第2节 基本不等式-【金版教程】2025年高考数学一轮复习解决方案全书word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第二节　基本不等式 课标解读 考向预测 1.掌握基本不等式≤(a，b>0)，了解其证明过程. 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 基本不等式是高考考查的重点，基本不等式具有将“和式”转化为“积式”及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式．从近几年高考来看，基本不等式考查的内容、频率、题型难度均变化不大，2025年备考仍以选择题、解答题为主，重点关注利用基本不等式进行大小判断、与解三角形、圆锥曲线、导数等知识相结合求最值或求取值范围的问题. 必备知识——强基础 1．基本不等式：≤. (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤(a，b∈R)． (4)≥(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b． 3．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2．(简记：积定和最小) (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2．(简记：和定积最大) 注意：(1)利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”，其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件． (2)形如y＝x＋(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 1．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件要一致． 2．若a>0，b>0，则≤≤≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 3．常见求最值的模型 模型一：mx＋≥2(m>0，n>0，x>0)，当且仅当x＝时，等号成立； 模型二：mx＋＝m(x－a)＋＋ma≥2＋ma(m>0，n>0，x>a)，当且仅当x－a＝时，等号成立； 模型三：＝≤(a>0，c>0，x>0)，当且仅当x＝时，等号成立； 模型四：x(n－mx)＝≤·＝，当且仅当x＝时，等号成立． 4．三个正数的均值不等式：若a，b，c>0，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝x＋的最小值是2.(　　) (2)≥2.(　　) (3)已知0<x<，则x(1－2x)的最大值为.(　　) (4)函数f(x)＝sinx＋的最小值为4.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．小题热身 (1)设a＞0，则9a＋的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　C 解析　9a＋≥2＝6，当且仅当9a＝，即a＝时，等号成立． (2)矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是(　　) A．4 B. C. D．2 答案　B 解析　依题意，可得a＞0，b＞0，则6＝a＋2b≥2＝2·，当且仅当a＝2b时取等号，所以ab≤＝，即矩形面积的最大值为.故选B. (3)(2024·河南郑州高三模拟)已知实数a>0，b>0，a＋b＝2，则＋的最小值为________． 答案　＋ 解析　＋＝×＋＝＋＋≥＋2＝＋，当且仅当＝，即a＝2－2，b＝4－2时，等号成立． (4)(人教A必修第一册习题2.2 T1(2)改编)函数y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是________． 答案　 解析　因为0≤x≤1，所以3－2x＞0，所以y＝·2x·(3－2x)≤＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号． (5)(人教A必修第一册复习参考题2 T5改编)已知a，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为________． 答案　[9，＋∞) 解析　因为a，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2，于是ab－2－3≥0，解得≤－1(舍去)或≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围是[9，＋∞)． 考点探究——提素养 考点一　利用基本不等式求最值(多考向探究) 考向1配凑法求最值 例1(1)(2024·福建福州四校高三期中联考)已知0<x<2，则y＝x的最大值为(　　) A．2 B．4 C．5 D．6 答案　A 解析　因为0<x<2，所以y＝x＝≤＝2，当且仅当x2＝4－x2，即x＝时，等号成立，即y＝x的最大值为2.故选A. (2)函数y＝(x<－1)的最大值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．－1 答案　D 解析　y＝＝＝－＋1≤－2×＋1＝－1，当且仅当x＋1＝＝－1，即x＝－2时，等号成立．故选D. 【通性通法】