第1节 平面向量的概念及线性运算-【金版教程】2025年高考数学一轮复习解决方案课件PPT（新教材，基础版）

第六章　平面向量、复数 第一节　平面向量的概念及线性运算 课标解读 考向预测 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义. 2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义. 3.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 预计2025年高考对本节内容的考查会以线性运算、共线向量定理为主，主要以选择题、填空题的形式出现，难度属中、低档. 目录 必备知识——强基础 考点探究——提素养 课时作业 必备知识——强基础 目录 * 1．向量的有关概念 名称 定义 表示 向量 在平面中，既有大小又有方向的量 用a，b，c，…或eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))，…表示 向量的模 向量a的大小，也就是表示向量a的有向线段eq \o(AB,\s\up16(→))的长度(或称模) |a|或|eq \o(AB,\s\up16(→))| 零向量 长度为0的向量 用0表示 单位向量 长度等于1个单位的向量 用e表示，|e|＝1 平行向量 方向相同或相反的非零向量(或称共线向量) a∥b 相等向量 长度相等且方向相同的向量 a＝b 相反向量 长度相等，方向相反的向量 向量a的相反向量是－a 说明：零向量的方向是不确定的、任意的． 规定：零向量与任一向量平行． 目录 b＋a a＋(b＋c) a＋(－b) 相同 相反 0 (λμ)a λa＋μa λa＋λb * 2．向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律：a＋b＝eq \x(\s\up1(01))_______； 结合律：(a＋b)＋c＝eq \x(\s\up1(02))_________ 减法 a－b＝eq \x(\s\up1(03))__________ 数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向eq \x(\s\up1(04))_______； 当λ<0时，λa的方向与a的方向eq \x(\s\up1(05))_______； 当λ＝0时，λa＝eq \x(\s\up1(06))_______ λ(μa)＝eq \x(\s\up1(07))________； (λ＋μ)a＝eq \x(\s\up1(08))________； λ(a＋b)＝eq \x(\s\up1(09))________ 目录 * 3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一． 目录 * 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即eq \o(A1A2,\s\up16(→))＋eq \o(A2A3,\s\up16(→))＋eq \o(A3A4,\s\up16(→))＋…＋An－1An＝eq \o(A1An,\s\up16(→)).特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则eq \o(OF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→)))． 3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则eq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→))＝0⇔P为△ABC的重心，eq \o(AP,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))． 4．若eq \o(OA,\s\up16(→))＝λeq \o(OB,\s\up16(→))＋μeq \o(OC,\s\up16(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 5．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 目录 √ × × √ 答案 * 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关．(　　) (2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(　　) (3)若向量eq \o(AB,\s\up16(→))与向量eq \o(CD,\s\up16(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　) (4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(　　) 目录 答案 解析 * 2．小题热身 (1)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论错误的是(　　) A．eq \o(EF,\s\up16(→))＝eq \o(CD,\s\up16(→)) B．eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(DE,\s\up16(→))共线 C．eq \o(BD,\s\up16(→))与eq \o(CD,\s\up16(→))是相反向量 D．eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)|eq \o(AC,\s\up16(→))| 解析　eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))，故D错误．故选D. 目录 解析 答案 * 解析　∵λa＋b与a＋2b共线，∴存在实数μ使得λa＋b＝μ(a＋2b)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝μ，,1＝2μ，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝\f(1,2).)) (2)(人教B必修第二册6.2.1例3改编)设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝________． eq \f(1,2) 目录 解析 答案 * 解析　如图，eq \o(DC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝b－a，eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))＝－eq \o(OA,\s\up16(→))－eq \o(OB,\s\up16(→))＝－a－b. (3)(人教A必修第二册6.2例6改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD交于点O，且eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b，则eq \o(DC,\s\up16(→))＝___________，eq \o(BC,\s\up16(→))＝___________．(用a，b表示) 　b－a －a－b 目录 解析 答案 * 解析　|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8，当且仅当a，b同向时取等号，所以|a＋b|max＝8.又|a＋b|≥||a|－|b||＝|3－5|＝2，当且仅当a，b反向时取等号，所以|a＋b|min＝2. (4)(人教A必修第二册习题6.2 T10改编)若a，b满足|a|＝3，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________． 8 　2 考点探究——提素养 目录 答案 * 考点一　平面向量的有关概念 例1 (多选)下列命题中的真命题是(　　) A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C．若a＝b，b＝c，则a＝c D．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b 目录 解析 * 解析　A是假命题，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；B是真命题，∵eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))，∴|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝|eq \o(DC,\s\up16(→))|且eq \o(AB,\s\up16(→))∥eq \o(DC,\s\up16(→))，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝|eq \o(DC,\s\up16(→))|，eq \o(AB,\s\up16(→))∥eq \o(DC,\s\up16(→))且eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(DC,\s\up16(→))方向相同，因此eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(DC,\s\up16(→))；C是真命题，∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c；D是假命题，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．故选BC. 目录 * 【通性通法】 平面向量有关概念的四个关注点 关注点一 非零向量的平行具有传递性 关注点二 共线向量即为平行向量，它们均与起点无关 关注点三 向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量 关注点四 eq \f(a,|a|)是与a同方向的单位向量 目录 答案 解析 * 【巩固迁移】 1．(多选)下列命题正确的是(　　) A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若a，b都为非零向量，则使eq \f(a,|a|)＋eq \f(b,|b|)＝0成立的条件是a与b反向共线 D．若a∥b，b∥c，则a∥c 解析　零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；因为eq \f(a,|a|)与eq \f(b,|b|)都是单位向量，所以只有当eq \f(a,|a|)与eq \f(b,|b|)是相反向量，即a与b反向共线时才成立，故C正确；若b＝0，则不共线的a，c也有a∥0，c∥0，故D错误． 目录 答案 解析 * 考点二　平面向量的线性运算(多考向探究) 考向1平面向量加、减运算的几何意义 例2 设P为▱ABCD对角线的交点，O为平面ABCD内的任意一点，则eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))＋eq \o(OD,\s\up16(→))＝(　　) A．eq \o(OP,\s\up16(→)) B．2eq \o(OP,\s\up16(→)) C．3eq \o(OP,\s\up16(→)) D．4eq \o(OP,\s\up16(→)) 解析　由题意知，P为AC，BD的中点，所以在△OAC中，eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→)))，即eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))＝2eq \o(OP,\s\up16(→))，在△OBD中，eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OD,\s\up16(→)))，即eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OD,\s\up16(→))＝2eq \o(OP,\s\up16(→))，所以eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→))＋eq \o(OD,\s\up16(→))＝4eq \o(OP,\s\up16(→)).故选D. 目录 * 【通性通法】 1．平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解． (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来． 2．三种运算法则的要点 (1)加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”． (2)减法的三角形法则要求“共起点，连终点，指被减”． (3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算． 目录 答案 解析 * 【巩固迁移】 2．(2024·山东青岛二中月考)若|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝|eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))|＝2，则|eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))|＝________． 2eq \r(3) 解析　因为|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝|eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))|＝2eq \r(3). 目录 答案 解析 * 解析　eq \o(CD,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(CA,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(CB,\s\up16(→))，即eq \o(CB,\s\up16(→))＝－2eq \o(CA,\s\up16(→))＋3eq \o(CD,\s\up16(→))＝－2m＋3n.故选B. 考向2平面向量的线性运算 例3 (2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA，记eq \o(CA,\s\up16(→))＝m，eq \o(CD,\s\up16(→))＝n，则eq \o(CB,\s\up16(→))＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 目录 * 【通性通法】 平面向量的线性运算的求解策略 目录 答案 解析 * 解析　由题意可得eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(AE,\s\up16(→))＋eq \o(EB,\s\up16(→))＝eq \o(AE,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(DA,\s\up16(→))＝eq \o(AE,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(DF,\s\up16(→))＋eq \o(FA,\s\up16(→)))＝eq \o(AE,\s\up16(→))＋eq \f(1,2)(eq \o(DF,\s\up16(→))－eq \f(1,3) eq \o(AE,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2) eq \o(DF,\s\up16(→))＋eq \f(5,6) eq \o(AE,\s\up16(→))，所以m＝eq \f(1,2)，n＝eq \f(5,6)，所以m＋n＝eq \f(4,3).故选D. 【巩固迁移】 3．(2023·江苏南通二模)在平行四边形ABCD中，eq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BC,\s\up16(→))，eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AE,\s\up16(→)).若eq \o(AB,\s\up16(→))＝meq \o(DF,\s\up16(→))＋neq \o(AE,\s\up16(→))，则m＋n＝(　　) A．eq \f(1,2) B．eq \f(3,4) C．eq \f(5,6) D．eq \f(4,3) 目录 证明 * 考点三　向量共线定理的应用(多考向探究) 考向1 判定向量共线、三点共线 例4 设两个非零向量a与b不共线．若eq \o(AB,\s\up16(→))＝a＋b，eq \o(BC,\s\up16(→))＝2a＋8b，eq \o(CD,\s\up16(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线． 证明　∵eq \o(AB,\s\up16(→))＝a＋b，eq \o(BC,\s\up16(→))＝2a＋8b，eq \o(CD,\s\up16(→))＝3(a－b)，∴eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq \o(AB,\s\up16(→))，∴eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(BD,\s\up16(→))共线，又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线． 目录 * 【通性通法】 共线向量定理的三个应用 目录 答案 解析 * 【巩固迁移】 4．已知P是△ABC所在平面内的一点，若eq \o(CB,\s\up16(→))＝λeq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PB,\s\up16(→))，其中λ∈R，则点P一定在(　　) A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上 C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上 解析　由eq \o(CB,\s\up16(→))＝λeq \o(PA,\s\up16(→))＋eq \o(PB,\s\up16(→))，得eq \o(CB,\s\up16(→))－eq \o(PB,\s\up16(→))＝λeq \o(PA,\s\up16(→))，eq \o(CP,\s\up16(→))＝λeq \o(PA,\s\up16(→))，则eq \o(CP,\s\up16(→))，eq \o(PA,\s\up16(→))为共线向量，又eq \o(CP,\s\up16(→))，eq \o(PA,\s\up16(→))有一个公共点P，所以C，P，A三点共线，即点P在AC边所在直线上．故选B. 目录 答案 解析 * 考向2利用向量共线定理求参数 例5 若a，b是两个不共线的向量，已知eq \o(MN,\s\up16(→))＝a－2b，eq \o(PN,\s\up16(→))＝2a＋kb，eq \o(PQ,\s\up16(→))＝3a－b，若M，N，Q三点共线，则k＝(　　) A．－1 B．1 C．eq \f(3,2) D．2 解析　由题意知，eq \o(NQ,\s\up16(→))＝eq \o(PQ,\s\up16(→))－eq \o(PN,\s\up16(→))＝a－(k＋1)b，因为M，N，Q三点共线，所以存在实数λ，使得eq \o(MN,\s\up16(→))＝λeq \o(NQ,\s\up16(→))，即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，解得λ＝1，k＝1. 目录 * 【通性通法】 一般通过构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值． 目录 答案 解析 * 【巩固迁移】 5．如图，在△ABC中，eq \o(AD,\s\up16(→))＝λeq \o(DC,\s\up16(→))，E是BD上一点，若eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \f(11,16) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up16(→))，则实数λ的值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析　由eq \o(AD,\s\up16(→))＝λeq \o(DC,\s\up16(→))，得eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \f(λ＋1,λ) eq \o(AD,\s\up16(→))，因为eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \f(11,16) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up16(→))，所以eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \f(11,16) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,4)·eq \f(λ＋1,λ) eq \o(AD,\s\up16(→))，因为E，B，D三点共线，所以eq \f(11,16)＋eq \f(λ＋1,4λ)＝1，解得λ＝4.故选B. 课时作业 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 一、单项选择题 1．若a，b为非零向量，则“eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)”是“a，b共线”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析　eq \f(a,|a|)，eq \f(b,|b|)分别表示与a，b同方向的单位向量，eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)，则有a，b共线，而a，b共线，则eq \f(a,|a|)，eq \f(b,|b|)是相等向量或相反向量，所以“eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)”是“a，b共线”的充分不必要条件．故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 2．设a＝(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→)))＋(eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(DA,\s\up16(→)))，b是一个非零向量，则下列结论不正确的是(　　) A．a∥b B．a＋b＝a C．a＋b＝b D．|a＋b|＝|a|＋|b| 解析　由题意得，a＝(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→)))＋(eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(DA,\s\up16(→)))＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→))＝0，且b是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确；因为a＋b＝b，所以B不正确，C正确；因为|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，所以|a＋b|＝|a|＋|b|，所以D正确．故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 3．已知eq \o(AB,\s\up16(→))＝a＋5b，eq \o(BC,\s\up16(→))＝－3a＋6b，eq \o(CD,\s\up16(→))＝4a－b，则(　　) A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 解析　由题意得eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝a＋5b＝eq \o(AB,\s\up16(→))，又eq \o(BD,\s\up16(→))，eq \o(AB,\s\up16(→))有公共点B，所以A，B，D三点共线．故选A. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 4．(2024·安徽铜陵三模)在平行四边形ABCD中，M是CD边上的中点，则2eq \o(AM,\s\up16(→))＝(　　) A．eq \o(AC,\s\up16(→))－2eq \o(AB,\s\up16(→)) B．eq \o(AC,\s\up16(→))＋2eq \o(AB,\s\up16(→)) C．2eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)) D．2eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→)) 解析　因为M是平行四边形ABCD的CD边上的中点，所以eq \o(CM,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))，所以eq \o(AM,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CM,\s\up16(→))＝eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))，所以2eq \o(AM,\s\up16(→))＝2eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)).故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 5．已知向量a和b不共线，向量eq \o(AB,\s\up16(→))＝a＋mb，eq \o(BC,\s\up16(→))＝5a＋3b，eq \o(CD,\s\up16(→))＝－3a＋3b，若A，B，D三点共线，则m＝(　　) A．3 B．2 C．1 D．－2 解析　因为A，B，D三点共线，所以存在实数λ，使得eq \o(BD,\s\up16(→))＝λeq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(BD,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CD,\s\up16(→))＝2a＋6b，所以2a＋6b＝λa＋mλb，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,6＝mλ，))解得m＝3.故选A. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 6．矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若eq \o(DE,\s\up16(→))＝λeq \o(AB,\s\up16(→))＋μeq \o(AD,\s\up16(→))(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝(　　) A．eq \f(5,8) B．eq \f(1,4) C．1 D．eq \f(5,16) 解析　eq \o(DE,\s\up16(→))＝eq \o(AE,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,4)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→)))－eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \f(3,4) eq \o(AD,\s\up16(→))，∴λ＝eq \f(1,4)，μ＝－eq \f(3,4).∴λ2＋μ2＝eq \f(1,16)＋eq \f(9,16)＝eq \f(5,8).故选A. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 7．正方形ABCD中，E在CD上且有eq \o(CE,\s\up16(→))＝2eq \o(ED,\s\up16(→))，AE与对角线BD交于F，则eq \o(AF,\s\up16(→))＝(　　) A．eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(AD,\s\up16(→)) B．eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,4) eq \o(AD,\s\up16(→)) C．eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(3,4) eq \o(AD,\s\up16(→)) D．eq \f(1,3) eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→)) 解析　如图，∵在正方形ABCD中，E在CD上且有eq \o(CE,\s\up16(→))＝2eq \o(ED,\s\up16(→))，AE与对角线BD交于F，∴DE＝eq \f(1,3)AB，且DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，可得eq \f(EF,AF)＝eq \f(1,3)，可得AF＝eq \f(3,4)AE，∴eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \f(3,4) eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \f(3,4)(eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(DE,\s\up16(→)))＝eq \f(3,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up16(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up16(→))))＝eq \f(1,4) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(3,4) eq \o(AD,\s\up16(→)).故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 解析　设BC的中点为D，AC的中点为M，连接PD，MD，BM，如图所示，则有eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→))＝2eq \o(PD,\s\up16(→)).由eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→))＝0，得eq \o(AB,\s\up16(→))＝－2eq \o(PD,\s\up16(→))，又D为BC的中点，M为AC的中点，所以eq \o(AB,\s\up16(→))＝－2eq \o(DM,\s\up16(→))，则eq \o(PD,\s\up16(→))＝eq \o(DM,\s\up16(→))，则P，D，M三点共线且D为PM的中点，又D为BC的中点，所以四边形CPBM为平行四边形．又|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝|eq \o(PB,\s\up16(→))|＝|eq \o(PC,\s\up16(→))|＝2，所以|eq \o(MC,\s\up16(→))|＝|eq \o(BP,\s\up16(→))|＝2，则|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝4，且|eq \o(BM,\s\up16(→))|＝|eq \o(PC,\s\up16(→))|＝2，所以△AMB为等边三角形，∠BAC＝60°，则S△ABC＝eq \f(1,2)×2×4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3).故选B. 8．(2023·滁州模拟)已知P为△ABC所在平面内一点，eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→))＝0，|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝|eq \o(PB,\s\up16(→))|＝|eq \o(PC,\s\up16(→))|＝2，则△ABC的面积为(　　) A．eq \r(3) B．2eq \r(3) C．3eq \r(3) D．4eq \r(3) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 二、多项选择题 9．下列式子中，结果为零向量的是(　　) A．eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→)) B．eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(MB,\s\up16(→))＋eq \o(BO,\s\up16(→))＋eq \o(OM,\s\up16(→)) C．eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(BO,\s\up16(→))＋eq \o(CO,\s\up16(→)) D．eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))－eq \o(CD,\s\up16(→)) 解析　利用向量运算，易知A，D中的式子结果为零向量．故选AD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 解析　因为点P是△ABC所在平面内一点，且|eq \o(PB,\s\up16(→))－eq \o(PC,\s\up16(→))|－|eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→))－2eq \o(PA,\s\up16(→))|＝0，所以|eq \o(CB,\s\up16(→))|－|(eq \o(PB,\s\up16(→))－eq \o(PA,\s\up16(→)))＋(eq \o(PC,\s\up16(→))－eq \o(PA,\s\up16(→)))|＝0，即|eq \o(CB,\s\up16(→))|＝|eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))|，所以|eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→))|＝|eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(AB,\s\up16(→))|，等式两边平方并化简得eq \o(AC,\s\up16(→))·eq \o(AB,\s\up16(→))＝0，所以eq \o(AC,\s\up16(→))⊥eq \o(AB,\s\up16(→))，∠BAC＝90°，则△ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形．故选AD. 10．点P是△ABC所在平面内一点，且满足|eq \o(PB,\s\up16(→))－eq \o(PC,\s\up16(→))|－|eq \o(PB,\s\up16(→))＋eq \o(PC,\s\up16(→))－2eq \o(PA,\s\up16(→))|＝0，则△ABC不可能是(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 * 11．(2023·安徽合肥期末)在△ABC中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，点G为△ABC的重心，则下列结论中正确的是(　　) A．eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(CA,\s\up16(→)) B．eq \o(AG,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))) C．eq \o(AF,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＋eq \o(CE,\s\up16(→))＝0 D．eq \o(GA,\s\up16(→))＋eq \o(GB,\s\up16(→))＋eq \o(GC,\s\up16(→))＝0 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 * 解析　如图，对于A，eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(BC,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→))＝2eq \o(EB,\s\up16(→))≠eq \o(CA,\s\up16(→))，故A错误；对于B，点G为△ABC的重心，则eq \o(AG,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))＝eq \f(1,3)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))，故B正确；对于C，eq \o(AF,\s\up16(→))＋eq \o(BD,\s\up16(→))＋eq \o(CE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→)))＝0，故C正确；对于D，eq \o(GA,\s\up16(→))＝－2eq \o(GD,\s\up16(→))＝－2×eq \f(1,2)(eq \o(GB,\s\up16(→))＋eq \o(GC,\s\up16(→)))，故eq \o(GA,\s\up16(→))＋eq \o(GB,\s\up16(→))＋eq \o(GC,\s\up16(→))＝0，故D正确．故选BCD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 三、填空题 12．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________． 解析　∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝μ，,1＝2μ，))解得λ＝μ＝eq \f(1,2). 　eq \f(1,2) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ②③④ 答案 解析 * 13．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq \o(BC,\s\up16(→))＝a，eq \o(CA,\s\up16(→))＝b，给出下列命题：①eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)a－b；②eq \o(BE,\s\up16(→))＝a＋eq \f(1,2)b；③eq \o(CF,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b；④eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(BE,\s\up16(→))＋eq \o(CF,\s\up16(→))＝0.其中正确的命题是____________． 解析　eq \o(BC,\s\up16(→))＝a，eq \o(CA,\s\up16(→))＝b，eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AC,\s\up16(→))＋eq \o(CB,\s\up16(→)))＋eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)a－b，故①错误；eq \o(BE,\s\up16(→))＝eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(CA,\s\up16(→))＝a＋eq \f(1,2)b，故②正确；eq \o(CF,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(CB,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)(－a＋b)＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，故③正确；eq \o(AD,\s\up16(→))＋eq \o(BE,\s\up16(→))＋eq \o(CF,\s\up16(→))＝－b－eq \f(1,2)a＋a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)a＝0，故④正确． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 14．(2024·丽江模拟)在△ABC中，点D在线段AC上，且满足|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝eq \f(1,3)|eq \o(AC,\s\up16(→))|，点Q为线段BD上任意一点，若实数x，y满足eq \o(AQ,\s\up16(→))＝xeq \o(AB,\s\up16(→))＋yeq \o(AC,\s\up16(→))，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为_____________． 解析　由题意知，点D满足eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→))，故eq \o(AQ,\s\up16(→))＝xeq \o(AB,\s\up16(→))＋yeq \o(AC,\s\up16(→))＝xeq \o(AB,\s\up16(→))＋3yeq \o(AD,\s\up16(→))，由Q，B，D三点共线，可得x＋3y＝1，x>0，y>0，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))(x＋3y)＝4＋eq \f(3y,x)＋eq \f(x,y)≥4＋2eq \r(3)，当且仅当eq \f(3y,x)＝eq \f(x,y)，即x＝eq \f(\r(3)－1,2)，y＝eq \f(3－\r(3),6)时等号成立．所以eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为4＋2eq \r(3). 4＋2eq \r(3) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 * 15．如图，在平行四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up16(→))＝2eq \o(AE,\s\up16(→))，eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \o(FD,\s\up16(→))，点G为CE与BF的交点，则eq \o(AG,\s\up16(→))＝(　　) A．eq \f(2,5) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,5) eq \o(AC,\s\up16(→)) B．eq \f(1,5) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,5) eq \o(AC,\s\up16(→)) C．eq \f(1,5) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(4,15) eq \o(AC,\s\up16(→)) D．eq \f(3,10) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(2,5) eq \o(AC,\s\up16(→)) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 * 解析　由eq \o(AB,\s\up16(→))＝2eq \o(AE,\s\up16(→))，eq \o(AF,\s\up16(→))＝eq \o(FD,\s\up16(→))，知E，F分别为AB，AD的中点．如图，设AC与BF的交点为P，易得△APF∽△CPB，所以eq \f(AP,CP)＝eq \f(AF,CB)＝eq \f(AF,AD)＝eq \f(1,2)，所以eq \o(AP,\s\up16(→))＝eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up16(→)).因为E是AB的中点，所以eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→)).由P，G，B三点共线知，存在m∈R，满足eq \o(AG,\s\up16(→))＝meq \o(AP,\s\up16(→))＋(1－m)eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)meq \o(AC,\s\up16(→))＋(1－m)eq \o(AB,\s\up16(→)).由C，G，E三点共线知，存在n∈R，满足eq \o(AG,\s\up16(→))＝neq \o(AE,\s\up16(→))＋(1－n)eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)neq \o(AB,\s\up16(→))＋(1－n)eq \o(AC,\s\up16(→))，所以eq \f(1,3)meq \o(AC,\s\up16(→))＋(1－m)eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)neq \o(AB,\s\up16(→))＋(1－n)eq \o(AC,\s\up16(→)).又因为eq \o(AC,\s\up16(→))，eq \o(AB,\s\up16(→))为不共线的非零向量，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m＝\f(1,2)n，,\f(1,3)m＝1－n，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(4,5)，))所以eq \o(AG,\s\up16(→))＝eq \f(2,5) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,5) eq \o(AC,\s\up16(→)). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 * 16．(多选)(2024·武汉模拟)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，点O，H，G分别是其外心、垂心、重心，BC边的中点为D，则下列结论中正确的是(　　) A．eq \o(GH,\s\up16(→))＝2eq \o(OG,\s\up16(→)) B．OD∥AH C．eq \o(AH,\s\up16(→))＝3eq \o(OD,\s\up16(→)) D．eq \o(OA,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→)) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 * 解析　由题意作图，如图所示，易知BC的中点D与A，G共线．对于A，由题意，得eq \o(AG,\s\up16(→))＝2eq \o(GD,\s\up16(→))，OD⊥BC，AH⊥BC，所以OD∥AH，所以eq \o(GH,\s\up16(→))＝2eq \o(OG,\s\up16(→))，所以A，B正确；对于C，由题意，知AG＝2GD，又GH＝2OG，∠AGH＝∠DGO，所以△AGH∽△DGO，所以eq \o(AH,\s\up16(→))＝2eq \o(OD,\s\up16(→))，所以C错误；对于D，向量eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OB,\s\up16(→))，eq \o(OC,\s\up16(→))的模相等，方向不同，所以D错误．故选AB. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 * 17.如图，已知正六边形ABCDEF，M，N分别是对角线AC，CE上的点，使得eq \f(AM,AC)＝eq \f(CN,CE)＝r，则B，M，N三点共线时，r的值为________． eq \f(\r(3),3) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 * 解析　连接AD，交EC于点G，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质知，AD⊥CE，AD∥CB，G为EC的中点，且AG＝eq \f(3,2)a，则eq \o(CA,\s\up16(→))＝eq \o(CG,\s\up16(→))＋eq \o(GA,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(CE,\s\up16(→))＋eq \f(3,2) eq \o(CB,\s\up16(→))，又eq \f(AM,AC)＝eq \f(CN,CE)＝r(r>0)，则eq \o(CA,\s\up16(→))＝eq \f(\o(CM,\s\up16(→)),1－r)，eq \o(CE,\s\up16(→))＝eq \f(\o(CN,\s\up16(→)),r)，故eq \f(\o(CM,\s\up16(→)),1－r)＝eq \f(\o(CN,\s\up16(→)),2r)＋eq \f(3,2) eq \o(CB,\s\up16(→))，即eq \o(CM,\s\up16(→))＝eq \f(1－r,2r) eq \o(CN,\s\up16(→))＋eq \f(3（1－r）,2) eq \o(CB,\s\up16(→))，若B，M，N三点共线，则eq \f(1－r,2r)＋eq \f(3（1－r）,2)＝1，解得r＝eq \f(\r(3),3)或r＝－eq \f(\r(3),3)(舍去)． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 解析　设eq \o(OA,\s\up16(→))＝a，eq \o(OB,\s\up16(→))＝b.由题意知eq \o(OG,\s\up16(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→)))＝eq \f(1,3)(a＋b)，eq \o(PQ,\s\up16(→))＝eq \o(OQ,\s\up16(→))－eq \o(OP,\s\up16(→))＝nb－ma，eq \o(PG,\s\up16(→))＝eq \o(OG,\s\up16(→))－eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq \f(1,3)b，由P，G，Q三点共线，得存在实数λ，使得eq \o(PQ,\s\up16(→))＝λeq \o(PG,\s\up16(→))，即nb－ma＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))a＋eq \f(1,3)λb，从而eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－m＝λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－m))，,n＝\f(1,3)λ，))消去λ，得eq \f(1,n)＋eq \f(1,m)＝3.于是m＋n＝eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))(m＋n)＝eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(n,m)＋\f(m,n)))≥eq \f(1,3)×(2＋2)＝eq \f(4,3)，当且仅当m＝n＝eq \f(2,3)时，m＋n取得最小值，为eq \f(4,3). 18．经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设eq \o(OP,\s\up16(→))＝meq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OQ,\s\up16(→))＝neq \o(OB,\s\up16(→))，m>0，n>0，则m＋n的最小值为________． eq \f(4,3) 　　　　　　　　　　　　　 R $$