第1节 导数的概念、几何意义及运算-【金版教程】2025年高考数学一轮复习解决方案课件PPT（新教材，基础版）

第四章　一元函数的导数及其应用 第一节　导数的概念、几何 意义及运算 课标解读 考向预测 1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义. 2.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq \f(1,x)，y＝eq \r(x)的导数. 3.能利用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，会求简单复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数. 从近三年高考情况来看，本节是高考中的必考内容．预计2025年高考会以客观题的形式考查导数的定义、求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中、低档. 目录 必备知识——强基础 考点探究——提素养 课时作业 必备知识——强基础 目录 * 1．平均变化率 对于函数y＝f(x)，把比值eq \f(Δy,Δx)，即eq \f(Δy,Δx)＝eq \x(\s\up1(01))________________叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 2．瞬时速度 一般地，如果物体的运动规律可以用函数s＝s(t)来描述，那么，物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到t＋Δt这段时间内，当Δt无限趋近于0时，eq \f(Δs,Δt)无限趋近的常数． eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx) 目录 * 3．瞬时变化率 定义式 eq \o(Δx→0,\s\up6(lim)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(Δx→0,\s\up6(lim)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx) 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值 作用 刻画函数在某一点处变化的快慢 目录 f′(x0) y′|x＝x0 * 4.导数的概念 一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是eq \o(Δx→0,\s\up6(lim)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(Δx→0,\s\up6(lim)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作eq \x(\s\up1(02))_______或eq \x(\s\up1(03))_______，即f′(x0)＝eq \o(Δx→0,\s\up6(lim)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \o(Δx→0,\s\up6(lim)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx). 注意：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率． 目录 * 5．导函数的概念 如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)内可导．这样，对开区间(a，b)内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝eq \x(\s\up1(04))________________． eq \o(Δx→0,\s\up6(lim))eq \f(f(x＋Δx)－f(x),Δx) 目录 切线的斜率k0 f′(x0) * 6．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的eq \x(\s\up1(05))____________________，即k0＝eq \x(\s\up1(06))__________． 目录 * 7．基本初等函数的导数公式 函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sinx f′(x)＝cosx f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝eq \f(1,xln a) f(x)＝ln x f′(x)＝eq \f(1,x) 目录 yu′·ux′ * 8.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),g(x))))′＝eq \f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),[g(x)]2)(g(x)≠0)． 9．复合函数的导数 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝eq \x(\s\up1(07))_________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 目录 * 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．求曲线y＝f(x)的切线方程的类型及方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)在点P处的切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程． (2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程． 目录 * (3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程． (4)若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率k，再由k＝f′(x0)求出切点坐标P(x0，y0)，最后写出切线方程． (5)①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上； ②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上． 目录 × × × 答案 * 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　) (3)f′(x0)＝[f′(x0)]′.(　　) 目录 答案 * 2．小题热身 (1)(人教A选择性必修第二册5.1.1 T3改编)一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　) A．－3 B．3 C．6 D．－6 目录 答案 * (2)设f(x)＝eeq \r(x)＋ln 2的导函数为f′(x)，则f′(1)的值为(　　) A．0 B．e C．eq \f(e＋1,2) D．eq \f(e,2) 目录 答案 * (2)设f(x)＝eeq \r(x)＋ln 2的导函数为f′(x)，则f′(1)的值为(　　) A．0 B．e C．eq \f(e＋1,2) D．eq \f(e,2) (3)(人教A选择性必修第二册习题5.2 T3改编)已知函数f(x)＝x(2024＋ln x)，若f′(x0)＝2025，则x0＝(　　) A．e2 B．1 C．ln 2 D．e 目录 解析 答案 * 解析　因为y＝cosx，则y′＝－sinx，可得曲线y＝cosx在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))处的切线斜率为k＝－1，则曲线y＝cosx在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))处的切线方程为y＝－x＋eq \f(π,2). (4)(人教A选择性必修第二册5.2.1练习T3改编)余弦曲线y＝cosx在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))处的切线方程为____________． y＝－x＋eq \f(π,2) 目录 * (5)求下列函数的导数． ①y＝2x＋log2x；②y＝eq \f(x3－1,sinx)； ③y＝(3x＋1)2ln (3x)；④y＝3xe－3x. 目录 解 * 解　①y′＝2xln 2＋eq \f(1,xln 2). ②y′＝eq \f((x3－1)′sinx－(sinx)′(x3－1),sin2x) ＝eq \f(3x2sinx－cosx(x3－1),sin2x). ③y′＝[(3x＋1)2]′ln (3x)＋(3x＋1)2· [ln (3x)]′＝6(3x＋1)·ln (3x)＋eq \f((3x＋1)2,x). ④y′＝(3x)′e－3x＋3x(e－3x)′＝3xe－3xln 3－3·3xe－3x. 考点探究——提素养 目录 答案 解析 * 考点一　导数的概念及运算 例1(1)(2024·江苏连云港一中高三上月考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(1)＝a，eq \o(Δx→0,\s\up6(lim)) eq \f(f(1)－f(1＋Δx),2Δx)＝1－a，则实数a的值为(　　) A．－2 B．－eq \f(1,2) C．eq \f(1,2) D．2 解析　由题意，得eq \o(Δx→0,\s\up6(lim)) eq \f(f(1)－f(1＋Δx),2Δx)＝－eq \f(1,2)eq \o(Δx→0,\s\up6(lim)) eq \f(f(1＋Δx)－f(1),Δx)＝－eq \f(1,2)a，所以－eq \f(1,2)a＝1－a，解得a＝2.故选D. 目录 答案 * (2)(多选)下列结论中错误的是(　　) A．若y＝coseq \f(1,x)，则y′＝－eq \f(1,x)sineq \f(1,x) B．若y＝sinx2，则y′＝2xcosx2 C．若y＝cos5x，则y′＝－sin5x D．若y＝eq \f(1,2)xsin2x，则y′＝xsin2x 目录 解析 * 解析　对于A，y＝coseq \f(1,x)，则y′＝eq \f(1,x2)sineq \f(1,x)，故A错误；对于B，y＝sinx2，则y′＝2xcosx2，故B正确；对于C，y＝cos5x，则y′＝－5sin5x，故C错误；对于D，y＝eq \f(1,2)xsin2x，则y′＝eq \f(1,2)sin2x＋xcos2x，故D错误．故选ACD. 目录 * 【通性通法】 1．根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法 (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． (2)求平均变化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx). (3)得导数f′(x0)＝eq \o(Δx→0,\s\up6(lim)) eq \f(Δy,Δx)，简记作：一差、二比、三极限． 2．函数的导数与导数值的区别与联系 导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数． 目录 答案 * 【巩固迁移】 1．(多选)下列求导数的运算中正确的是(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1－eq \f(1,x2) B．(3ln x)′＝eq \f(3,x) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,ex)))′＝eq \f(1,ex) D．(x2cosx)′＝－2xsinx 目录 解析 * 解析　对于A，x′＝1，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝(x－1)′＝－x－2＝－eq \f(1,x2)，相加即可，故A正确；对于B，系数不变，只对ln x求导即可，即(3ln x)′＝eq \f(3,x)，故B正确；对于C，由除法求导公式，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,ex)))′＝eq \f((1－x)ex,e2x)＝eq \f(1－x,ex)，故C错误；对于D，由乘法求导公式，得(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，故D错误．故选AB. 目录 答案 解析 * 2．(2023·重庆市第八中学高三适应性月考(三))已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足f(x)＝ex－2f′(0)sinx＋1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝________． eeq \s\up7(\f(π,2))＋eq \f(1,3) 解析　因为f′(x)＝ex－2f′(0)cosx，所以f′(0)＝e0－2f′(0)cos0，解得f′(0)＝eq \f(1,3)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eeq \s\up7(\f(π,2))－eq \f(2,3)sineq \f(π,2)＋1＝eeq \s\up7(\f(π,2))＋eq \f(1,3). 目录 答案 * 考点二　导数的几何意义及其应用(多考向探究) 考向1导数与函数的图象 例2　函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．f′(1)>f′(2)>0>f′(3) B．f′(1)<f′(2)<f′(3)<0 C．0<f′(1)<f′(2)<f′(3) D．f′(1)>f′(2)>f′(3)>0 目录 解析 * 解析　如图，作出函数在x＝1，2，3处的切线l1，l2，l3，可见三条切线的斜率依次递减，但是都大于零，由导数的几何意义可知，f′(1)>f′(2)>f′(3)>0.故选D. 目录 * 【通性通法】 函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 目录 答案 * 【巩固迁移】 3．函数y＝f(x)的图象如图所示，下列不等关系正确的是(　　) A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3) C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) 目录 解析 * 解析　如图所示，根据导数的几何意义，可得f′(2)表示切线l1的斜率k1>0，f′(3)表示切线l3的斜率k3>0，又由平均变化率的定义，可得eq \f(f(3)－f(2),3－2)＝f(3)－f(2)，表示割线l2的斜率k2，结合图象，可得0<k3<k2<k1，即0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)．故选C. 目录 答案 * 考向2求切点的坐标 例3已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则点P的坐标为(　　) A．(1，3) B．(－1，3) C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3) 目录 解析 * 解析　设切点P(x0，y0)，∵f′(x)＝3x2－1，直线x＋2y－1＝0的斜率为－eq \f(1,2)，∴f′(x0)＝3xeq \o\al(2,0)－1＝2，∴xeq \o\al(2,0)＝1，∴x0＝±1，又切点P(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，∴y0＝xeq \o\al(3,0)－x0＋3，∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3，∴切点P的坐标为(1，3)或(－1，3)． 目录 * 【通性通法】 已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标． 目录 (e，1) 答案 解析 * 【巩固迁移】 4．在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________． 解析　设点A(x0，y0)，则y0＝ln x0.又y′＝eq \f(1,x)，当x＝x0时，y′＝eq \f(1,x0)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－y0＝eq \f(1,x0)(x－x0)，即y－ln x0＝eq \f(x,x0)－1，代入点(－e，－1)，得－1－ln x0＝eq \f(－e,x0)－1，即x0ln x0＝e.令H(x)＝xln x，当x∈(0，1)时，H(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，H(x)>0，且H′(x)＝ln x＋1，当x>1时，H′(x)>0，H(x)单调递增，注意到H(e)＝e，故x0ln x0＝e存在唯一的实数根x0＝e，此时y0＝1，故点A的坐标为(e，1)． 目录 5x－y＋2＝0 答案 解析 * 考向3求切线的方程 例4　(1)曲线y＝eq \f(2x－1,x＋2)在点(－1，－3)处的切线方程为____________________． 解析　因为y′＝eq \f(2(x＋2)－(2x－1),(x＋2)2)＝eq \f(5,(x＋2)2)，所以曲线y＝eq \f(2x－1,x＋2)在点(－1，－3)处的切线的斜率k＝5，故所求切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0. 目录 解析 答案 * (2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________． 解析　当x＞0时，y＝ln x，设切点为(x0，ln x0)，由y′＝eq \f(1,x)，得y′|x＝x0＝eq \f(1,x0)，所以切线方程为y－ln x0＝eq \f(1,x0)(x－x0)，又切线过坐标原点，所以－ln x0＝eq \f(1,x0)(－x0)，解得x0＝e，所以切线方程为y－1＝eq \f(1,e)(x－e)，即y＝eq \f(1,e)x；当x＜0时，y＝ln (－x)，设切点为(x1，ln (－x1))，由y′＝eq \f(1,x)，得y′|x＝x1＝eq \f(1,x1)，所以切线方程为y－ln (－x1)＝eq \f(1,x1)(x－x1)，又切线过坐标原点，所以－ln (－x1)＝eq \f(1,x1)(－x1)，解得x1＝－e，所以切线方程为y－1＝eq \f(1,－e)(x＋e)，即y＝－eq \f(1,e)x. y＝eq \f(1,e)x y＝－eq \f(1,e)x 目录 * 【通性通法】 注意：“待定切点法”——如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝f(x0)，,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′(x0)，))得切点(x0，y0)，进而确定切线方程． 目录 答案 * 【巩固迁移】 5．若经过点P(2，8)作曲线y＝x3的切线，则切线方程为(　　) A．12x－y－16＝0 B．3x－y＋2＝0 C．12x－y＋16＝0或3x－y－2＝0 D．12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0 目录 解析 * 解析　易知点P在曲线y＝x3上，y′＝3x2，当点P为切点时，切线斜率k＝12，切线方程为12x－y－16＝0.当点P不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为k＝3xeq \o\al(2,0).∵点A在曲线上，∴y0＝xeq \o\al(3,0)，∴3,0)eq \f(x－8,x0－2) ＝3xeq \o\al(2,0)，∴xeq \o\al(3,0)－3xeq \o\al(2,0)＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3，此时切线方程为y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0.故经过点P作曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0.故选D. 目录 答案 * 考向4求参数的值或取值范围 例5 　(2023·河南郑州高三第二次质量预测)已知曲线y＝xln x＋ae－x在点x＝1处的切线方程为2x－y＋b＝0，则b＝(　　) A．－1 B．－2 C．－3 D．0 目录 解析 * 解析　由题意，得y′＝ln x＋1－ae－x，根据导数的几何意义可知，在点x＝1处的切线斜率为1－eq \f(a,e)＝2，解得a＝－e，所以切点为(1，－1)，代入切线方程可得2＋1＋b＝0，解得b＝－3.故选C. 目录 * 【通性通法】 1．利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围． (2)谨记切点既在切线上又在曲线上． 目录 (－∞，－4)∪(0，＋∞) 答案 解析 * 【巩固迁移】 6．(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是____________________． 解析　因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝(x0＋a＋1)ex0＝eq \f((x0＋a)ex0,x0)，化简，得xeq \o\al(2,0)＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程xeq \o\al(2,0)＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 目录 答案 * 考点三　两曲线的公切线问题 例6　设曲线y＝ln x与y＝(x＋a)2有一条斜率为1的公切线，则a＝(　　) A．－1 B．－eq \f(3,4) C．eq \f(1,4) D．eq \f(3,4) 目录 解析 * 解析　因为y＝ln x，所以y′＝eq \f(1,x)，又因为切线的斜率为1，所以y′＝eq \f(1,x)＝1，解得x＝1，y＝0，所以切线方程为y＝x－1.因为y＝(x＋a)2，所以y′＝2x＋2a＝1，解得x＝eq \f(1,2)－a，代入切线方程得y＝－eq \f(1,2)－a，再将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－a，－\f(1,2)－a))代入y＝(x＋a)2，解得a＝－eq \f(3,4).故选B. 目录 * 【通性通法】 解决两曲线的公切线问题的两种方法 (1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解． (2)设公切线l在曲线y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在曲线y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝eq \f(f(x1)－g(x2),x1－x2). 目录 答案 * 【巩固迁移】 7．(2023·江西南昌模拟)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝(　　) A．4 B．8 C．2 D．1 目录 解析 * 解析　y＝x＋ln x的导数为y′＝1＋eq \f(1,x)，曲线y＝x＋ln x在x＝1处的切线斜率k＝2，则曲线y＝x＋ln x在x＝1处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.由于切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝ax2＋(a＋2)x＋1，,y＝2x－1，))得ax2＋ax＋2＝0，又a≠0，两曲线相切有一切点，所以Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.故选B. 课时作业 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 一、单项选择题 1.(2023·辽宁抚顺六校协作体高三上学期期中考试)现有一个圆柱形空杯子，盛液体部分的底面半径为2 cm，高为8 cm，用一个注液器向杯中注入溶液，已知注液器向杯中注入的溶液的容积V(单位：mL)关于时间t(单位：s)的函数解析式为V＝πt3＋3πt2(t≥0)，不考虑注液过程中溶液的流失，则当t＝2时，杯中溶液上升高度的瞬时变化率为(　　) A．4 cm/s B．5 cm/s C．6 cm/s D．7 cm/s 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　由题意，杯子的底面积为S＝4π，则溶液上升高度h＝eq \f(V,S)＝eq \f(t3＋3t2,4)，所以h′＝eq \f(3t2＋6t,4)，则h′|t＝2＝6 cm/s.故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 * 2．(2024·湖南长沙长郡中学高三上月考(四))已知函数f(x)＝2cosx－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))sinx，则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝(　　) A．eq \f(2\r(3),3) B．－eq \f(2\r(3),3) C．2 D．－2 解析　因为f(x)＝2cosx－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))sinx，所以f′(x)＝－2sinx－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))cosx，故f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝－2sineq \f(π,3)－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))coseq \f(π,3)，即f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝－eq \r(3)－eq \f(1,2)f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝－eq \f(2\r(3),3).故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 * 3．(2023·全国甲卷)曲线y＝eq \f(ex,x＋1)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e,2)))处的切线方程为(　　) A．y＝eq \f(e,4)x B．y＝eq \f(e,2)x C．y＝eq \f(e,4)x＋eq \f(e,4) D．y＝eq \f(e,2)x＋eq \f(3e,4) 解析　设曲线y＝eq \f(ex,x＋1)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e,2)))处的切线方程为y－eq \f(e,2)＝k(x－1)，因为y＝eq \f(ex,x＋1)，所以y′＝eq \f(ex(x＋1)－ex,(x＋1)2)＝eq \f(xex,(x＋1)2)，所以k＝y′|x＝1＝eq \f(e,4)，所以y－eq \f(e,2)＝eq \f(e,4)(x－1)，所以曲线y＝eq \f(ex,x＋1)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(e,2)))处的切线方程为y＝eq \f(e,4)x＋eq \f(e,4).故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 4．(2024·河北邢台六校联考高三上学期第一次月考)下列求导运算正确的是(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,5)))′＝coseq \f(π,5) B．(x2sin3x)′＝2xsin3x＋x2cos3x C．(tanx)′＝eq \f(1,cos2x) D．[ln (2x－1)]′＝eq \f(1,2x－1) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　对于A，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,5)))′＝0，A错误；对于B，(x2sin3x)′＝(x2)′sin3x＋x2(sin3x)′＝2xsin3x＋3x2cos3x，B错误；对于C，(tanx)′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))′＝eq \f(cosx·cosx－sinx·(－sinx),cos2x)＝eq \f(1,cos2x)，C正确；对于D，[ln (2x－1)]′＝eq \f(1,2x－1)×2＝eq \f(2,2x－1)，D错误．故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 5．(2023·安徽六安新安中学模拟)若函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在斜率为2的切线，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　由题意，函数f(x)＝ln x＋ax的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝eq \f(1,x)＋a.函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在斜率为2的切线，即eq \f(1,x)＋a＝2在(0，＋∞)上有解，即a＝2－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上有解．因为x>0，所以eq \f(1,x)>0，则－eq \f(1,x)<0，2－eq \f(1,x)<2，所以a<2，即实数a的取值范围是(－∞，2)．故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 6．(2024·河南南阳阶段考试)设点P，Q分别是曲线y＝xe－x(e是自然对数的底数)和直线y＝x＋3上的动点，则P，Q两点间距离的最小值为(　　) A．eq \f(\r(2),2) B．eq \f(3\r(2),2) C．eq \f((4e－1)\r(2),2) D．eq \f((4e＋1)\r(2),2) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　由题意，曲线y＝xe－x上的动点P和直线y＝x＋3上的动点Q间的距离的最小值，即曲线y＝xe－x上与直线y＝x＋3平行的切线与直线y＝x＋3之间的距离．由y＝eq \f(x,ex)可得y′＝eq \f(1－x,ex)，令y′＝1，解得x＝0.当x＝0时，y＝0，点P(0，0)，因此P，Q两点间距离的最小值，即为点P(0，0)到直线y＝x＋3的距离，dmin＝eq \f(3,\r(2))＝eq \f(3\r(2),2).故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 7．已知函数f(x)＝eq \f(1,2)ex，直线y＝kx与函数f(x)的图象有两个交点，则实数k的取值范围为(　　) A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)e，\r(e))) B．(eq \r(e)，＋∞) C．(e，＋∞) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)e，＋∞)) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　当过原点的直线y＝kx与函数f(x)的图象相切时，设切点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(1,2)em))，由f′(x)＝eq \f(1,2)ex，可得过点P的切线方程为y－eq \f(1,2)em＝eq \f(1,2)em(x－m)，代入点(0，0)可得－eq \f(1,2)em＝－eq \f(1,2)mem，解得m＝1，此时切线的斜率为eq \f(1,2)e，由函数f(x)的图象可知，若直线y＝kx与函数f(x)的图象有两个交点，实数k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)e，＋∞)).故选D. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 8．(2023·江苏南通模拟)已知过点A(a，0)作曲线y＝(1－x)ex的切线有且仅有1条，则a＝(　　) A．－3 B．3 C．－3或1 D．3或1 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　设切点为(x0，(1－x0)ex0)，由已知得y′＝－xex，则切线斜率k＝－x0ex0，切线方程为y－(1－x0)ex0＝－x0ex0(x－x0)，直线过点A(a，0)，则－(1－x0)ex0＝－x0ex0(a－x0)，化简得xeq \o\al(2,0)－(a＋1)x0＋1＝0，切线有且仅有1条，即Δ＝(a＋1)2－4＝0，解得a＝－3或1.故选C. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 二、多项选择题 9．函数y＝g(x)在区间[a，b]上连续，对[a，b]上任意两点x1，x2(x1≠x2)，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))<eq \f(g(x1)＋g(x2),2)时，我们称函数g(x)在[a，b]上“严格上凹”．若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数(二阶导函数)在给定区间内恒为正，即g″(x)>0.下列所列函数在所给定义域上“严格上凹”的是(　　) A．f(x)＝log2x(x>0) B．f(x)＝2e－x＋x C．f(x)＝－x3＋2x(x<0) D．f(x)＝sinx－x2(0<x<π) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　由题意可知，若函数在所给定义域上“严格上凹”，则满足f″(x)>0在定义域内恒成立．对于A，f(x)＝log2x(x>0)，则f″(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,xln 2)))′＝－eq \f(1,ln 2)·eq \f(1,x2)<0在x>0时恒成立，故A不符合题意；对于B，f(x)＝2e－x＋x，则f″(x)＝(－2e－x＋1)′＝2e－x>0恒成立，故B符合题意；对于C，f(x)＝－x3＋2x(x<0)，则f″(x)＝(－3x2＋2)′＝－6x>0在x<0时恒成立，故C符合题意；对于D，f(x)＝sinx－x2(0<x<π)，则f″(x)＝(cosx－2x)′＝－sinx－2<0在0<x<π时恒成立，故D不符合题意．故选BC. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 10．已知函数f(x)的导数为f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是(　　) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝eq \f(1,x) C．f(x)＝ln x D．f(x)＝eq \f(sinx,cosx) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　对于A，f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，有“巧值点”；对于B，f′(x)＝－eq \f(1,x2)，令eq \f(1,x)＝－eq \f(1,x2)，得x＝－1，有“巧值点”；对于C，f′(x)＝eq \f(1,x)，令ln x＝eq \f(1,x)，结合y＝ln x，y＝eq \f(1,x)的图象，知方程ln x＝eq \f(1,x)有解，即有“巧值点”；对于D，f′(x)＝eq \f(1,cos2x)，令eq \f(sinx,cosx)＝eq \f(1,cos2x)，得sin2x＝2，无解，无“巧值点”．故选ABC. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 11．(2023·江苏南京模拟)已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，若g(x)＝xf(x)，则下列各式成立的是(　　) A．f(1)＝1 B．f′(1)＝1 C．f(x)＝eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,4) D．g′(1)＝eq \f(3,2) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　对于A，由题意知，点(1，f(1))在直线x－2y＋1＝0上，所以f(1)＝1，故A正确；对于B，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，所以f′(1)＝eq \f(1,2)，故B错误；对于C，f(x)＝eq \f(1,4)x2＋eq \f(3,4)，虽然满足f(1)＝1，f′(1)＝eq \f(1,2)，但该函数只是一种特殊情况，该函数还可以为f(x)＝eq \r(x)，也满足f(1)＝1，f′(1)＝eq \f(1,2)，故C错误；对于D，由题得g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(1)＝f(1)＋f′(1)＝1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，故D正确．故选AD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y＝x＋1 答案 解析 * 三、填空题 12．(2024·安徽亳州第一中学高三上学期第二次月考)已知函数f(x)＝ax－ln x，且eq \o(Δx→0,\s\up6(lim)) eq \f(f(1＋2Δx)－f(1－Δx),Δx)＝3，则曲线f(x)在(1，f(1))处的切线方程是________． 解析　由eq \o(Δx→0,\s\up6(lim)) eq \f(f(1＋2Δx)－f(1－Δx),Δx)＝3eq \o(Δx→0,\s\up6(lim))eq \f(f(1＋2Δx)－f(1－Δx),3Δx)＝3，得f′(1)＝1，而f′(x)＝a－eq \f(1,x)，所以a＝2，f(x)＝2x－ln x，f(1)＝2，所以切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －2 答案 解析 * 13．(2023·黑龙江牡丹江联考)已知函数f(x)＝x2＋2f′(1)ln x，则f′(1)＝________． 解析　因为f(x)＝x2＋2f′(1)ln x，所以f′(x)＝2x＋eq \f(2f′(1),x)，则f′(1)＝2＋2f′(1)，故f′(1)＝－2. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (ln 4，＋∞) 答案 * 14．(2023·河南信阳高级中学高三上学期期末)已知函数f(x)＝eq \f(1,2)|ex－1|.若存在x1，x2∈(－a，a)(x1<x2，a>0)，使得曲线y＝f(x)在x＝x1，x＝x2处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为________________． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)(ex－1)，x≥0，,\f(1,2)(1－ex)，x<0，))f′(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ex，x>0，,－\f(1,2)ex，x<0，))若存在x1，x2∈(－a，a)(x1<x2，a>0)，使得曲线y＝f(x)在x＝x1，x＝x2处的切线互相垂直，根据导数的几何意义可知，f′(x1)f′(x2)＝－1，且x1<x2，所以－a<x1<0<x2<a，则eq \f(1,2)ex2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)ex１))＝－1，e x1+ x2＝4，因为－a<x1＋x2<a，e－a<e x1+ x2<ea，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ea>4，,e－a<4，,a>0，))解得a>ln 4.故实数a的取值范围为(ln 4，＋∞)． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 * 15．(2023·江苏扬州高邮市第一中学等2校高三上学期期末联考)若曲线y＝x3－2x2＋m与曲线y＝4x2＋1有一条过原点的公切线，则m的值为________． 8或－eq \f(40,27) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 * 解析　因为过原点斜率不存在的直线为x＝0，该直线与曲线y＝4x2＋1不相切，所以设曲线y＝4x2＋1过原点的切线的方程为y＝kx，切点为B(x2，y2)，则k＝8x2，k＝eq \f(y2,x2)，y2＝4xeq \o\al(2,2)＋1，所以x2＝±eq \f(1,2).当x2＝eq \f(1,2)时，k＝4，所以直线y＝4x与曲线y＝x3－2x2＋m相切，设切点为A(x1，y1)，则y1＝4x1，3xeq \o\al(2,1)－4x1＝4，y1＝xeq \o\al(3,1)－2xeq \o\al(2,1)＋m，所以x1＝－eq \f(2,3)或x1＝2，当x1＝－eq \f(2,3)时，m＝－eq \f(40,27)，当x1＝2时，m＝8；当x2＝－eq \f(1,2)时，k＝－4，所以直线y＝－4x与曲线y＝x3－2x2＋m相切，设切点为C(x3，y3)，则y3＝－4x3，3xeq \o\al(2,3)－4x3＝－4，y3＝xeq \o\al(3,3)－2xeq \o\al(2,3)＋m，满足方程3xeq \o\al(2,3)－4x3＝－4的解不存在，故m不存在．所以m＝8或m＝－eq \f(40,27). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 * 16．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))ln x＋eq \f(2,x)－x(a>0)． (1)当a＝1时，求曲线f(x)在x＝2处的切线方程； (2)当a≥3时，曲线f(x)上存在分别以A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为切点的两条互相平行的切线，求x1＋x2的取值范围． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 * 解　(1)当a＝1时，f(x)＝2ln x＋eq \f(2,x)－x，f(2)＝2ln 2－1，f′(x)＝eq \f(2,x)－eq \f(2,x2)－1， 所以f′(2)＝－eq \f(1,2)，即切线的斜率k＝－eq \f(1,2)， 所以曲线f(x)在x＝2处的切线方程为y－(2ln 2－1)＝－eq \f(1,2)(x－2)， 即x＋2y－4ln 2＝0. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 * (2)由题意知f′(x1)＝f′(x2)，f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a))) eq \f(1,x)－eq \f(2,x2)－1，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a))) eq \f(1,x1)－2,1)eq \f(2,x) －1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a))) eq \f(1,x2)－2,2)eq \f(2,x) －1， 整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－\f(1,x1)))＝2,2)eq \f(2,x) －2,1)eq \f(2,x) ， 因为x1≠x2， 所以eq \f(2a,a2＋1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋\f(1,x1)))＝1， 所以x1＋x2＝(x1＋x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)))·eq \f(2a,a2＋1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)＋\f(x2,x1)＋2))·eq \f(2a,a2＋1)>eq \f(8a,a2＋1)＝eq \f(8,a＋\f(1,a))， 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 * 令g(a)＝a＋eq \f(1,a)， 则g′(a)＝1－eq \f(1,a2)＝eq \f((a＋1)(a－1),a2)， 因为a≥3，g′(a)>0， 所以g(a)在[3，＋∞)上单调递增， 所以g(a)≥g(3)＝3＋eq \f(1,3)＝eq \f(10,3)，即a＋eq \f(1,a)≥eq \f(10,3)， 所以eq \f(8,a＋\f(1,a))≤eq \f(8,\f(10,3))＝eq \f(12,5)， 即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,a＋\f(1,a)))) eq \s\do7(max)＝eq \f(12,5)， 所以x1＋x2>eq \f(12,5)，即x1＋x2的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)，＋∞)). 　　　　　　　　　　　　　 R $$