第6节 对数与对数函数-【金版教程】2025年高考数学一轮复习解决方案课件PPT（新教材，基础版）

第三章　函数与基本初等函数 第六节　对数与对数函数 课标解读 考向预测 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与其图象上的特殊点. 3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1). 对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数函数的定义域、值域、最值等是近几年高考考查的热点，题型多以选择题、填空题为主，属于中档题．预计2025年高考可能会考查对数函数的图象以及单调性等性质，题型为选择题或填空题，难度中档；也可能会以对数或对数函数为载体，结合新定义、初等数论等以创新型题目出现在第19题，难度较大. 目录 必备知识——强基础 考点探究——提素养 课时作业 必备知识——强基础 目录 x logaN 底数 真数 10 lg N e ln N * 1．对数的概念 (1)定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数eq \x(\s\up1(01))_______叫做以a为底N的对数，记作x＝eq \x(\s\up1(02))_______，其中a叫做对数的eq \x(\s\up1(03))_______，N叫做eq \x(\s\up1(04))_______． (2)常用对数和自然对数 ①常用对数：以eq \x(\s\up1(05))_______为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为eq \x(\s\up1(06))_______． ②自然对数：以eq \x(\s\up1(07))_______为底的对数叫做自然对数，并把logeN记为eq \x(\s\up1(08))_______． 目录 负数和0 0 1 N b logaM＋logaN logaM－logaN nlogaM * 2．对数的性质 (1)eq \x(\s\up1(09))____________没有对数； (2)loga1＝eq \x(\s\up1(10))_______； (3)logaa＝eq \x(\s\up1(11))_______； (4)对数恒等式：alogaN＝eq \x(\s\up1(12))_______；logaab＝eq \x(\s\up1(13))_______ (a>0，且a≠1)． 3．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝eq \x(\s\up1(14))__________________； (2)logaeq \f(M,N)＝eq \x(\s\up1(15))__________________； (3)logaMn＝eq \x(\s\up1(16))__________________ (n∈R)． 目录 y＝logax(a＞0，且a≠1) (0，＋∞) * 4．换底公式：logab＝eq \x(\s\up1(17))_____________ (a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． 5．对数函数及其性质 (1)概念：函数eq \x(\s\up1(18))__________________________叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是eq \x(\s\up1(19))_____________． eq \f(logcb,logca) 目录 (0，＋∞) R (1，0) 增函数 减函数 * (2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 eq \x(\s\up1(20))_____________ 值域 eq \x(\s\up1(21))_____________ 性质 当x＝1时，y＝0，即图象过定点eq \x(\s\up1(22))_____________ 当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是eq \x(\s\up1(23))_____________ 在(0，＋∞)上是eq \x(\s\up1(24))_____________ 目录 y＝logax y＝x * 6.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数eq \x(\s\up1(25))________________ (a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线eq \x(\s\up1(26))______________对称．它们的定义域和值域正好互换． 目录 * 1．对数运算的两个重要结论 (1)logab＝eq \f(1,logba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)． (2)logambn＝eq \f(n,m)logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0)． 2．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 目录 * 3．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函数图象只在第一、四象限． 4．对于函数f(x)＝|logax|(a>0，且a≠1)，若f(m)＝f(n)(m≠n)，则必有mn＝1. 目录 √ × × × 答案 * 1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) (2)logax·logay＝loga(x＋y)．(　　) (3)log2x2＝2log2x.(　　) (4)函数y＝log2x与y＝logeq \s\up-7(\f(1,2))eq \f(1,x)的图象重合．(　　) 目录 答案 解析 * 2．小题热身 (1)(人教A必修第一册习题4.3 T5改编)设lg 2＝a，lg 3＝b，则log1210＝(　　) A.eq \f(1,2a＋b) B.eq \f(1,a＋2b) C．2a＋b D．2b＋a 解析　log1210＝eq \f(1,lg 12)＝eq \f(1,lg 3＋2lg 2)＝eq \f(1,2a＋b). 目录 (4，－1) 答案 * (2)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是(　　) A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝eq \f(1,\r(x)) (3)已知实数a＝log32，b＝log2π，c＝log2eq \r(10)，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a (4)(人教B必修第二册4.2.3尝试与发现(2)改编)已知函数y＝loga(x－3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________． 考点探究——提素养 目录 答案 解析 * 考点一　对数的概念与运算 例1(1)(多选)下列各式化简运算结果为1的是(　　) A．log53×log32×log25 B．lg eq \r(2)＋eq \f(1,2)lg 5 C．logeq \r(a)a2(a>0，且a≠1) D．eln 3－0.125eq \s\up7(-\f(1,3)) 解析　对于A，原式＝eq \f(lg 3,lg 5)×eq \f(lg 2,lg 3)×eq \f(lg 5,lg 2)＝1；对于B，原式＝eq \f(1,2)lg 2＋eq \f(1,2)lg 5＝eq \f(1,2)lg (2×5)＝eq \f(1,2)；对于C，原式＝2logeq \r(a)a＝2×2＝4；对于D，原式＝3－8eq \s\up7(\f(1,3))＝3－2＝1.故选AD. 目录 答案 解析 * (2)已知正实数x，y，z满足3x＝4y＝(2eq \r(3))z，则(　　) A.eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(1,z) B.eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝eq \f(1,x) C.eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(2,z) D.eq \f(1,x)＋eq \f(1,z)＝eq \f(2,y) 解析　令3x＝4y＝(2eq \r(3))z＝a，则x＝log3a，y＝log4a，z＝log2eq \r(3)a，故eq \f(1,x)＝loga3，eq \f(1,y)＝loga4，eq \f(1,z)＝loga2eq \r(3)，故eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝loga12＝2logaeq \r(12)＝eq \f(2,z).故选C. 目录 * 【通性通法】 对数运算的一般思路 转化 利用ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)对题目条件进行转化 利用换底公式转化为同底数的对数运算 恒等式 注意loga1＝0，logaaN＝N，alogaN＝N(a>0，且a≠1)的应用 拆分 将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简 合并 将对数式化为同底数对数的和、差、倍数形式，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算 注意：利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1. 目录 答案 解析 * 【巩固迁移】 1．化简(2log43＋log83)(log32＋log92)的值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．6 解析　原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(1,2)log23＋\f(1,3)log23)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log32＋\f(1,2)log32))＝eq \f(4,3)log23×eq \f(3,2)log32＝2.故选B. 目录 答案 解析 * 2．(多选)(2024·江苏连云港灌南高级中学、灌云高级中学高三联考)若10a＝4，10b＝25，则(　　) A．a＋b＝2 B．b－a＝1 C．ab>(lg 2)2 D．b－a>lg 6 解析　由10a＝4，10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，所以a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，故A正确；因为b－a＝lg 25－lg 4＝lg eq \f(25,4)<lg 10＝1，故B错误；因为ab＝lg 4·lg 25>lg 2·lg 2＝(lg 2)2，故C正确；因为b－a＝lg 25－lg 4＝lg eq \f(25,4)>lg eq \f(24,4)＝lg 6，故D正确．故选ACD. 目录 0.42 答案 解析 * 3．(2024·江苏南通高三教学质量监测)已知树木样本中碳­14含量与树龄之间的函数关系式为k＝k0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up15(\f(n,5730))，其中k0为树木最初生长时的碳­14含量，n(单位：年)为树龄，通过测定发现某古树样品中碳­14含量为0.6k0，则该古树的树龄约为________万年．(精确到0.01，lg 3≈0.48，lg 5≈0.70) 解析　由题意，得0.6k0＝k0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up16(\f(n,5730))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up16(\f(n,5730))＝eq \f(3,5)，两边取对数，得eq \f(n,5730)lg eq \f(1,2)＝lg eq \f(3,5)，变形，得n＝eq \f(lg 5－lg 3,lg 2)×5730＝eq \f(lg 5－lg 3,1－lg 5)×5730，因为lg 3≈0.48，lg 5≈0.70，所以n≈eq \f(0.70－0.48,1－0.70)×5730＝4202，故该古树的树龄约为0.42万年． 目录 答案 * 考点二　对数函数的图象及其应用 例2(1)已知函数f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则函数y＝loga(|x|＋b)的图象可以是(　　) 目录 解析 * 解析　由函数f(x)＝ax＋b的图象，可知0<a<1，－1<b<0，函数y＝g(x)＝loga(|x|＋b)的定义域为(－∞，b)∪(－b，＋∞)，且g(－x)＝loga(|－x|＋b)＝loga(|x|＋b)＝g(x)，即函数y＝loga(|x|＋b)为偶函数．又函数y＝loga(|x|＋b)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(loga(x＋b)，x>－b,loga(－x＋b)，x<b,))所以y＝loga(|x|＋b)在(－b，＋∞)上单调递减，在(－∞，b)上单调递增．故选D. 目录 答案 解析 * (2)设x1，x2，x3均为实数，且e－x1＝ln x1，e－x2＝ln (x2＋1)，e－x3＝lg x3，则(　　) A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2 C．x2<x3<x1 D．x2<x1<x3 解析　画出函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e))) eq \s\up12(x)，y＝ln x，y＝ln (x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示，数形结合，知x2<x1<x3. 目录 * 【通性通法】 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 目录 答案 * 【巩固迁移】 4．若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga|x＋k|的大致图象是(　　) 目录 解析 * 解析　因为函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上是奇函数，所以f(0)＝0，所以k＝2，经检验，k＝2满足题意．又因为f(x)为减函数，所以0<a<1，则g(x)＝loga|x＋2|(0<a<1)，由g(－4－x)＝loga|－4－x＋2|＝loga|x＋2|＝g(x)，可知g(x)的图象关于直线x＝－2对称，排除C，D；又g(0)＝loga|0＋2|＝loga2<0，可知A错误．故选B. 目录 4 答案 解析 * 5．已知函数f(x)＝|log2x|，实数a，b满足0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，若f(x)在[a2，b]上的最大值为2，则eq \f(1,a)＋b＝________． 解析　∵f(x)＝|log2x|，∴f(x)的图象如图所示，又f(a)＝f(b)且0＜a＜b，∴0＜a＜1，b＞1且ab＝1，∴a2＜a，当a2≤x≤b时，由图可知，f(x)max＝f(a2)＝|log2a2|＝－2log2a＝2，∴a＝eq \f(1,2)，∴b＝2，∴eq \f(1,a)＋b＝4. 目录 答案 解析 * 考点三　对数函数的性质及其应用(多考向探究) 考向1比较大小问题 例3(1)若a＝0.50.3，b＝log0.53，c＝log0.30.2，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b 解析　因为0<a＝0.50.3<0.50＝1，b＝log0.53<0，c＝log0.30.2>log0.30.3＝1，所以c>a>b.故选D. 目录 答案 解析 * (2)若a＝log23＋log32，b＝2，c＝eq \f(1,logπ2)＋log3π，则(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．c>b>a D．b>c>a 解析　因为a＝log23＋log32>2eq \r(log23·log32)＝2，所以a>b.因为f(x)＝log2x，g(x)＝log3x单调递增，所以c＝log2π＋log3π>log23＋log32，所以c>a.综上，c＞a＞b.故选B. 目录 * 【通性通法】 对数值比较大小的四种常见类型 (1)底数为同一常数，可由对数函数的单调性直接进行判断． (2)底数为同一字母，需对底数进行分类讨论． (3)底数不同，真数相同，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (4)底数与真数都不同，常借助1，0等中间量进行比较． 目录 答案 解析 * 【巩固迁移】 6．(多选)(2024·河北尚义高三联考)已知a＝log827，b＝log916，c＝log48，则(　　) A．a<b B．a>c C．b<c D．b<a 解析　因为a＝log827＝log2333＝log23，b＝log916＝log34，c＝log48＝eq \f(3,2)，所以eq \f(a,b)＝eq \f(log23,log34)＝eq \f(ln 3,ln 2)·eq \f(ln 3,ln 4)＝eq \f(6ln 3·ln 3,6ln 2·ln 4)＝eq \f(2ln 3,3ln 2)·eq \f(3ln 3,2ln 4)＝eq \f(ln 9,ln 8)·eq \f(ln 27,ln 16)>1，又a，b均大于0，所以a>b，故A错误，D正确；因为a＝log23>log22eq \r(2)＝eq \f(3,2)＝c，所以a>c，故B正确；因为16<33，即4<3eq \s\up7(\f(3,2))，所以b＝log916＝log34<log33eq \s\up7(\f(3,2))＝eq \f(3,2)＝c，即b<c，故C正确．故选BCD. 目录 答案 解析 * 考向2解简单的对数不等式 例4 (1)已知函数f(x)＝log2x－x＋1，则不等式f(x)<0的解集是(　　) A．(1，2) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(0，2) D．(0，1)∪(2，＋∞) 解析　依题意，f(x)<0等价于log2x<x－1，在同一坐标系中作出y＝log2x，y＝x－1的图象，如图所示，可得log2x<x－1的解集为(0，1)∪(2，＋∞)．故选D. 目录 答案 解析 * (2)不等式logeq \s\up-7(\f(1,2))(eq \r(x)＋1)－logeq \s\up-7(\f(1,2))(eq \r(x)－1)<－eq \f(1,2)的解集是__________________． (1，17＋12eq \r(2)) 解析　因为logeq \s\up-7(\f(1,2))(eq \r(x)＋1)－logeq \s\up-7(\f(1,2))(eq \r(x)－1)<－eq \f(1,2)可化为logeq \s\up-7(\f(1,2))eq \f(\r(x)＋1,\r(x)－1)<－eq \f(1,2)⇒eq \f(\r(x)＋1,\r(x)－1)>eq \r(2)⇒1<eq \r(x)<3＋2eq \r(2)，所以x∈(1，17＋12eq \r(2))，即原不等式的解集为(1，17＋12eq \r(2))． 目录 * 【通性通法】 与对数函数有关的不等式的求解策略 目录 答案 解析 * 【巩固迁移】 7．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式f(logeq \s\up0(\f(1,3))(2x－5))＞f(log38)的解集为_________________________． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，\f(41,16)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,2)，＋∞)) 解析　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以可将f(logeq \s\up-7(\f(1,3))(2x－5))＞f(log38)化为|logeq \s\up-7(\f(1,3))(2x－5)|＞|log38|，即log3(2x－5)＞log38或log3(2x－5)＜－log38＝log3eq \f(1,8)，即2x－5＞8或0＜2x－5＜eq \f(1,8)，解得x＞eq \f(13,2)或eq \f(5,2)＜x＜eq \f(41,16). 目录 答案 * 考向3与对数函数有关的复合函数问题 例5(多选)(2024·广东部分地市高三模拟)已知函数f(x)＝ln (x2＋x＋m)(m∈R)，则(　　) A．当m>eq \f(1,4)时，f(x)的定义域为R B．f(x)一定存在最小值 C．f(x)的图象关于直线x＝－eq \f(1,2)对称 D．当m≥1时，f(x)的值域为R 目录 解析 * 解析　对于A，若m>eq \f(1,4)，则Δ＝1－4m<0，则二次函数y＝x2＋x＋m的图象恒在x轴的上方，即x2＋x＋m>0恒成立，所以f(x)的定义域为R，故A正确；对于B，若m＝0，则f(x)＝ln (x2＋x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，值域为R，没有最小值，故B错误；对于C，由于函数y＝ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋m－\f(1,4)))为偶函数，其图象关于y轴对称，将该函数的图象向左平移eq \f(1,2)个单位长度即可得到函数f(x)＝ln eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋m－\f(1,4)))＝ln (x2＋x＋m)的图象，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝－eq \f(1,2)，故C正确；对于D，若m≥1，则y＝x2＋x＋m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋m－eq \f(1,4)≥eq \f(3,4)，故f(x)的值域不是R，故D错误．故选AC. 目录 * 【通性通法】 解决对数函数综合问题的策略 (1)始终牢记“对数的真数大于0”这一基本要求，这是解决对数问题的出发点． (2)善于运用对数的运算性质将对数式进行合理地化简与变形，这是研究性质的重要途径． (3)注意等价转化思想方法的合理运用，这是解决对数综合问题的关键． 目录 答案 解析 * 【巩固迁移】 8．已知函数f(x)＝lg (x2－4x－5)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[2，＋∞) D．[5，＋∞) 解析　由x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，所以函数f(x)＝lg (x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，所以a≥5.故选D. 目录 5 答案 解析 * 9．已知f(x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)，则g(x)max－g(x)min＝________． 解析　由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≤x≤9，,1≤x2≤9，,))∴1≤x≤3，∴g(x)的定义域为[1，3]，g(x)＝[f(x)]2＋f(x2)＝(1＋log3x)2＋1＋log3x2＝(log3x)2＋4log3x＋2，设t＝log3x，则0≤t≤1，则y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2在[0，1]上单调递增，∴当t＝0，即x＝1时，g(x)min＝2，当t＝1，即x＝3时，g(x)max＝7，∴g(x)max－g(x)min＝5. 课时作业 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 解析 * 一、单项选择题 1．lg 4＋2lg 5＋log28＋8eq \s\up7(\f(2,3))＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．1 解析　因为lg 4＋2lg 5＝lg 4＋lg 52＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，log28＝log223＝3，8eq \s\up7(\f(2,3))＝(23)eq \s\up7(\f(2,3))＝22＝4，所以lg 4＋2lg 5＋log28＋8eq \s\up7(\f(2,3))＝2＋3＋4＝9.故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 解析 * 2．函数f(x)＝eq \f(xlog2|x|,2x＋2－x)的部分图象大致是(　　) 解析　易知f(x)＝eq \f(xlog2|x|,2x＋2－x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(－x)＝eq \f(－xlog2|－x|,2－x＋2x)＝－eq \f(xlog2|x|,2x＋2－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除B，D；又f(2)＝eq \f(2,22＋2－2)>0，排除C.故选A. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 解析 * 3．(2023·广东三校高三联考(二))若函数f(x)＝x3ln (eq \r(x2＋2a)－x)为偶函数，则a＝(　　) A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．1 D．2 解析　易得，函数f(x)的定义域为R，因为函数f(x)＝x3ln (eq \r(x2＋2a)－x)为偶函数，且y＝x3为奇函数，故g(x)＝ln (eq \r(x2＋2a)－x)为奇函数，故g(－x)＋g(x)＝0，即ln [eq \r((－x)2＋2a)＋x]＋ln (eq \r(x2＋2a)－x)＝0，即ln (x2＋2a－x2)＝0，即2a＝1，解得a＝eq \f(1,2).故选B. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 解析 * 4．若f(x)＝lg (x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为(　　) A．[1，2) B．[1，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 解析　令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，图象的对称轴为直线x＝a，要使函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g(1)>0，,a≥1，,))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－a>0，,a≥1，,))解得1≤a<2，所以a的取值范围为[1，2)．故选A. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 解析 * 5．(2024·湖南名校高三模拟)已知a＝log32，b＝log53，c＝log85，则下列结论正确的是(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．b<c<a 解析　因为log32＝log3eq \r(3,8)<log3eq \r(3,9)＝log33eq \s\up7(\f(2,3))＝eq \f(2,3)＝log55eq \s\up7(\f(2,3))＝log5eq \r(3,25)<log5eq \r(3,27)＝log53，所以a<b；因为ln 3·ln 8<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ln 3＋ln 8,2))) eq \s\up12(2)＝(lneq \r(24))2<(ln 5)2，所以eq \f(ln 3,ln 5)<eq \f(ln 5,ln 8)，所以log53<log85，所以b<c，所以a<b<c.故选A. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 * 6．若函数f(x)＝logaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(3,2)x))(a＞0，且a≠1)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))内恒有f(x)＞0，则f(x)的单调递增区间为(　　) A．(0，＋∞) B．(2，＋∞) C．(1，＋∞) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解析 * 解析　令M＝x2＋eq \f(3,2)x，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))时，M∈(1，＋∞)，恒有f(x)＞0，所以a＞1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4))) eq \s\up12(2)－eq \f(9,16)，所以M的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，＋∞)).又x2＋eq \f(3,2)x>0，所以x＞0或x＜－eq \f(3,2)，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．故选A. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 * 7．函数f(x)的定义域为D，若满足如下两个条件：①f(x)在D内是单调函数；②存在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(n,2)))⊆D，使得f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(n,2)))上的值域为[m，n]，那么就称函数f(x)为“希望函数”．若函数f(x)＝loga(ax＋t)(a>0，且a≠1)是“希望函数”，则t的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解析 * 解析　∵函数f(x)＝loga(ax＋t)(a>0，且a≠1)是“希望函数”，∴f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(n,2)))上的值域为[m，n]．易知函数f(x)单调递增，∴f(m,2))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(loga(a＋t)＝m，,loga(aeq \s\up7(\f(n,2))＋t)＝n，,)) 即f(m,2))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋t＝am，,aeq \s\up7(\f(n,2))＋t＝an，,)) ∴m，n为方程ax－aeq \s\up7(\f(x,2))－t＝0的两个不相等的实数根，令p＝aeq \s\up7(\f(x,2))，则p2－p－t＝0，∴Δ＝1＋4t>0，－t>0，得－eq \f(1,4)<t<0.故选A. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 解析 * 8．当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，则a的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(1，2] D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) 解析　设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需在区间(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象的下方即可．当0＜a＜1时，显然不成立．当a＞1时，如图所示，要使在区间(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的图象的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，所以loga2≥1，解得1＜a≤2. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 解析 * 二、多项选择题 9．在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝loga(x－2)的图象可能是(　　) 解析　当a>1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上单调递增且其图象恒过点(0，1)，y＝loga(x－2)在(2，＋∞)上单调递增且其图象恒过点(3，0)，则B符合要求；当0<a<1时，y＝ax在(－∞，＋∞)上单调递减且其图象恒过点(0，1)，y＝loga(x－2)在(2，＋∞)上单调递减且其图象恒过点(3，0)，则D符合要求．故选BD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 解析 * 10．已知函数f(x)＝ln (e2x＋1)－x，则(　　) A．f(ln 2)＝ln eq \f(5,2) B．f(x)是奇函数 C．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 D．f(x)的最小值为ln 2 解析　f(ln 2)＝ln (e2ln 2＋1)－ln 2＝ln eq \f(5,2)，故A正确；f(x)＝ln (e2x＋1)－x＝ln (e2x＋1)－ln ex＝ln eq \f(e2x＋1,ex)＝ln (ex＋e－x)，所以f(－x)＝ln (ex＋e－x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故B错误；y＝ex＋e－x在(0，＋∞)上单调递增，因此f(x)＝ln (ex＋e－x)在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；由于f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(0)＝ln 2，故D正确．故选ACD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 log2x(满足logax(a>1)均可) 答案 解析 * 三、填空题 11．(2024·江苏名校高三联考)写出一个同时满足下列性质①②的函数为f(x)＝__________________________________． ①f(xy)＝f(x)＋f(y)；②f(x)在定义域上单调递增． 解析　loga(MN)＝logaM＋logaN，且f(x)＝logax(a>1)单调递增．故答案为log2x(满足logax(a>1)均可)． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (－∞，0) 答案 解析 * 12．若函数y＝f(x)与y＝5x互为反函数，则y＝f(x2－2x)的单调递减区间是__________________． 解析　因为y＝f(x)与y＝5x互为反函数，所以y＝f(x)＝log5x在定义域(0，＋∞)上为增函数，由x2－2x>0，得x>2或x<0，又y＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以y＝f(x2－2x)的单调递减区间是(－∞，0)． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (－∞，1] 答案 解析 * 13．已知f(x)＝ln (x2＋2x＋m)．若f(x)的值域为R，则实数m的取值范围是________________． 解析　因为f(x)的值域为R，所以x2＋2x＋m≤0有解，则4－4m≥0，解得m≤1，所以实数m的取值范围是(－∞，1]． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3 答案 解析 * 14．(2024·湖北黄冈中学高三模拟)设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，3a＋b＝18，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最大值为________． 解析　因为ax＝by＝3，所以x＝loga3，y＝logb3.又loga3·log3a＝eq \f(lg 3,lg a)·eq \f(lg a,lg 3)＝1，logb3·log3b＝eq \f(lg 3,lg b)·eq \f(lg b,lg 3)＝1，所以eq \f(1,x)＝log3a，eq \f(1,y)＝log3b.因为a>1，b>1，根据基本不等式，有3ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a＋b,2))) eq \s\up12(2)＝81，当且仅当3a＝b，即a＝3，b＝9时，等号成立，所以ab≤27，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝log3a＋log3b＝log3(ab)≤log327＝3.所以eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最大值为3. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 * 四、解答题 15．(2024·山东潍坊高三模拟)定义在(－1，1)上的函数f(x)和g(x)，满足f(x)＋g(－x)＝0，且g(x)＝logaeq \f(1＋x,2)，其中a>1. (1)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2，求f(x)的解析式； (2)若不等式f(x)>1的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，m))，求m－a的值． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解 * 解　(1)由题意知， f(x)＝－g(－x)＝logaeq \f(2,1－x)， 又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2，所以loga4＝2，即a＝2. 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝log2eq \f(2,1－x)(－1<x<1)． (2)由f(x)>1，得eq \f(2,1－x)>a， 由题意知1－x>0，所以1－eq \f(2,a)<x<1， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,a)＝－\f(1,3) ，,m＝1，,))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,2) ，,m＝1，,)) 所以m－a＝－eq \f(1,2). 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解 * 16．(2024·山东聊城高三期中)已知函数f(x)＝loga(2－ax)． (1)当x∈[0，1]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围； (2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为增函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由． 解　(1)因为a>0且a≠1，设t(x)＝2－ax， 则t(x)＝2－ax为减函数，当x∈[0，1]时，t(x)的最小值为2－a， 当x∈[0，1]时，f(x)恒有意义， 即当x∈[0，1]时，2－ax>0恒成立， 所以2－a>0，所以a<2. 又a>0且a≠1，所以实数a的取值范围为(0，1)∪(1，2)． 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解析 * (2)t(x)＝2－ax，因为a>0，所以函数t(x)为减函数． 因为f(x)在区间[1，2]上为增函数， 所以y＝logat为减函数， 所以0<a<1. 当x∈[1，2]时，f(x)的最大值为 f(2)＝loga(2－2a)＝1， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,loga(2－2a)＝1，,))即a＝eq \f(2,3). 故存在a＝eq \f(2,3)，使得函数f(x)在区间[1，2]上为增函数，并且最大值为1. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 解析 * 17．(多选)已知正实数x，y满足log2x＋logeq \f(1,2)y<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(y)，则(　　) A.eq \f(1,x)<eq \f(1,y) B．x3<y3 C．ln (y－x＋1)>0 D．2x－y<eq \f(1,2) 解析　由题意得log2x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)<log2y－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(y).设函数f(x)＝log2x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x)，显然f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，故由f(x)<f(y)，得0<x<y，故eq \f(1,x)>eq \f(1,y)，A错误；x3<y3，B正确；由x<y，得y－x＋1>1，故ln (y－x＋1)>ln 1＝0，C正确；2x－y<20＝1，故D不一定正确．故选BC. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 * 18．(多选)(2024·福建莆田第二中学高三模拟)下列关系式中正确的是(　　) A．log23>log34 B．2022lg 2023＝2023lg 2022 C．2lg 2＋2lg 5<2eq \r(2) D．ln 3＋eq \f(4,ln 3)>2ln 2＋eq \f(2,ln 2) 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解析 * 解析　对于A，log23>log22eq \r(2)＝log22eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)＝log33eq \f(3,2)＝log33eq \r(3)>log34，故A正确；对于B，由于lg 2022lg 2023＝lg 2023·lg 2022，lg 2023lg 2022＝lg 2022·lg 2023，所以lg 2022lg 2023＝lg 2023lg 2022，则2022lg 2023＝2023lg 2022，故B正确；对于C，因为lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，又lg 2≠lg 5，所以2lg 2＋2lg 5>2eq \r(2lg 2·2lg 5)＝2eq \r(2lg 2＋lg 5)＝2eq \r(2)，故C错误；对于D，2ln 2＋eq \f(2,ln 2)＝2ln 2＋eq \f(4,2ln 2)＝ln 4＋eq \f(4,ln 4)，令f(x)＝x＋eq \f(4,x)，由对勾函数的性质可知f(x)在(0，2)上单调递减，因为1＝ln e<ln 3<ln 4<ln e2＝2，所以f(ln 3)>f(ln 4)，即ln 3＋eq \f(4,ln 3)>ln 4＋eq \f(4,ln 4)，即ln 3＋eq \f(4,ln 3)>2ln 2＋eq \f(2,ln 2)，故D正确．故选ABD. 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 答案 解析 * 19．(2024·广东四校高三联考)已知函数f(x)＝lg (ax－3)的图象经过定点(2，0)，若k为正整数，那么使得不等式2f(x)>lg (kx2)在区间[3，4]上有解的k的最大值是________． 解析　由已知可得f(2)＝lg (2a－3)＝0，则2a－3＝1，解得a＝2，故f(x)＝lg (2x－3)，由2f(x)>lg (kx2)得lg (2x－3)2>lg (kx2)，因为x∈[3，4]，则kx2<4x2－12x＋9，可得k<eq \f(9,x2)－eq \f(12,x)＋4，令t＝eq \f(1,x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))，g(t)＝9t2－12t＋4，则函数g(t)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,3)))上单调递减，所以g(t)max＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝eq \f(25,16)，所以k<eq \f(25,16).因此正整数k的最大值是1. 　　　　　　　　　　　　　 R $$