第5节 指数与指数函数-【金版教程】2025年高考数学一轮复习解决方案全书word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第五节　指数与指数函数 课标解读 考向预测 1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 3.会画指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 指数函数是高考考查的重点内容之一，应当熟练掌握指数函数的概念、图象和单调性等常考知识点．在近三年的高考中，考查了指数型函数的图象和性质，或与分段函数结合，以选择题或填空题的形式出现. 预计2025年高考可能会考查利用指数函数的性质比较大小、指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用，题型为选择题或填空题，难度中档；也可能会以指数或指数函数为载体，结合新定义、初等数论等以创新型题目出现在第19题，难度较大. 必备知识——强基础 1．根式 (1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a． 当n为奇数时，＝a； 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂，a＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂，a－＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)． 4．指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数． (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 图象过定点(0，1)，即当x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 (1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数． (2)画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. (3)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大． (4)指数函数y＝ax与y＝(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称． 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)＝－4.(　　) (2)2a·2b＝2ab.(　　) (3)＝()n＝a.(　　) (4)＝(－3).(　　) (5)函数y＝2x－1是指数函数．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 2．小题热身 (1)(人教A必修第一册习题4.1 T1改编)下列运算中正确的是(　　) A.＝2－π B．a＝ C．(mn)8＝ D．(x3－)3＋＝x9 答案　C 解析　对于A，因为2－π<0，所以＝π－2，故A错误；对于B，因为－>0，所以a<0，则a＝－(－a)·＝－，故B错误；对于C，因为(mn)8＝(m)8·(n)8＝，故C正确；对于D，因为(x3－)3＋＝x9－2＝x7，故D错误． (2)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点(　　) A. B. C．(1，2) D. 答案　D (3)函数y＝2x＋1的图象是(　　) 答案　A (4)若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为________． 答案　2 考点探究——提素养 考点一　指数幂的运算 例1(1)(2024·湖北宜昌高三模拟)已知x，y>0，化简＝__________． 答案　－10y 解析　原式＝＝－10y. (2)计算：－0.752＋6－2×＝________． 答案　1 解析　原式＝－＋×＝－＋×＝－＋×＝1. 【通性通法】 【巩固迁移】 1.·(a>0，b>0)＝________． 答案　 解析　原式＝＝. 2．若x＋x＝3，则x2＋x－2＝________． 答案　47 解析　由x＋x＝3，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47. 考点二　指数函数的图象及其应用 例2(1)(2024·安徽合肥八中月考)函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是(　　) A.，，， B.，，， C.，，， D.，，， 答案　C 解析　由题图，直线x＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而>>>，故选C. (2)(2024·江苏南京金陵高三期末)若直线y＝3a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为________． 答案　 解析　当0<a<1时，y＝|ax－1|的图象如图1所示，由已知得0<3a<1，∴0<a<；当a>1时，y＝|ax－1|的图象如图2所示，由已知可得0<3a<1，∴0<a<，结合a>1可得a无解．综上可知，a的取值范围为. 【通性通法】 (1)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断． (2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． 【巩固迁移】 3．(2024·广东深圳中学高三摸底)函数y＝e－|x|(e是自然对数的底数)的大致图象是(　　) 答案　C 解析　y＝e－|x|＝易得函数y＝e－|x|为偶函数，且图象过(0，1)，y＝e－|x|>0，函数在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故C符合题意．故选C. 4．(多选)若实数x，y满足4x＋5x＝5y＋4y，则下列关系式中可能成立的是(　　) A．1<x<y B．x＝y C．0<x<y<1 D．y<x<0 答案　BCD 解析　设f(x)＝4x＋5x，g(x)＝5x＋4x，则f(x)，g(x)都是增函数，画出函数f(x)，g(x)的图象，如图所示，根据图象可知，当x＝0时，f(0)＝g(0)＝1；当x＝1时，f(1)＝g(1)＝9，依题意，不妨设f(x)＝g(y)＝t，则x，y分别是直线y＝t与函数y＝f(x)，y＝g(x)图象的交点的横坐标．当t>9时，若f(x)＝g(y)，则x>y>1，故A不正确；当t＝9或t＝1时，若f(x)＝g(y)，则x＝y＝1或x＝y＝0，故B正确；当1<t<9时，若f(x)＝g(y)，则0<x<y<1，故C正确；当t<1时，若f(x)＝g(y)，则y<x<0，故D正确．故选BCD. 考点三　指数函数的性质及其应用(多考向探究) 考向1比较指数式的大小 例3 (2023·天津高考)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c 答案　D 解析　解法一：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1.因为函数φ(x)＝0.6x是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c<1.综上，b>a>c.故选D. 解法二：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b>a.因为函数h(x)＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a>c.综上，b>a>c.故选D. 【通性通法】 比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指． (1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小． (2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小． (3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较． 【巩固迁移】 5．(2023·福建泉州高三质检)已知a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．b>a>c 答案　C 解析　因为＝>1，＝<1，>1，y＝在R上是增函数，所以>，所以>>，即c>a>b. 考向2 解简单的指数方程或不等式 例4 (1)(多选)若4x－4y<5－x－5－y，则下列关系式正确的是(　　) A．x<y B．y－3>x－3 C.> D.<3－x 答案　AD 解析　由4x－4y<5－x－5－y，得4x－5－x<4y－5－y，令f(x)＝4x－5－x，则f(x)<f(y)．因为g(x)＝4x，h(x)＝－5－x在R上都是增函数，所以f(x)在R上是增函数，所以x<y，故A正确；因为G(x)＝x－3在(0，＋∞)和(－∞，0)上都单调递减，所以当x<y<0时，x－3>y－3，故B错误；当x<0，y<0时，，无意义，故C错误；因为y＝在R上是减函数，且x<y，所以<，即<3－x，故D正确．故选AD. (2)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________． 答案　 解析　当a<1时，41－a＝21，解得a＝；当a>1时，2a－(1－a)＝4a－1，无解．故a的值为. 【通性通法】 (1)解指数方程的依据：af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)⇔f(x)＝g(x)． (2)解指数不等式的思路方法：对于形如ax>ab(a>0，且a≠1)的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1与0<a<1两种情况讨论；而对于形如ax>b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解． 【巩固迁移】 6．函数y＝(0.5x－8)的定义域为________． 答案　(－∞，－3) 解析　因为y＝(0.5x－8)＝，所以0.5x－8>0，则2－x>23，即－x>3，解得x<－3，故函数y＝(0.5x－8)的定义域为(－∞，－3)． 7．当0<x<时，方程ax＝(a>0，且a≠1)有解，则实数a的取值范围是________． 答案　(4，＋∞) 解析　依题意，当x∈时，y＝ax与y＝的图象有交点，作出y＝的部分图象，如图所示，所以解得a>4. 考向3与指数函数有关的复合函数问题 例5 (1)函数f(x)＝3－x2＋1的值域为________． 答案　(0，3] 解析　设t＝－x2＋1，则t≤1，所以0<3t≤3，故函数f(x)的值域为(0，3]． (2)函数y＝－8·＋17的单调递增区间为________． 答案　[－2，＋∞) 解析　设t＝>0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．由≤4，得x≥－2，由>4，得x<－2，而函数t＝在R上单调递减，所以函数y＝－8·＋17的单调递增区间为[－2，＋∞)． 【通性通法】 涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 【巩固迁移】 8．(多选)已知定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2·9x＋4·3x，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)的单调递减区间是[0，1] B．f(x)的单调递增区间是[－1，1] C．f(x)的最大值是f(0)＝2 D．f(x)的最小值是f(1)＝－6 答案　ACD 解析　设t＝3x，x∈[－1，1]，则t＝3x是增函数，且t∈，又函数y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2在上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，故A正确，B错误；f(x)max＝f(0)＝2，故C正确；f(－1)＝，f(1)＝－6，因此f(x)的最小值是f(1)＝－6，故D正确．故选ACD. 9．若函数f(x)＝的值域是，则f(x)的单调递增区间是________． 答案　(－∞，－1] 解析　∵y＝是减函数，且f(x)的值域是，∴t＝ax2＋2x＋3有最小值2，则a>0且＝2，解得a＝1，因此t＝x2＋2x＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，故f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]． 课时作业 一、单项选择题 1．(2024·内蒙古阿拉善盟第一中学高三期末)已知集合A＝{x|32x－1≥1}，B＝{x|6x2－x－2<0}，则A∪B＝(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　集合A＝{x|32x－1≥1}＝，B＝{x|6x2－x－2<0}＝{x|(3x－2)(2x＋1)<0}＝，所以A∪B＝.故选D. 2.(2024·山东枣庄高三模拟)已知指数函数y＝ax的图象如图所示，则y＝ax2＋x的图象顶点横坐标的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由图可知，a∈(0，1)，而y＝ax2＋x＝a－(a≠0)，其顶点横坐标为x＝－，所以－∈.故选A. 3．已知函数f(x)＝，则对任意实数x，有(　　) A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝0 C．f(－x)＋f(x)＝1 D．f(－x)－f(x)＝ 答案　C 解析　f(－x)＋f(x)＝＋＝＋＝1，故A错误，C正确；f(－x)－f(x)＝－＝－＝＝1－，不是常数，故B，D错误．故选C. 4．已知a＝2，b＝4，c＝5，则(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．b<a<c D．c<a<b 答案　A 解析　因为a＝2＝4，b＝4，所以a＝4>4＝b，因为b＝4＝(46)＝4096，c＝5＝(55) ＝3125，所以b>c.综上所述，a>b>c.故选A. 5．(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，则实数m的值为(　　) A. B. C. D.或 答案　D 解析　当a>1时，f(x)＝ax在[－1，2]上单调递增，则f(x)max＝f(2)＝a2＝4，解得a＝2，此时f(x)＝2x，m＝f(x)min＝2－1＝；当0<a<1时，f(x)＝ax在[－1，2]上单调递减，所以f(x)max＝f(－1)＝a－1＝4，解得a＝，此时f(x)＝，m＝f(x)min＝f(2)＝＝.综上所述，实数m的值为或.故选D. 6．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) 答案　D 解析　函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则函数y＝x(x－a)＝－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．故选D. 7．(2023·辽宁名校联盟联考)已知函数f(x)满足f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，0)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1) 答案　B 解析　当x>0时，－x<0，f(－x)＝2－2x＝－(2x－2)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝2－x－2＝－(2－2－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，所以f(a)>f(－a)＝－f(a)，即f(a)>0，作出函数f(x)的图象，如图所示，由图象可得，实数a的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞)．故选B. 8．(2024·福建漳州四校期末)已知正数a，b，c满足2a＋＝4，3b＋＝6，4c＋＝8，则下列判断正确的是(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b 答案　A 解析　由已知可得a＋＝2，b＋＝2，c＋＝2，则a，b，c可分别看作直线y＝2－x和y＝，y＝，y＝的图象的交点的横坐标，画出直线y＝2－x和y＝，y＝，y＝的大致图象，如图所示，由图象可知a<b<c.故选A. 二、多项选择题 9．下列各式中成立的是(　　) A.＝n7m(n>0，m>0) B．－＝ C.＝ D．[(a3)2(b2)3]－＝a－2b－2(a>0，b>0) 答案　BCD 解析　＝＝n7m－7(n>0，m>0)，故A错误；－＝－3＝－3＝，故B正确；＝＝＝，故C正确；[(a3)2(b2)3]＝(a6b6)＝a－2b－2(a>0，b>0)，故D正确．故选BCD. 10．已知函数f(x)＝，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的图象关于原点对称 B．f(x)的图象关于直线x＝1对称 C．f(x)的值域为(－1，1) D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，<0 答案　AC 解析　由f(－x)＝＝－＝－f(x)，可得函数f(x)为奇函数，所以A正确；因为f(0)＝0，f(2)＝，f(0)≠f(2)，所以B错误；设y＝，可得3x＝，所以>0，即<0，解得－1<y<1，即函数f(x)的值域为(－1，1)，所以C正确；f(x)＝＝1－为增函数，所以D错误．故选AC. 三、填空题 11．0.25－(－2×160)2×(2)3＋×(4)－1＝________． 答案　3 解析　原式＝[(0.5)2]－(－2×1)2×2－2＋2×2＝－4×＋2＝2－1＋2＝3. 12．不等式10x－6x－3x≥1的解集为________． 答案　[1，＋∞) 解析　由10x－6x－3x≥1，可得＋＋≤1.令f(x)＝＋＋，因为y＝，y＝，y＝均为R上的减函数，则f(x)在R上单调递减，且f(1)＝1，所以f(x)≤f(1)，所以x≥1，故不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞)． 13．若函数f(x)＝|2x－a|－1的值域为[－1，＋∞)，则实数a的取值范围为________． 答案　(0，＋∞) 解析　令g(x)＝|2x－a|，由题意得g(x)的值域为[0，＋∞)，又y＝2x的值域为(0，＋∞)，所以－a<0，解得a>0. 14．已知函数f(x)＝关于x的不等式f(x)≤f(2)的解集为I，若I(－∞，2]，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，－1) 解析　当a≥0时，结合图象可得f(x)≤f(2)的解集是(－∞，2]，不符合题意．当a<0时，2－a>2a，由于f(x)在区间(－∞，0]和(0，2]上单调递增，所以要使f(x)≤f(2)的解集I满足I(－∞，2]，则2－a>f(2)＝22＋a，解得a<－1.综上，实数a的取值范围是(－∞，－1)． 四、解答题 15．(2024·辽宁沈阳东北育才学校高三月考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且函数g(x)＝f(x)＋ex是定义在R上的偶函数． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求不等式f(x)≥的解集． 解　(1)∵g(x)＝f(x)＋ex是定义在R上的偶函数， ∴g(－x)＝g(x)，即f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex， ∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＋e－x＝f(x)＋ex， ∴f(x)＝. (2)由(1)，知≥，得2e－x－2ex－3≥0， 即2(ex)2＋3ex－2≤0， 令t＝ex，t>0，则2t2＋3t－2≤0， 解得0<t≤， ∴0<ex≤， ∴x≤－ln 2， ∴不等式f(x)≥的解集为(－∞，－ln 2]． 16．(2024·山东菏泽高三期中)已知函数f(x)＝. (1)解关于x的不等式f(x)>，a∈R； (2)若∃x∈(1，3)，∀m∈(1，2)，f(2mnx－4)－f(x2＋nx)＋x2＋nx－2mnx＋4≤0，求实数n的取值范围． 解　(1)由>，得x3＋x<x3＋ax＋1，即(1－a)x<1. 当1－a＝0，即a＝1时，不等式恒成立， 则f(x)>的解集为R； 当1－a>0，即a<1时，x<， 则f(x)>的解集为； 当1－a<0，即a>1时，x>， 则f(x)>的解集为. 综上所述，当a＝1时，不等式的解集是R； 当a<1时，不等式的解集是； 当a>1时，不等式的解集是. (2)因为y＝x3和y＝x均为增函数， 所以y＝x3＋x是增函数， 因为y＝是减函数， 所以f(x)是减函数，则g(x)＝f(x)－x是减函数． 由f(2mnx－4)－f(x2＋nx)＋x2＋nx－2mnx＋4≤0可得， g(2mnx－4)＝f(2mnx－4)－(2mnx－4)≤f(x2＋nx)－(x2＋nx)＝g(x2＋nx)， 所以2mnx－4≥x2＋nx， 所以2mn－n≥x＋能成立， 又x＋≥2＝4，当且仅当x＝， 即x＝2时，不等式取等号，即∀m∈(1，2)，2mn－n≥4恒成立， 由一次函数性质可知，解得n≥4， 所以实数n的取值范围是[4，＋∞)． 17．(多选)已知函数f(x)＝a·＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是(　　) A．a＋b＝0 B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＋y＝0 C．若x<y<0，则f(x)<f(y) D．f(x)的值域为[0，2) 答案　ABD 解析　∵函数f(x)＝a·＋b的图象过原点，∴a＋b＝0，即b＝－a，则f(x)＝a·－a，又f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，∴b＝2，a＝－2，f(x)＝－2·＋2，故A正确；由于f(x)为偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，故若f(x)＝f(y)，且x≠y，则x＝－y，即x＋y＝0，故B正确；由于f(x)＝2－2·在(－∞，0)上单调递减，故若x<y<0，则f(x)>f(y)，故C错误；∵∈(0，1]，∴f(x)＝－2·＋2∈[0，2)，故D正确．故选ABD. 18．(多选)已知实数a，b满足3a＝6b，则下列关系式可能成立的是(　　) A．a＝b B．0<b<a C．a<b<0 D．1<a<b 答案　ABC 解析　由题意，在同一坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示，由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，所以A可能成立；作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0<b<a，所以B可能成立；当0<k<1时，若3a＝6b＝k，则a<b<0，所以C可能成立．故选ABC. 19．(2023·广东珠海一中阶段考试)对于函数f(x)，若其定义域内存在实数x满足f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为“准奇函数”．若函数f(x)＝，则f(x)________(是，不是)“准 奇函数”；若g(x)＝2x＋m为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，则实数m的取值范围为________． 答案　不是　 解析　假设f(x)为“准奇函数”，则存在x满足f(－x)＝－f(x)，∴＝－有解，整理得ex＝－1，显然无解，∴f(x)不是“准奇函数”．∵g(x)＝2x＋m为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，∴2－x＋m＝－2x－m在[－1，1]上有解，∴2m＝－(2x＋2－x)在[－1，1]上有解，令2x＝t∈，∴2m＝－在t∈上有解，又函数y＝t＋在上单调递减，在(1，2]上单调递增，且t＝时，y＝，t＝2时，y＝，∴ymin＝1＋1＝2，ymax＝，∴y＝t＋的值域为，∴2m∈，解得m∈. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$