7.4.2超几何分布-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第三册）

7.4.2 超几何分布 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 1． 理解超几何分布概率模型的特点，理解超几何分布与古典概型之间的关系； 2． 根据超几何分布概率模型的特点，会求超几何概型的分布列、期望、方差； 3． 在实际问题中能用超几何概型解决实际问题. 通过本节课的学习，能解决数学中的超几何概率的相关问题，能建立超几何概型解决实际问题. 课前预习 预习01超几何分布 定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝ ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 预习02超几何分布的期望 E(X)＝ ＝np(p为N件产品的次品率)． 知识讲解 知识点 超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． 【特别注意】1. 若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝． 2.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，超几发布的特征是： （1）考察对象分两类； （2）已知各类对象的个数； （3）从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.,超几何分布主要用于抽检产品，摸不同类别的小球概率模型，其实质是古典概型. 3. 超几何分布和二项分布的区别： （1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2）超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取（独立重复）； （3）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布. 【大招总结】 大招1对超几何分布的理解 判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点 (1)总体是否可分为两类明确的对象． (2)是否为不放回抽样． (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数． 大招2超几何分布的概率 求超几何分布的分布列的步骤 大招3 二项分布与超几何分布 二项分布与超几何分布的关系 在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布． 区别 ①当这n次试验是n重伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布； ②当n次试验不是n重伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布 联系 在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布如本例(3) 典型例题 题型01对超几何分布的理解 【例1】下列随机变量中，服从超几何分布的有(　　) A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 【解析】依据超几何分布模型定义可知，ABD中随机变量X服从超几何分布．而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．故选ABD 【变式】下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． （1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布； （2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布； （3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布； （4）某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布； （5）现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布． 题型02 超几何分布的概率 【例2】某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取________时，对应的概率为. 【解析】由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的C可以看出“从5名三好学生中选取了3名”． 【变式】一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是(　　) A．P(0<X≤2) B．P(X≤1) C．P(X＝1) D．P(X＝2) 题型03