第2节 基本不等式-【金版教程】2025年高考数学一轮复习解决方案课件PPT（新教材，基础版）

第二章 一元二次函数、方程和不等式 第二节　基本不等式 课标解读 考向预测 1.掌握基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a，b>0)，了解其证明过程. 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 基本不等式是高考考查的重点，基本不等式具有将“和式”转化为“积式”及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式．从近几年高考来看，基本不等式考查的内容、频率、题型难度均变化不大，2025年备考仍以选择题、解答题为主，重点关注利用基本不等式进行大小判断、与解三角形、圆锥曲线、导数等知识相结合求最值或求取值范围的问题. 目录 必备知识——强基础 考点探究——提素养 课时作业 必备知识——强基础 目录 * 1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2). (1)基本不等式成立的条件：eq \x(\s\up1(01))_________________． (2)等号成立的条件：当且仅当eq \x(\s\up1(02))_________时，等号成立． (3)其中eq \x(\s\up1(03))_________叫做正数a，b的算术平均数，eq \x(\s\up1(04))______叫做正数a，b的几何平均数． a>0，b>0 a＝b eq \f(a＋b,2) eq \r(ab) 目录 ≥ ≥ ≤ ≥ ＝ * 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2eq \x(\s\up1(05))____2ab(a，b∈R)． (2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)eq \x(\s\up1(06))______2(a，b同号)． (3)abeq \x(\s\up1(07))______eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(a，b∈R)． (4)eq \f(a2＋b2,2)eq \x(\s\up1(08))____eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为eq \x(\s\up1(09))__________． 目录 * 3．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当eq \x(\s\up1(10))_______时，和x＋y有最小值eq \x(\s\up1(11))________．(简记：积定和最小) (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当eq \x(\s\up1(12))__________时，积xy有最大值eq \x(\s\up1(13))__________．(简记：和定积最大) x＝y 2eq \r(P) x＝y eq \f(1,4)S2 目录 * 注意：(1)利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”，其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件． (2)形如y＝x＋eq \f(a,x)(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 目录 * 1．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件要一致． 2．若a>0，b>0，则eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))，当且仅当a＝b时，等号成立． 3．常见求最值的模型 模型一：mx＋eq \f(n,x)≥2eq \r(mn)(m>0，n>0，x>0)，当且仅当x＝eq \r(\f(n,m))时，等号成立； 目录 * 模型二：mx＋eq \f(n,x－a)＝m(x－a)＋eq \f(n,x－a)＋ma≥2eq \r(mn)＋ma(m>0，n>0，x>a)，当且仅当x－a＝eq \r(\f(n,m))时，等号成立； 模型三：eq \f(x,ax2＋bx＋c)＝eq \f(1,ax＋b＋\f(c,x))≤eq \f(1,2\r(ac)＋b)(a>0，c>0，x>0)，当且仅当x＝eq \r(\f(c,a))时，等号成立； 目录 * 模型四：x(n－mx)＝eq \f(mx（n－mx）,m)≤eq \f(1,m)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(mx＋n－mx,2))) eq \s\up12(2)＝eq \f(n2,4m) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m>0，n>0，0<x<\f(n,m)))，当且仅当x＝eq \f(n,2m)时，等号成立． 4．三个正数的均值不等式：若a，b，c>0，则eq \f(a＋b＋c,3)≥