第7节 余弦定理、正弦定理应用举例-【金版教程】2025年高考数学一轮复习解决方案课件PPT（新教材，基础版）

第五章　三角函数、 解三角形 第七节　余弦定理、正弦定理应用举例 课标解读 考向预测 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 2.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题. 3.通过解决实际问题，培养学生的数学建模、直观想象和数学运算素养. 预计2025年高考，以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，题型主要为选择题和填空题，中档难度. 目录 必备知识——强基础 考点探究——提素养 课时作业 必备知识——强基础 目录 上方 下方 * 测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线eq \x(\s\up1(01))_____的叫做仰角，目标视线在水平视线eq \x(\s\up1(02))______的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 目录 * 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α (1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq \f(h,l)＝tanθ 目录 * 解三角形应用问题的步骤： 目录 √ × √ √ × 答案 * 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)东南方向与南偏东45°方向相同．(　　) (2)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β.(　　) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　) (4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(　　) (5)在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针．(　　) 目录 答案 解析 * 2．小题热身 (1)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧 河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝ 105°后，就可以计算出A，B两点间的距离为(　　) A．50eq \r(2) m B．50eq \r(3) m C．25eq \r(2) m D．eq \f(25\r(2),2) m 解析　在△ABC中，由正弦定理得eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(AC,sin∠CBA)，又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，所以AB＝eq \f(ACsin∠ACB,sin∠CBA)＝eq \f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq \r(2)(m)．故选A. 目录 答案 解析 * (2)(人教A必修第二册6.4.3例10改编)如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　) A．(30eq \r(3)＋30) m B．(15eq \r(3)＋30) m C．(30eq \r(3)＋15) m D．(15eq \r(3)＋15) m 解析　在△ABP中，∠APB＝45°－30°，所以sin∠APB＝sin(45°－30°)＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)，由正弦定理得PB＝eq \f(ABsin30°,sin∠APB)＝eq \f(60×\f(1,2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝30(eq \r(6)＋eq \r(2))，所以该树的高度为30(eq \r(6)＋eq \r(2))sin45°＝30eq \r(3)＋30(m)．故选A. 目录 解析 答案 * 解析　连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×eq \f(1,2)＝17500，解得OC＝50eq \r(7).则该扇形的半径为50eq \r(7) m. (3)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB， C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD. 已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了 3 min.若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为________ m. 50eq \r(7) 考点探究——提素养 目录 答案 * 考点一　测量距离问题 例1 (2024·重庆模拟)一个骑行爱好者从A地出发，向西骑行了2 km到达B地，然后再由B地向北偏西60°骑行了2eq \r(3) km到达C地，再从C地向南偏西30°骑行了5 km到达D地，则A地到D地的直线距离是(　　) A．8 km B．3eq \r(7) km C．3eq \r(3) km D．5 km 目录 解析 * 解析　如图，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝2，BC＝2eq \r(3)，依题意，∠BCD＝90°，在△ABC中，由余弦定理得AC＝eq \r(AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC)＝eq \r(4＋12＋8\r(3)×\f(\r(3),2))＝2eq \r(7)，由正弦定理得sin∠ACB＝eq \f(ABsin∠ABC,AC)＝eq \f(\r(7),14)，在△ACD中，cos∠ACD＝cos(90°＋∠ACB)＝－sin∠ACB＝－eq \f(\r(7),14)，由余弦定理得AD＝eq \r(AC2＋CD2－2AC·CDcos∠ACD)＝eq \r(28＋25＋2×2\r(7)×5×\f(\r(7),14))＝3eq \r(7).所以A地到D地的直线距离是3eq \r(7) km.故选B. 目录 * 【通性通法】 距离问题的类型及解法 (1)类型：①两点间既不可达也不可视；②两点间可视但不可达；③两点都不可达． (2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解． 目录 * 【巩固迁移】 1．已知某渔船在渔港O的南偏东60°方向，距离渔港约160海里 的B处出现险情，此时在渔港的正上方恰好有一架海事巡逻飞机A接 到渔船的求救信号，海事巡逻飞机迅速将情况通知了在C处的渔政船 并要求其迅速赶往出事地点施救．若海事巡逻飞机测得渔船B的俯角 为68.20°，测得渔政船C的俯角为63.43°，且渔政船位于渔船的北偏东60°方向上． (1)计算渔政船C与渔港O的距离； (2)若渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能否在3小时内赶到出事地点？ (参考数据：sin68.20°≈0.93，tan68.20°≈2.50，sin63.43°≈0.89，tan63.43°≈2.00，eq \r(11)≈3.32，eq \r(13)≈3.61) 目录 解 * 解　(1)∵AO⊥OB，∠OBA＝68.20°，OB＝160， ∴AO＝OBtan∠OBA≈160×2.50＝400， ∵AO⊥OC，∠OCA＝63.43°， ∴OC＝eq \f(OA,tan63.43°)≈eq \f(400,2.00)＝200. 即渔政船C与渔港O的距离为200海里． 目录 解 * (2)由题意知∠OBC＝60°＋60°＝120°， 在△OBC中，由余弦定理得OC2＝OB2＋BC2－2OB·BCcos∠OBC， 即40000＝25600＋BC2＋160BC， 解得BC＝－80－40eq \r(13)(舍去)或BC＝－80＋40eq \r(13)， 即BC≈－80＋40×3.61＝64.4， ∵eq \f(64.4,25)＝2.576<3， ∴渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能在3小时内赶到出事地点． 目录 答案 * 考点二　测量高度问题 例2 (1)(2024·江苏南通调研)湖北宜昌三峡大瀑布是国家4A级景区，也是神农架探秘的必经之地，为了测量湖北宜昌三峡大瀑布的某一处实际高度，李华同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为eq \f(3,2)，沿山道继续走20 m，抵达B点位置测得瀑布顶端的仰角为eq \f(π,3).已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成的角为eq \f(π,3)，则该瀑布的高度约为(　　) A．60 m B．90 m C．108 m D．120 m 目录 解析 * 解析　根据题意作出示意图，其中tanα＝eq \f(3,2)，β＝θ＝eq \f(π,3)，AB＝20，在Rt△AOH中，tanα＝eq \f(OH,OA)，所以OA＝eq \f(2,3)OH.在Rt△BOH中，tanβ＝eq \f(OH,OB)，所以OB＝eq \f(\r(3),3)OH.在△AOB中，由余弦定理，得OB2＝OA2＋AB2－2OA·ABcosθ，即eq \f(1,3)OH2＝eq \f(4,9)OH2＋202－2×eq \f(2,3)OH×20×eq \f(1,2)，解得OH＝60.所以该瀑布的高度约为60 m．故选A. 目录 * (2)(2023·辽宁协作校联考)山东省滨州市的黄河楼位于蒲湖水面内东南方向的东关岛上，渤海五路以西，南环路以北．整个黄河楼颜色质感为灰红，意味黄河楼气势恢宏，更在气势上体现黄河的宏壮．如图，小张为了测量黄河楼的实际高度AB，选取了与楼底B在同一水平面内的两个测量基点C，D，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝95°，CD＝116 m，在点D处测得黄河楼顶A的仰角为45°，求黄河楼的实际高度．(结果精确到0.1 m，取sin55°＝0.82) 目录 解 * 解　由题知，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝55°， 在△BCD中，由正弦定理得 eq \f(BD,sin∠BCD)＝eq \f(CD,sin∠CBD)， 则BD＝eq \f(CDsin∠BCD,sin∠CBD)＝eq \f(116×sin30°,sin55°)＝eq \f(58,0.82)≈70.7 m， 在△ABD中，AB⊥BD，∠ADB＝45°， 所以AB＝BDtan∠ADB＝BD≈70.7 m. 故黄河楼的实际高度约为70.7 m. 目录 * 【通性通法】 (1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角． (2)在实际问题中，若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． (4)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用． 目录 答案 * 【巩固迁移】 2．(2023·安徽蚌埠模拟)圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”)．当正午阳光照射在表上时，影子就会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至．如图是根据蚌埠市(北纬32.92°)的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)约为33.65°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)约为80.51°.圭面上冬至线和夏至线之间的距离(即BD的长)为7米，则表高(即AC的长)约为(　　) A．eq \f(cos80.51°,7tan46.86°) B．eq \f(7tan46.86°,sin33.65°) C．eq \f(7sin33.65°sin80.51°,sin46.86°) D．eq \f(sin33.65°,7sin80.51°) 目录 解析 * 解析　由图可知∠BAD＝∠ADC－∠ABC＝80.51°－33.65°＝46.86°.在△ABD中，eq \f(BD,sin∠BAD)＝eq \f(AD,sin∠ABC)，得AD＝eq \f(7sin33.65°,sin46.86°).在△ACD中，AC＝ADsin∠ADC＝eq \f(7sin33.65°sin80.51°,sin46.86°).故选C. 目录 * 考点三　测量角度问题 例3 已知在岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛A北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(参考数据：sin38°≈\f(5\r(3),14)，sin22°≈\f(3\r(3),14))) 目录 解 * 解　如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为x海里/小时，则BC＝0.5x，AC＝5， 依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°， 由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°， 所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7， 解得x＝14. 目录 解 * 又由正弦定理得 sin∠ABC＝eq \f(ACsin∠BAC,BC)＝eq \f(5×\f(\r(3),2),7)＝eq \f(5\r(3),14)， 所以∠ABC＝38°， 又∠BAD＝38°，所以BC∥AD. 故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船． 目录 * 【通性通法】 (1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． (2)方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角． 目录 答案 * 【巩固迁移】 3.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡角为θ，则cosθ＝(　　) A．eq \f(\r(3),3) B．eq \r(6)－2 C．eq \r(3)－1 D．eq \r(2)－1 目录 解析 * 解析　由题意知，∠CAD＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，∠ABC＝135°.在△ABC中，由正弦定理，得eq \f(AB,sin30°)＝eq \f(AC,sin135°)，又AB＝100 m，所以AC＝100eq \r(2) m．在△ADC中，∠ADC＝90°＋θ，CD＝50 m，由正弦定理，得eq \f(AC,sin（θ＋90°）)＝eq \f(CD,sin15°)，所以cosθ＝sin(θ＋90°)＝eq \f(ACsin15°,CD)＝eq \r(3)－1.故选C. 课时作业 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 * 一、单项选择题 1.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 * 解析　由已知，得AD＝20eq \r(10) m，AC＝30eq \r(5) m， 又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD ＝eq \f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq \f(（30\r(5)）2＋（20\r(10)）2－502,2×30\r(5)×20\r(10))＝eq \f(6000,6000\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 2.如图，设A，B两点在河的两岸，在A所在河岸边选一定点C，测量AC的距离为50 m，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，则A，B两点间的距离是(　　) A．25eq \r(2) m B．50eq \r(2) m C．25eq \r(3) m D．50eq \r(3) m 解析　在△ABC中，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理eq \f(AC,sin∠ABC)＝eq \f(AB,sin∠ACB)，得AB＝eq \f(ACsin∠ACB,sin∠ABC)＝eq \f(50sin30°,sin45°)＝eq \f(50×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝25eq \r(2)(m)．故选A. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 * 3．(2023·山东济南模拟)如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成12°角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成18°角的方向继续飞行到终点B点．这样飞机的飞行路程比原来的路程500 km大约多飞了(sin12°≈0.21，sin18°≈0.31)(　　) A．10 km B．20 km C．30 km D．40 km 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 * 解析　在△ABC中，由A＝12°，B＝18°，得C＝150°，由正弦定理，得eq \f(500,sin150°)＝eq \f(BC,sin12°)＝eq \f(AC,sin18°)，所以eq \f(500,\f(1,2))≈eq \f(BC,0.21)≈eq \f(AC,0.31)，所以AC≈310 km，BC≈210 km，所以AC＋BC－AB≈20(km)．故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 * 4.(2023·安徽六安一中校考模拟预测)《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书．”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清澈，表现力强．如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得AC＝100 cm，BC＝100 cm，AB＝180 cm，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为(　　) A．0.62 B．0.56 C．－0.56 D．－0.62 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 * 解析　如图所示，设弧AB对应的圆心是O，根据题意可知，OA⊥AC，OB⊥BC，则∠AOB＋∠ACB＝π，因为AC＝100，BC＝100，AB＝180，则在△ACB中，cos∠ACB＝eq \f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝eq \f(1002＋1002－1802,2×100×100)＝－0.62，所以cos∠AOB＝cos(π－∠ACB)＝－cos∠ACB＝0.62.故选A. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 * 5．(2023·山西太原模拟)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，若河流的宽度BC为60 m，则此时气球的高度为(　　) A．15(eq \r(3)－1) m B．15(eq \r(3)＋1) m C．30(eq \r(3)－1) m D．30(eq \r(3)＋1) m 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 * 解析　在△ABC中，∠ACB＝30°，∠BAC＝75°－30°＝45°， BC＝60 m，则∠ABC＝180°－45°－30°＝105°.又sin105°＝ sin(60°＋45°)＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)，eq \f(BC,sin∠BAC)＝ eq \f(AC,sin∠ABC)，所以AC＝eq \f(60×\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2))＝30(eq \r(3)＋1) m，所以气球的高度为ACsin∠ACB＝30(eq \r(3)＋1)×eq \f(1,2)＝15(eq \r(3)＋1) m．故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 * 6.(2023·福州模拟)我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测等领域．如图，有一个从地面A处垂直上升的无人机P，对地面B，C两受灾点的视角为∠BPC，且tan∠BPC＝eq \f(1,3).已知地面上三处受灾点B，C，D共线，且∠ADB＝90°，BC＝CD＝DA＝1 km，则无人机P到地面受灾点D处的遥测距离PD的长度是(　　) A．eq \r(2) km B．2 km C．eq \r(3) km D．4 km 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 * 解析　解法一：由题意得BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD.设PD＝x， ∠PBD＝α，∠PCD＝β，则tanα＝eq \f(x,2)，tanβ＝x，∴tan∠BPC＝tan(β－α) ＝eq \f(x－\f(x,2),1＋x·\f(x,2))＝eq \f(x,x2＋2)＝eq \f(1,3)，解得x＝1或x＝2，又在Rt△PDA中有x>1，∴x＝2.故选B. 解法二：由题意知BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD.设PA＝x，则PB2＝x2＋5，PC2＝x2＋2.由tan∠BPC＝eq \f(1,3)，可得cos∠BPC＝eq \f(3\r(10),10)，在△PBC中，由余弦定理得x2＋5＋x2＋2－1＝2eq \r(x2＋5)·eq \r(x2＋2)·eq \f(3\r(10),10)，解得x2＝3，进而PD＝eq \r(x2＋1)＝2.故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 * 7.大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处， “商”字城雕有着厚重悠久的历史和文化，它时刻撬动着人们认识商丘、 走进商丘的欲望．吴斌同学在今年国庆期间到商丘去旅游，经过“商” 字城雕时，他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度(即图中 线段AB的长度)．他在该雕塑塔的正东C处沿着南偏西60°的方向前进7eq \r(2)米后到达D处(A，C，D三点在同一个水平面内)，测得图中线段AB在东北方向，且测得点B的仰角为71.565°，则该雕塑的高度大约是(参考数据：tan71.565°≈3)(　　) A．19米 B．20米 C．21米 D．22米 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 * 解析　在△ACD中，∠CAD＝135°，∠ACD＝30°，CD＝7eq \r(2)， 由正弦定理得eq \f(AD,sin∠ACD)＝eq \f(CD,sin∠CAD)，所以AD＝eq \f(CDsin∠ACD,sin∠CAD) ＝7(米)，在Rt△ABD中，∠BDA＝71.565°，所以AB＝ ADtan71.565°≈7×3＝21(米)．故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 * 8．(2023·泸州模拟)如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(eq \r(2)≈1.4，eq \r(3)≈1.7)(　　) A．7350 m B．2650 m C．3650 m D．4650 m 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 * 解析　如图，设飞机的初始位置为点A，经过420 s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D，则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，在△ABC中，AB＝50×420＝21000(m)，由正弦定理得eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(BC,sin∠BAC)，则BC＝eq \f(21000,\f(1,2))×sin15°＝10500(eq \r(6)－eq \r(2))(m)，因为CD⊥AB，所以CD＝BCsin45°＝10500(eq \r(6)－eq \r(2))×eq \f(\r(2),2)＝10500(eq \r(3)－1)≈7350(m)，所以山顶的海拔高度大约为10000－7350＝2650(m)．故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 二、多项选择题 9．某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好eq \r(3) km，那么x的值是(　　) A．eq \r(3) B．2eq \r(3) C．3 D．6 解析　如图，AB＝x，BC＝3，AC＝eq \r(3)，∠ABC＝30°.由余弦定理， 得3＝x2＋9－2×3×x×cos30°，解得x＝2eq \r(3)或x＝eq \r(3).故选AB. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 * 10．某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12eq \r(6) n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8eq \r(3) n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是(　　) A．A处与D处之间的距离是24 n mile B．灯塔C与D处之间的距离是8eq \r(3) n mile C．灯塔C在D处的南偏西30° D．D处在灯塔B的北偏西30° 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 * 解析　在△ABD中，由已知，得∠ADB＝60°，∠DAB＝75°， 则∠B＝45°.由正弦定理，得AD＝eq \f(ABsinB,sin∠ADB)＝eq \f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24， 所以A处与D处之间的距离为24 n mile，故A正确；在△ADC中，由余弦定理，得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos30°，又AC＝8eq \r(3)，所以CD＝8eq \r(3).所以灯塔C与D处之间的距离为8eq \r(3) n mile，故B正确；因为AC＝CD＝8eq \r(3)，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以灯塔C在D处的南偏西30°，故C正确；因为灯塔B在D处的南偏东60°，所以D处在灯塔B的北偏西60°，故D错误．故选ABC. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14 答案 * 三、填空题 11．神舟载人飞船返回舱成功着陆，标志着返回任务取得圆满成功．假设返回舱D垂直下落于点C，某时刻地面上A，B两个观测点，观测到点D的仰角分别为45°，75°，若点A，B间的距离为10千米(其中向量eq \o(CA,\s\up16(→))与eq \o(CB,\s\up16(→))同向)，估算该时刻返回舱距离地面的距离CD约为________千米．(结果保留整数，参考数据：eq \r(3)≈1.732) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 * 解析　在△ABD中，A＝45°，∠ABD＝180°－75°＝105°，∠ADB＝30°，由正弦定理得eq \f(AB,sin30°)＝eq \f(AD,sin105°)，AD＝20sin105°＝20sin(60°＋45°)＝5(eq \r(6)＋eq \r(2))，所以CD＝ADsinA＝5(eq \r(6)＋eq \r(2))×eq \f(\r(2),2)＝5eq \r(3)＋5≈14(千米)． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 87 答案 * 12.魏晋南北朝时期，数学在测量学取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高谷深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步．关于重差术的注文在唐代成书，因其第一题为测量海岛的高和远的问题，故将《重差》更名为《海岛算经》．受此启发，小明同学依照此法测量泾阳县崇文塔的高度(示意图如图所示)，测得以下数据(单位：米)：前表却行DG＝1，表高CD＝EF＝2，后表却行FH＝3，表间DF＝85.则塔高AB＝________米． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 * 解析　由题意可知，△EFH∽△ABH，△CDG∽△ABG，所以eq \f(EF,AB)＝eq \f(FH,BH)，eq \f(CD,AB)＝eq \f(DG,BG)，又EF＝CD＝2，DG＝1，FH＝3，DF＝85，所以eq \f(2,AB)＝eq \f(3,BD＋88)，eq \f(2,AB)＝eq \f(1,BD＋1)，则eq \f(3,BD＋88)＝eq \f(1,BD＋1)，解得BD＝eq \f(85,2)，所以AB＝2BD＋2＝87. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 13．海面上有相距10 n mile的A，B两个小岛，从A岛望C岛，和B岛成60°的视角，从B岛望C岛，和A岛成75°的视角，则B，C间的距离为________ n mile. 解析　由题意，知C＝45°，A＝60°，AB＝10.由eq \f(BC,sinA)＝eq \f(AB,sinC)，得BC＝5eq \r(6) n mile. 5eq \r(6) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 * 14．山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新．如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°，60°(A，B，C，D在同一铅垂面内)，则A，B两点之间的距离为________米． 100eq \r(15) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 * 解析　由题意，∠DCB＝30°， ∠CDB＝60°，所以∠CBD＝90°， 所以在Rt△CBD中，BD＝eq \f(1,2)CD＝300， BC＝eq \f(\r(3),2)CD＝300eq \r(3)，又∠DCA＝75°，∠CDA＝45°，所以∠CAD＝60°，在△ACD中，由正弦定理，得eq \f(AC,sin45°)＝eq \f(CD,sin60°)，所以AC＝eq \f(600,\f(\r(3),2))×eq \f(\r(2),2)＝200eq \r(6)，在△ABC中，∠ACB＝∠ACD－∠BCD＝75°－30°＝45°，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝(200eq \r(6))2＋(300eq \r(3))2－2×200eq \r(6)×300eq \r(3)×eq \f(\r(2),2)＝150000，所以AB＝100eq \r(15). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 * 四、解答题 15．某市广场有一块不规则的绿地，如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC，△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D. (1)求AB的长度； (2)若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用更低(请说明理由)? 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解 * 解　(1)在△ABC中，由余弦定理得cosC＝eq \f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝eq \f(82＋52－AB2,2×8×5)，① 在△ABD中，由余弦定理得 cosD＝eq \f(AD2＋BD2－AB2,2AD·BD)＝eq \f(72＋72－AB2,2×7×7).　② 由∠C＝∠D得cosC＝cosD，解得AB＝7，所以AB的长度为7米． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解 * (2)小李的设计使建造费用更低． 理由如下：易知S△ABD＝eq \f(1,2)AD·BDsinD，S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BCsinC， 因为AD·BD＞AC·BC，且∠C＝∠D， 所以S△ABD＞S△ABC. 故选择△ABC的形状建造环境标志费用更低． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 * 16．一颗人造地球卫星在地球上空1600 km处沿着圆形的轨道运行，每2 h沿轨道绕地球旋转一圈．假设卫星于中午12点正通过卫星跟踪站点A的正上空，地球半径约为6400 km. (1)求人造卫星与卫星跟踪站在12：03时相隔的距离； (2)如果此时卫星跟踪站天线指向人造卫星，那么天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值是多少？(参考数据：cos9°≈0.988，sin9°≈0.156) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解 * 解　(1)如图所示，设人造卫星在12：03时位于点C， 其中∠AOC＝β， 则β＝360°×eq \f(3,120)＝9°， 在△ACO中，OA＝6400 km，OC＝6400＋1600＝8000(km)，β＝9°， 由余弦定理得AC2＝64002＋80002－2×6400×8000cos9°≈3.79×106， 解得AC≈1.95×103， 因此在12：03时，人造卫星与卫星跟踪站相距约1950 km. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解 * (2)如图所示，设此时天线瞄准的方向与水平线的夹角为γ，则∠CAO＝γ＋90°， 由正弦定理得 eq \f(1950,sin9°)＝eq \f(8000,sin（γ＋90°）)， 故sin(γ＋90°)＝eq \f(8000,1950)·sin9°≈0.64， 即cosγ≈0.64， 因此，天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值约为0.64. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 * 17．近年来临夏州深入实施生态环境保护和流域综合治理，城区面貌焕然一新．某片水域，如图，OA，OB为直线型岸线，OA＝200米，OB＝400米，∠AOB＝eq \f(π,3)，该水域的水面边界是某圆的一段弧eq \o(AB,\s\up16(︵))，过弧eq \o(AB,\s\up16(︵))上一点P按线段PA和PB修建垃圾过滤网，已知∠APB＝eq \f(3π,4). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 * (1)求岸线上点A与点B之间的距离； (2)如果线段PA上的垃圾过滤网每米可为环卫公司节约50元的经济效益，线段PB上的垃圾过滤网每米可为环卫公司节约40eq \r(2)元的经济效益，则这两段垃圾过滤网可为环卫公司节约的经济总效益最高约为多少元？(参考数据：eq \r(102)≈10.1，eq \r(170)≈13.04) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解 * 解　(1)由题意，OA＝200米，OB＝400米，∠AOB＝eq \f(π,3)， 故AB＝eq \r(OA2＋OB2－2OA·OBcos∠AOB) ＝eq \r(2002＋4002－2×200×400×\f(1,2)) ＝200eq \r(3)(米)． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解 * (2)设∠PAB＝θ，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))， 则在△PAB中，eq \f(AB,sin∠APB)＝eq \f(PA,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ)))＝eq \f(PB,sinθ)， 即eq \f(200\r(3),sin\f(3π,4))＝eq \f(PA,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ)))＝eq \f(PB,sinθ)， 故PA＝200eq \r(6)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))，PB＝200eq \r(6)sinθ， 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解 * 设这两段垃圾过滤网可为环卫公司节约的经济总效益为y元， 则y＝50PA＋40eq \r(2)PB＝10000eq \r(6)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＋16000eq \r(3)sinθ＝10000eq \r(6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cosθ－\f(\r(2),2)sinθ))＋16000eq \r(3)sinθ＝6000eq \r(3)sinθ＋10000eq \r(3)cosθ＝2000eq \r(3)(3sinθ＋5cosθ)＝2000eq \r(102)sin(θ＋φ)， 其中φ为辅助角，不妨取其为锐角，tanφ＝eq \f(5,3)<eq \r(3)， 则φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))， 当θ＋φ＝eq \f(π,2)，即θ＝eq \f(π,2)－φ时，y取到最大值2000eq \r(102)， 故经济总效益的最大值为2000eq \r(102)≈2000×10.1＝20200(元)， 即这两段垃圾过滤网可为环卫公司节约的经济总效益最高约为20200元． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 * 18.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A处沿直线步行到C处，另一种是先从A处沿索道乘缆车到B处，然后从B处沿直线步行到C处．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A处乘缆车到B处，在B处停留1 min后，再从B处匀速步行到C处．假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC的长为1260 m，经测量，cosA＝eq \f(12,13)，cosC＝eq \f(3,5). (1)求索道AB的长； (2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解 * 解　(1)在△ABC中，因为cosA＝eq \f(12,13)， cosC＝eq \f(3,5)， 所以sinA＝eq \f(5,13)，sinC＝eq \f(4,5)， 从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq \f(5,13)×eq \f(3,5)＋eq \f(12,13)×eq \f(4,5)＝eq \f(63,65). 由正弦定理得AB＝eq \f(AC,sinB)·sinC＝eq \f(1260,\f(63,65))×eq \f(4,5)＝1040(m)， 所以索道AB的长为1040 m. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解 * (2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客的距离为d m， 此时，甲行走了(100＋50t) m，乙距离A处130t m，所以由 余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×eq \f(12,13) ＝200(37t2－70t＋50)＝7400×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(35,37)))\s\up12(2)＋\f(625,1369))). 因为0≤t≤eq \f(1040,130)，即0≤t≤8，所以当t＝eq \f(35,37)时，甲、乙两游客距离最短，即乙出发eq \f(35,37) min后，乙在缆车上与甲的距离最短． 　　　　　　　　　　　　　 R $$