第1节 任意角、弧度制及三角函数的概念-【金版教程】2025年高考数学一轮复习解决方案课件PPT（新教材，基础版）

第五章　三角函数、 解三角形 第一节　任意角、弧度制及 三角函数的概念 课标解读 考向预测 1.了解任意角的概念和弧度制. 2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性. 3.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 从近几年高考来看，本部分内容高考较少直接考查，通常是与三角恒等变换、三角函数的图象与性质结合考查，属低档题．预计2025年高考依然是与三角函数图象与性质、三角恒等变换综合考查. 目录 必备知识——强基础 考点探究——提素养 课时作业 必备知识——强基础 目录 正角 负角 零角 象限角 * 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形． (2)分类eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为\x(\s\up1(01))______、\x(\s\up1(02)) _______、\x(\s\up1(03)) ________,按终边位置不同分为\x(\s\up1(04)) ________和轴线角)) (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 目录 半径长 * 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：长度等于eq \x(\s\up1(05))______的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝eq \f(π,180) rad；1 rad＝eq \x(\s\up1(06))________ 弧长公式 弧长l＝eq \x(\s\up1(07))______ 扇形面积公式 S＝eq \x(\s\up1(08))_____＝eq \x(\s\up1(09))______ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))° |α|r eq \f(1,2)lr eq \f(1,2)|α|r2 目录 y x * 3.任意角的三角函数 (1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆相交于点P(x，y)，则sinα＝eq \x(\s\up1(10))___，cosα＝eq \x(\s\up1(11))___，tanα＝eq \x(\s\up1(12))___ (x≠0)． (2)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sinα＝eq \x(\s\up1(13))___，cosα＝eq \x(\s\up1(14))___，tanα＝eq \x(\s\up1(15))___ (x≠0)． (3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图． eq \f(y,x) eq \f(y,r) eq \f(x,r) eq \f(y,x) 目录 * 1．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用． 2．象限角 目录 * 3．轴线角 目录 √ × × × 答案 * 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．(　　) (2)不相等的角终边一定不相同．(　　) (3)若sinα>0，则α是第一或第二象限角．(　　) (4)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　) 目录 答案 解析 * 2．小题热身 (1)(人教A必修第一册习题5.2 T12改编)已知角α的终边经过点P(－1，2)，则tanα＝(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 解析　由题意，得tanα＝eq \f(2,－1)＝－2. 目录 答案 解析 * (2)(人教B必修第三册7.2.1例5改编)已知sinA>0且tanA<0，则角A的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　因为sinA>0，所以角A的终边在第一、第二象限或与y轴的正半轴重合．因为tanA<0，所以角A的终边在第二或第四象限，所以角A的终边在第二象限． 目录 解析 答案 * 解析　与角－eq \f(4π,3)终边相同的角是2kπ＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,3)))(k∈Z)，令k＝1，可得与角－eq \f(4π,3)终边相同的角是eq \f(2π,3). (3)(人教A必修第一册习题5.1 T2改编)在0到2π范围内，与角－eq \f(4π,3)终边相同的角是________． eq \f(2π,3) 目录 解析 答案 * 解析　∵α＝30°＝eq \f(π,6)，l＝αr，∴r＝eq \f(2π,\f(π,6))＝12，∴此扇形的面积S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×2π×12＝12π. (4)(人教A必修第一册习题5.1 T9改编)已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________． 12π 考点探究——提素养 目录 答案 * 考点一　象限角与终边相同的角 例1 (1)下列说法中，正确的是(　　) A．第二象限角是钝角 B．第二象限角必大于第一象限角 C．－150°是第二象限角 D．－252°16′，467°44′，1187°44′是终边相同的角 目录 解析 * 解析　510°是第二象限角，但不是钝角，故A错误；分别取第一象限角为730°，第二象限角为510°，此时第一象限角大于第二象限角，故B错误；－150°是第三象限角，故C错误；因为467°44′＝－252°16′＋2×360°，1187°44′＝－252°16′＋4×360°，所以－252°16′，467°44′，1187°44′是终边相同的角，故D正确．故选D. 目录 解析 答案 * (2)已知α与120°角的终边关于x轴对称，则eq \f(α,2)是(　　) A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 解析　由α与120°角的终边关于x轴对称，可得α＝k·360°－120°，k∈Z，所以eq \f(α,2)＝k·180°－60°，k∈Z，取k＝0，1可确定eq \f(α,2)的终边在第二或第四象限．故选A. 目录 * 【通性通法】 1．象限角的判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角． 目录 * 2．确定kα，eq \f(α,k)(k∈N*)的终边位置的步骤 (1)用终边相同的角的形式表示出角α的范围． (2)写出kα或eq \f(α,k)的范围． (3)根据k的可能取值确定kα或eq \f(α,k)的终边所在的位置． 目录 答案 解析 * 【巩固迁移】 1．集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 解析　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋eq \f(π,2)，此时α表示的范围与eq \f(π,4)≤α≤eq \f(π,2)表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq \f(π,2)，此时α表示的范围与π＋eq \f(π,4)≤α≤π＋eq \f(π,2)表示的范围一样．故选C. 目录 136° －224° 答案 解析 * 2．与－2024°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________． 解析　∵－2024°＝－6×360°＋136°，∴－2024°角的终边与136°角的终边相同，∴－2024°角是第二象限角．与－2024°角终边相同的最小正角是136°.又136°－360°＝－224°，故与－2024°角终边相同的最大负角是－224°. 目录 解 * 考点二　扇形的弧长与面积公式 例2 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形的圆心角； (3)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解　(1)因为α＝60°＝eq \f(π,3)， 所以l＝αR＝eq \f(π,3)×10＝eq \f(10π,3)(cm)． 目录 解 * (2)由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2R＋αR＝10，,\f(1,2)αR2＝4，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R＝1，,α＝8))(舍去)或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R＝4，,α＝\f(1,2).)) 故扇形的圆心角为eq \f(1,2). 目录 解 * (3)由已知，得l＋2R＝20(cm)． 解法一：S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5 cm时，S取得最大值，且最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2. 解法二：S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,4)l(2R)≤eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l＋2R,2))) eq \s\up12(2)＝25，当且仅当l＝2R＝10，即R＝5时，Smax＝25 cm2，此时α＝2. 目录 * 【通性通法】 应用弧度制解决问题的策略 策略一 在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形 策略二 求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．也可以通过“配凑”法利用基本不等式求最值 注意：利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 目录 答案 * 【巩固迁移】 3．(2023·浙江名校联考)如图1是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．如图2是会徽的几何图形，设弧eq \o(AD,\s\up18(︵))的长度是l1，弧eq \o(BC,\s\up18(︵))的长度是l2，几何图形ABCD的面积为S1，扇形BOC的面积为S2，若eq \f(l1,l2)＝2，则eq \f(S1,S2)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 目录 解析 * 解析　设∠AOD＝θ，OA＝r1，OB＝r2，则l1＝θ×r1，l2＝θ×r2，又eq \f(l1,l2)＝2，所以eq \f(r1,r2)＝2，即B是OA的中点，所以S1＝eq \f(1,2)θ(req \o\al(2,1)－req \o\al(2,2))＝eq \f(3,2)θreq \o\al(2,2)，S2＝eq \f(1,2)θreq \o\al(2,2)，所以eq \f(S1,S2)＝3.故选C. 目录 答案 * 考点三　三角函数的定义及其应用(多考向探究) 考向1利用三角函数的定义求值 例3 (1)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点P(4，y)，且sinθ＝－eq \f(3,5)，则tanθ＝(　　) A．－eq \f(4,3) B．eq \f(4,3) C．－eq \f(3,4) D．eq \f(3,4) 目录 解析 * 解析　因为点P(4，y)到坐标原点的距离r＝eq \r(42＋y2)＝eq \r(16＋y2)，所以sinθ＝eq \f(y,r)＝eq \f(y,\r(16＋y2))＝－eq \f(3,5)，解得y＝－3或y＝3(舍去)，所以tanθ＝eq \f(y,x)＝eq \f(－3,4)＝－eq \f(3,4).故选C. 目录 答案 解析 * (2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝－2x上，则2sinθcosθ＝(　　) A．eq \f(3,5) B．－eq \f(3,5) C．eq \f(4,5) D．－eq \f(4,5) 解析　在角θ的终边所在的直线y＝－2x上任取一点P(a，－2a)(a≠0)，则r＝|OP|＝eq \r(5)|a|.由三角函数的定义知sinθ＝eq \f(－2a,\r(5)|a|)，cosθ＝eq \f(a,\r(5)|a|)，故2sinθcosθ＝2·eq \f(－2a,\r(5)|a|)·eq \f(a,\r(5)|a|)＝－eq \f(4,5).故选D. 目录 * 【通性通法】 用定义求三角函数值的策略 策略一 已知角α终边上一点P的坐标，先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求角α的三角函数值 策略二 已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，从而求出参数的值．注意舍去增根 策略三 已知角α的终边所在直线的方程，可先设出终边上一点的坐标，根据三角函数的定义求三角函数值 目录 答案 * 【巩固迁移】 4．(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－eq \r(3))，且θ与α的终边关于x轴对称，则下列说法正确的是(　　) A．sinθ＝－eq \f(\r(21),7) B．α为钝角 C．cosα＝－eq \f(2\r(7),7) D．点(tanθ，sinα)在第一象限 目录 解析 * 解析　角θ的终边经过点(－2，－eq \r(3))，所以sinθ＝－eq \f(\r(21),7)，A正确；θ与α的终边关于x轴对称，则α的终边经过点(－2，eq \r(3))，α为第二象限角，不一定为钝角，cosα＝－eq \f(2\r(7),7)，B错误，C正确；因为tanθ＝eq \f(\r(3),2)>0，sinα＝eq \f(\r(21),7)>0，所以点(tanθ，sinα)在第一象限，D正确．故选ACD. 目录 答案 * 考向2判断三角函数值的符号 例4 (多选)(2023·福建福州华侨中学模拟)给出下列各三角函数值：①sin(－100°)；②cos(－220°)；③tan(－10)；④coseq \f(π,3)，其中符号为负的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 目录 解析 * 解析　对于①，因为－180°<－100°<－90°，所以－100°是第三象限角，所以sin(－100°)<0；对于②，因为－270°<－220°<－180°，所以－220°是第二象限角，所以cos(－220°)<0；对于③，因为－eq \f(7π,2)<－10<－3π，所以－10是第二象限角，所以tan(－10)<0；对于④，因为eq \f(π,3)是第一象限角，所以coseq \f(π,3)>0.所以符号为负的是①②③.故选ABC. 目录 * 【通性通法】 判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号． 注意：不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． 目录 答案 解析 * 【巩固迁移】 5．若α为第二象限角，则cos2α，sin2α，taneq \f(α,2)中，其值必为正数的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析　由题意知，2kπ＋eq \f(π,2)<α<2kπ＋π(k∈Z)，则4kπ＋π<2α<4kπ＋2π(k∈Z)，所以2α的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上，即sin2α<0，cos2α的值可正可负也可为零，又kπ＋eq \f(π,4)<eq \f(α,2)<kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，所以eq \f(α,2)的终边在第一或第三象限，所以taneq \f(α,2)的值必为正数．故选B. 课时作业 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 一、单项选择题 1．(2023·河南南阳模拟)已知角α＝1375°，则角α的终边落在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　因为α＝1375°＝－65°＋360°×4，而－65°是第四象限角，故角α的终边落在第四象限．故选D. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 2．(2023·湖南长沙一中模拟)若角α的终边过点P(8m，－3)，且tanα＝eq \f(3,4)，则m的值为(　　) A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),2) 解析　∵tanα＝eq \f(－3,8m)＝eq \f(3,4)，∴m＝－eq \f(1,2).故选A. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 3．sin2cos3tan4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．大于等于0 解析　因为eq \f(π,2)＜2＜3＜π＜4＜eq \f(3π,2)，所以sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，所以sin2cos3tan4＜0.故选A. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 4．若sinθcosθ<0，eq \f(tanθ,sinθ)>0，则角θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析　由sinθcosθ<0，得sinθ与cosθ异号，故角θ为第二象限角或第四象限角．又由eq \f(tanθ,sinθ)>0，得tanθ与sinθ同号，故角θ是第四象限角．故选D. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 5．已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))，cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为(　　) A．－eq \f(π,3) B．eq \f(2π,3) C．－eq \f(2π,3) D．－eq \f(4π,3) 解析　因为点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))，cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))))，所以点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－eq \f(4π,3).故选D. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 6．(2023·长沙雨花区模拟)已知角α的终边经过点P(3，t)，且sin(2kπ＋α)＝－eq \f(3,5)(k∈Z)，则t＝(　　) A．－eq \f(9,16) B．－eq \f(9,4) C．－eq \f(3,4) D．eq \f(9,4) 解析　因为角α的终边经过点P(3，t)，所以r＝eq \r(32＋t2)，所以sinα＝eq \f(t,\r(32＋t2)).又sin(2kπ＋α)＝－eq \f(3,5)＝sinα，所以eq \f(t,\r(32＋t2))＝－eq \f(3,5)，所以t＝－eq \f(9,4)(正值舍去)．故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 7．(2023·河北衡水中学模拟)已知p：角α的终边在直线y＝eq \r(3)x上，q：α＝kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)，那么p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　角α的终边在直线y＝eq \r(3)x上，则α＝2kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)或α＝2kπ＋π＋eq \f(π,3)＝(2k＋1)π＋eq \f(π,3)(k∈Z)，即α＝kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)，故p是q的充要条件．故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 8．(2023·北京海淀模拟)已知角α的终边绕原点O逆时针旋转eq \f(2π,3)后与角β的终边重合，且cos(α＋β)＝1，则α的取值可以为(　　) A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6) 解析　由于角α的终边绕原点O逆时针旋转eq \f(2π,3)后与角β的终边重合，所以α＋eq \f(2π,3)＋2nπ＝β，n∈Z，所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(2π,3)))＝1，即2α＋eq \f(2π,3)＝2kπ，k∈Z，解得α＝－eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，当k＝1时，α＝eq \f(2π,3).故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 * 二、多项选择题 9．(2024·福建宁德期中)下列说法正确的是(　　) A．终边落在x轴的角的集合为{α|α＝kπ，k∈Z} B．终边落在第三象限的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(π＋2kπ≤α≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z)))) C．若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则α＋β＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z D．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是1 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 * 解析　显然A，C正确；第三象限角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(π＋2kπ＜α＜\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))))，故B错误；对于D，若设扇形的半径为r，弧长为l，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝6，,\f(1,2)lr＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝2，,l＝2，))从而α＝eq \f(l,r)＝eq \f(4,1)＝4或α＝eq \f(l,r)＝eq \f(2,2)＝1，故D错误．故选AC. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 * 10．若α是第二象限角，则(　　) A．π－α是第一象限角 B．eq \f(α,2)是第一或第三象限角 C．eq \f(3π,2)＋α是第二象限角 D．2α是第三或第四象限角 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 * 解析　因为α与－α关于x轴对称，而α是第二象限角，所以－α是第三象限角，所以π－α是第一象限角，故A正确；因为α是第二象限角，所以eq \f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，所以eq \f(π,4)＋kπ<eq \f(α,2)<eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，故eq \f(α,2)是第一或第三象限角，故B正确；因为α是第二象限角，所以eq \f(3π,2)＋α是第一象限角，故C错误；因为π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α的终边可能在y轴的负半轴上，故D错误．故选AB. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 * 11.(2024·吉林第二次调研)如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点．初始时刻，质点A在(1，0)处，质点B在第一象限，且∠AOB＝eq \f(π,6).质点A以eq \f(π,6) rad/s的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以eq \f(π,12) rad/s的角速度按逆时针方向运动，则(　　) A．经过1 s后，圆心角eq \f(π,6)的扇形AOB的面积变为eq \f(5π,12) B．经过2 s后，劣弧eq \o(AB,\s\up18(︵))的长为eq \f(2π,3) C．经过6 s后，质点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) D．经过eq \f(22,3) s后，质点A，B在单位圆上第一次相遇 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 * 解析　对于A，由题意可知，经过1 s后，∠AOB＝eq \f(π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＋eq \f(π,12)＝eq \f(5π,12)， 所以此时扇形AOB的面积为eq \f(1,2)αr2＝eq \f(1,2)×eq \f(5π,12)×12＝eq \f(5π,24)，故A错误；对于B，经过 2 s后，∠AOB＝eq \f(π,6)－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＋2×eq \f(π,12)＝eq \f(2π,3)，所以此时劣弧eq \o(AB,\s\up8(︵))的长为αr＝eq \f(2π,3)，故 B正确；对于C，经过6 s后，质点B转过的角度为6×eq \f(π,12)＝eq \f(π,2)，结合题意，此时质点B为角eq \f(π,6)＋eq \f(π,2)＝eq \f(2π,3)的终边与单位圆的交点，所以质点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，故C正确；对于D，经过eq \f(22,3) s后，质点B转过的角度为eq \f(22,3)×eq \f(π,12)＝eq \f(11π,18)，质点A转过的角度为eq \f(22,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝－eq \f(11π,9)，因为eq \f(π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,9)))＋eq \f(11π,18)＝2π，所以经过eq \f(22,3) s后，质点A，B在单位圆上第一次相遇，故D正确．故选BCD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 －240°或120° 答案 解析 * 三、填空题 12．若α＝1560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝______________． 解析　因为α＝1560°＝4×360°＋120°，所以与α终边相同的角为120°＋k·360°，k∈Z，令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 13．若点P(cosθ，sinθ)与点Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))))关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝______________________________． 解析　∵P(cosθ，sinθ)与Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))))关于y轴对称，即θ，θ＋eq \f(π,6)关于y轴对称，∴θ＋eq \f(π,6)＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，则θ＝kπ＋eq \f(5π,12)，k∈Z，当k＝0时，可取θ的一个值为eq \f(5π,12). eq \f(5π,12) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(满足θ＝\f(5π,12)＋kπ，k∈Z即可)) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 14．一扇形的圆心角为eq \f(2π,3)，则此扇形的面积与其内切圆的面积的比值为________． 解析　设扇形的半径为R，内切圆的半径为r，则(R－r)×sineq \f(π,3)＝r，即R＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2\r(3),3)))r.又S扇＝eq \f(1,2)|α|R2＝eq \f(1,2)×eq \f(2π,3)×R2＝eq \f(π,3)R2＝eq \f(7＋4\r(3),9)πr2，所以eq \f(S扇,πr2)＝eq \f(7＋4\r(3),9). eq \f(7＋4\r(3),9) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 解析 * 15．(2023·山东济南三模)在平面直角坐标系xOy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M(开始时与圆盘上点A(1，0)重合)系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细绳的粗细忽略不计，当φ＝2 rad时，点M与点O之间的距离为(　　) A．eq \f(1,cos1) B．eq \f(2,sin1) C．2 D．eq \r(5) 解析　展开过程中，BM＝eq \o(AB,\s\up8(︵))＝φR＝2，BO＝1，MO＝eq \r(BM2＋BO2)＝eq \r(5).故选D. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 * 16．(多选)(2023·重庆南开中学模拟)已知角α的终边落在第二象限，则下列不等式一定成立的是(　　) A．sineq \f(α,2)<0 B．taneq \f(α,2)>0 C．sineq \f(α,2)>coseq \f(α,2) D．eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))>eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2))) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 * 解析　由题意，得2kπ＋eq \f(π,2)<α<2kπ＋π，k∈Z，故kπ＋eq \f(π,4)<eq \f(α,2)<kπ＋eq \f(π,2)， k∈Z，则eq \f(α,2)表示的范围如图中阴影部分所示，其中不包含边界，故sineq \f(α,2)的 符号不定，taneq \f(α,2)>0，当k为偶数时，eq \f(α,2)为第一象限角，此时0<coseq \f(α,2)<sineq \f(α,2)； 当k为奇数时，eq \f(α,2)为第三象限角，此时sineq \f(α,2)<coseq \f(α,2)<0，故eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)))>eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2))).所以A，C错误，B，D正确．故选BD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 * 17．(多选)(2024·湖南长沙“一起考”)如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点A(1，0)．已知点B(x1，y1)在圆O上，点T的坐标是(x0，sinx0)，则下列说法中正确的是(　　) A．若∠AOB＝α(0<α<π)，则eq \o(ACB,\s\up18(︵))＝α B．若y1＝sinx0，则x1＝x0 C．若y1＝sinx0，则eq \o(ACB,\s\up18(︵))＝x0 D．若eq \o(ACB,\s\up18(︵))＝x0，则y1＝sinx0 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 * 解析　由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有eq \o(ACB,\s\up18(︵))＝1·α＝α，所以A正确；当点B为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，T为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(\r(3),2)))时，y1＝sinx0，x1≠x0，eq \o(ACB,\s\up18(︵))≠x0，所以B，C错误；当eq \o(ACB,\s\up18(︵))＝x0时，y1＝sinx0一定成立，所以D正确．故选AD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 * 18.(2023·广东珠海模拟)数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB的长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示)．若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是________． 2π－2eq \r(3) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 * 解析　如图，由条件可知，eq \o(AB,\s\up18(︵))，eq \o(BC,\s\up18(︵))，eq \o(AC,\s\up18(︵))的弧长均为eq \f(2π,3)，等边三角形的 边长AB＝BC＝AC＝eq \f(\f(2π,3),\f(π,3))＝2，则以点A，B，C为圆心，eq \o(BC,\s\up18(︵))，eq \o(AC,\s\up18(︵))，eq \o(AB,\s\up18(︵))所对的 扇形面积均为eq \f(1,2)×eq \f(2π,3)×2＝eq \f(2π,3)，中间等边三角形ABC的面积S＝eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝eq \r(3)，所以莱洛三角形的面积是3×eq \f(2π,3)－2eq \r(3)＝2π－2eq \r(3). 　　　　　　　　　　　　　 R $$