微专题(一) 一元二次方程根的分布-【金版教程】2025年高考数学一轮复习解决方案全书word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 所谓一元二次方程根的分布问题，就是已知一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题．解决一元二次方程根的分布问题，主要依据方程的根与函数零点间的关系，借助图象，从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解． (1)判别式Δ的符号； (2)对称轴x＝－与所给区间的位置关系； (3)区间端点处函数值的符号． 一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况复杂，但基本可以分为以下三类： 类型一　已知两根与实数k的大小关系 根的分布情况 两根都小于k，即x1<k，x2<k 两根都大于k，即x1>k，x2>k 一根小于k，一根大于k，即x1<k<x2 大致图象(a>0) 得出的结论　 f(k)<0 大致图象(a<0) 得出的结论　 f(k)>0 综合结论(不讨论a) a·f(k)<0 例1(1)若关于x的方程x2－(m－1)x＋2－m＝0的两根为正数，则实数m的取值范围是________． 答案　[－1＋2，2) 解析　设f(x)＝x2－(m－1)x＋2－m， 则 解得－1＋2≤m<2. (2)(2024·湖北武汉华师第一附中模拟)若关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1<x2，那么实数a的取值范围是________． 答案　 解析　由于方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根，故a≠0，则ax2＋(a＋2)x＋9a＝0可化为x2＋x＋9＝0，令f(x)＝x2＋x＋9，则f(1)＝1＋×1＋9<0，解得－<a<0. 当方程中二次项系数含有参数时，为避免讨论对应二次函数图象的开口方向，可将方程两边同时除以二次项系数，从而只需研究开口向上的情况，当然需要先判断二次项系数能否为0. 1．(2023·黑龙江哈尔滨六中模拟)关于x的方程x2＋(m－2)x＋6－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是________． 答案　(－6，－2] 解析　令f(x)＝x2＋(m－2)x＋6－m，则即 解得－6<m≤－2. 2．已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，则实数m的取值范围是________． 答案　 解析　解法一：显然2m＋1≠0，令f(x)＝x2－x＋，则f(0)<0，即<0，所以(2m＋1)(m－1)<0，解得－<m<1. 解法二：设x1，x2是方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0的两个根，则x1x2＝<0，解得－<m<1. 类型二　已知两根所在的区间 根的分布情况 两根都在(m，n)内 恰有一根在(m，n)内 一根在(m，n)内，另一根在(p，q)内，m<n<p<q 大致图象(a>0) 得出的结论 或f(m)f(n)<0 或 大致图象(a<0) 得出的结论 或f(m)f(n) <0 或 综合结论(不讨论a) 或f(m)f(n) <0 另外，根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1<m，x2>n(图形分别如下)，需满足的条件是： (1)当a>0时， (2)当a<0时， 例2已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围为________；若方程两根均在区间(0，1)内，则实数m的取值范围为________． 答案　　 解析　设函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，则其图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图如图1，由题意，得 即 解得－＜m＜－. 由题意知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点落在区间(0，1)内，画出示意图如图2，由题意，得 即解得－＜m≤1－. 求解二次方程根的分布问题，最重要的是数形结合，即结合对应二次函数的图象，从以下角度考虑：①开口方向；②对称轴；③判别式；④在区间端点的函数值． 注意以下两点：一是特殊点(含参的二次函数过的一些定点(比如与x，y轴的交点)或某些函数值的正负)的应用；二是对于一些特殊情况，还可以利用根与系数的关系、因式分解求出根再求解等方法． 3．已知方程x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0的两根分别在区间(0，1)，(1，3)内，则实数a的取值范围为________． 答案　(0，1) 解析　解法一：设f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)，则即 解得所以0<a<1. 解法二：由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0，得(x－a)[x－(a＋1)]＝0，所以方程两根为x1＝a，x2＝a＋1，则解得0<a<1. 4．已知关于x的方程ax2＋