ<，所以φ＝，又由图象可知T>，即T＝>5，解得0<ω<，又由f＝2sin＝0，即ω＋＝kπ，k∈Z，即ω＝－＋kπ，k∈Z，从而ω＝，故f(x)＝2sin，令x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝1＋3k，k∈Z，从而函数f(x)图象的对称轴为直线x＝1＋3k，k∈Z，由图象可知，直线x＝x1与直线x＝x2关于直线x＝－2对称，即x1＋x2＝－4，则x2＝－4－x1，且x1∈，因为f(x1)＝2sin＝－，所以sin＝－，所以cos＝cos＝cos＝－sin＝. 二、多项选择题 9．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|≤π)的部分图象如图所示，则(　　) A．ω＝π B．f(x)的单调递减区间为，k∈Z C．φ＝ D．f(x)的单调递减区间为，k∈Z 答案　ABC 解析　由图象可知＝＝－，所以ω＝π，则f(x)＝cos(πx＋φ)，故A正确；因为点在图象上，所以cos＝0，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|≤π，f(0)＝cosφ∈(0，1)，所以φ＝，所以函数f(x)＝cos，故C正确；令2kπ≤πx＋≤2kπ＋π，k∈Z，即2k－≤x≤2k＋，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为，k∈Z，故B正确，D错误．故选ABC. 10．函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则(　　) A．f(x)＝3sin B．f(x)图象的一条对称轴方程是x＝－ C．f(x)图象的对称中心是，k∈Z D．函数y＝f是偶函数 答案　BD 解析　由函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)的图象知，T＝－＝，所以T＝π，即＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝3sin(2x＋φ)，因为f＝3sin＝3，所以φ－＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，因为0<φ<π，所以φ＝，f(x)＝3sin.对于A，由以上分析可知A错误；对于B，f＝3sin＝3sin＝－3，故B正确；对于C，令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ－，k∈Z，所以f(x)图象的对称中心是，k∈Z，故C错误；对于D，设g(x)＝f＝3sin＝3sin＝3cos2x，则g(x)的定义域为R，g(－x)＝3cos(－2x)＝3cos2x＝g(x)，所以g(x)为偶函数，故D正确．故选BD. 三、填空题 11．(2023·山东日照模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则φ＝________． 答案　 解析　由题图知＝－＝，T＝π，ω＝＝2，由五点法可知，2×＋φ＝0＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<π，所以φ＝. 12．已知函数f(x)＝cos－(ω>0)，将f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．已知g(x)在[0，π]上恰有5个零点，则ω的取值范围是________． 答案　 解析　g(x)＝cos－，令t＝2ωx－，由题意g(x)在[0，π]上恰有5个零点，即cost＝在t∈上恰有5个不相等的实根，由y＝cost的性质可得≤2πω－<，解得2≤ω<.故ω的取值范围为. 13．函数y＝tanx的相邻两个周期的图象与直线y＝2及y＝－2围成的图形的面积是________． 答案　4π 解析　由题意，画出图象如图所示．根据正切函数的对称性可知，两个阴影部分的面积相等，因此由y＝tanx的相邻两个周期的图象与直线y＝2及y＝－2围成的图形的面积可以看成矩形ABCD的面积，因而S矩形ABCD＝4π. 14．已知M，N是函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0)的图象与直线y＝的两个不同的交点．若|MN|的最小值是，则ω＝________． 答案　4 解析　由于M，N是函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0)的图象与直线y＝的两个不同的交点，故M，N的横坐标是方程2cos(ωx＋φ)＝的解，即M，N的横坐标x1，x2(不妨令x1<x2)是方程cos(ωx＋φ)＝的解，设u＝ωx＋φ，作出函数y＝cosu的图象如图所示， 设u1＝ωx1＋φ，u2＝ωx2＋φ，当x2－x1取最小值时，u2－u1＝ω(x2－x1)取得最小值，即ω＝－＝，解得ω＝4. 四、解答题 15．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)的最小正周期是π. (1)求ω的值； (2)求f(x)图象的对称中心； (3)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间． 解　(1)f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin， 又ω>0，∵T＝＝π， ∴ω＝2. (2)由(1)知，f(x)＝2sin， 令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z， ∴f(x)图象的对称中心是，k∈Z. (3)将f(x)的图象向右平移个单位长度后可得y＝2sin的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)＝2sin的图象， 由2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z， 解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z. ∴g(x)的单调递增区间为，k∈Z. 16．(多选)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则以下结论正确的是(　　) A．f(x)＝sin B．∀x∈R，f(x)≥f C．f(x)在上的零点之和为π D．若f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x2－x1|≥π 答案　ABC 解析　＝－＝，所以T＝π＝，所以ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)，f＝sin＝1，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin，所以A正确；f＝sin＝－1，f(x)≥f恒成立，所以B正确；f(x)＝0，则2x＋＝kπ，k∈Z，则x＝－＋，k∈Z，k＝0时，x1＝－，k＝1时，x2＝，k＝2时，x3＝，x1＋x2＋x3＝－＋＋＝π，所以C正确；若f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则x1＝－＋kπ，k∈Z，x2＝＋kπ，k∈Z，所以|x2－x1|≥，所以D错误．故选ABC. 17.风车发电是指把风的动能转化为电能．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为120°.现有一座风车，塔高60米，叶片长度为30米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且6秒旋转一圈，风车开始旋转时，某叶片的一个端点P在风车的最低点(P离地面30米)，设点P离地面的距离为S(单位：米)，转动时间为t(单位：秒)，则S与t之间的函数解析式为________，一圈内点P离地面的高度不低于45米的时长为________秒． 答案　S＝60－30cost(t>0)　4 解析　因为风车6秒旋转一圈，则其转动的角速度为 rad/s，经过t秒时，叶片转过的圆心角为t，此时离地面的高度为30＋30，故S＝60－30cost(t>0)．由S＝60－30cost≥45，得cost≤，因为0≤t≤6，cost≤，所以≤t≤，解得1≤t≤5，故一圈内点P离地面的高度不低于45米的时长为4秒． 18．设f(x)＝mcos＋m－1(m≠0)． (1)若m＝2，求函数f(x)的零点； (2)当x∈时，－3≤f(x)≤4恒成立，求实数m的取值范围． 解　(1)由m＝2，得f(x)＝2cos＋1， 令f(x)＝0， 则cos＝－， 即2x－＝2kπ＋(k∈Z)或2x－＝2kπ＋(k∈Z)， 解得x＝kπ＋(k∈Z)或x＝kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的零点是x＝kπ＋(k∈Z)或x＝kπ＋(k∈Z)． (2)由0≤x≤可得－≤2x－≤， 所以－≤cos≤1， 当m>0时，易得－1≤f(x)≤2m－1， 由－3≤f(x)≤4恒成立可得 即解得0<m≤； 当m<0时，可得2m－1≤f(x)≤－1， 由－3≤f(x)≤4恒成立可得 即解得－1≤m<0. 综上可得，实数m的取值范围是[－1，0)∪. 20 学科网（北京）股份有限公司 $$