第1节 等式性质与不等式性质-【金版教程】2025年高考数学一轮复习解决方案全书word（新教材，基础版）

金版教程 高考科学复习解决方案 数学 第一节　等式性质与不等式性质 课标解读 考向预测 理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 高考主要与其他知识及实际问题相结合进行命题，为中档难度.2025年备考要重视性质的运用，明确其成立的前提，灵活运用估值法，适当关注与实际问题的结合. 必备知识——强基础 1．等式的性质 (1)对称性：若a＝b，则b＝a. (2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c. (3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c. (4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd. (5)可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔b<a；a<b⇔b>a 可逆 传递性 a>b，b>c⇒a>c；a<b，b<c⇒a<c 同向 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； c的符号 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向同正 可乘方性 a>b>0，n∈N，n≥2⇒an>bn 同正 可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2⇒> 同正 3.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 ①a－b>0⇔a>b； ②a－b＝0⇔a＝b； ③a－b<0⇔a<b. (2)作商法 ①>1(a∈R，b>0)⇔a>b(a∈R，b>0)； ②＝1(a∈R，b≠0)⇔a＝b(a∈R，b≠0)； ③<1(a∈R，b>0)⇔a<b(a∈R，b>0)． 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)＜；＞(a－m＞0)； (2)＞；＜(b－m＞0)． 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a＝b⇔ac＝bc.(　　) (2)若a<b<0，则<(n∈N*)．(　　) (3)若a>b>c，则(a－b)c>(b－a)c.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．小题热身 (1)实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是(　　) A.＜1 B．2－x＜2－y C．lg (x－y)＞0 D．x2＞y2 答案　B (2)(人教B必修第一册2.2.1练习B T2改编)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　) A.＞ B.＜ C.＞ D.＜ 答案　B (3)(人教A必修第一册习题2.1 T8)下列命题为真命题的是(　　) A．若a>b>0，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则a2>b2 C．若a<b<0，则a2<ab<b2 D．若a<b<0，则< 答案　B 解析　对于A，当c2＝0时不正确；对于B，因为a＞b＞0，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)＞0，所以a2＞b2，所以B正确；对于C，由a＜b＜0可得，a2＞ab＞b2，所以C不正确；对于D，因为a＜b＜0，所以>，所以D不正确． (4)已知1<a＋2b<2，－2<2a－b<1，则8a＋b的取值范围是________． 答案　(－4，7) 解析　因为8a＋b＝2(a＋2b)＋3(2a－b)，1<a＋2b<2，－2<2a－b<1，所以2<2(a＋2b)<4，－6<3(2a－b)<3，－4<8a＋b<7，故8a＋b的取值范围是(－4，7)． 考点探究——提素养 考点一　不等式的性质 例1 (多选)(2023·湖南长沙长郡中学高三二模)已知实数a，b，c满足0<a<b<c，则下列不等式成立的是(　　) A.> B.> C.> D．ab＋c2>ac＋bc 答案　BCD 解析　因为0<a<b<c，所以c－a>b－a>0，<，故A错误；因为a＞0，b＞0，b＋c＞0，a＋c＞0，所以>⇔b(a＋c)>a(b＋c)⇔bc>ac⇔b>a，故B正确；因为a＞0，b＞0，c－a＞0，所以>⇔>⇔b>a，故C正确；ab＋c2>ac＋bc⇔c(c－b)－a(c－b)>0⇔(c－a)(c－b)>0，故D正确．故选BCD. 【通性通法】 应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．有时可以结合函数的单调性进行推导． 【巩固迁移】 1．(2024·山东济南高三开学考试)“x>y”的一个充分条件可以是(　　) A．2x－y> B．x2>y2 C.>1 D．xt2>yt2 答案　D 解析　由x>y，得x－y>0.对于A，由2x－y>，得2x－y>2－1，由指数函数的性质，得x－y>－1，因为x－y>－1不一定有x－y>0，故A不正确；对于B，由x2>y2，得x2－y2>0，即(x＋y)(x－y)>0，则或故B不正确；对于C，由>1，得－1>0，即>0，所以y(x－y)>0，则或故C不正确；对于D，