拔高点突破02 柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式（十一大题型）-【上好课】2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

拔高点突破02　柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式　 目录 01 方法技巧与总结 2 02 题型归纳与总结 2 题型一：柯西不等式之直接套公式型 2 题型二：柯西不等式之根式下有正负型 3 题型三：柯西不等式之高次定求低次型 3 题型四：柯西不等式之低次定求高次型 4 题型五：柯西不等式之整式与分式型 4 题型六：柯西不等式之多变量型 5 题型七：柯西不等式之三角函数型 5 题型八：Aczel不等式 5 题型九：权方和不等式之整式与分式综合型 6 题型十：权方和不等式之三角函数型 6 题型十一：权方和不等式之杂合型 7 03 过关测试 7 1、柯西不等式（Cauchy不等式） （1）二元柯西不等式：对于任意的，都有． （2）元柯西不等式： ，取等条件：或（）． 2、Aczel不等式（反柯西不等式） 设；均为实数，或，则有．当且仅当，成比例时取等． 3、权方和不等式 （1）二维形式的权方和不等式 对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立． （2）一般形式的权方和不等式 若，，，则，当时等号成立． 题型一：柯西不等式之直接套公式型 【例1】已知且则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 【变式1-1】若，则的最小值为（    ） A．25 B．8 C． D． 【变式1-2】已知a，b，，满足，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 题型二：柯西不等式之根式下有正负型 【例2】（2024·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C．12 D．20 【变式2-1】柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·浙江·模拟预测）已知，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型三：柯西不等式之高次定求低次型 【例3】设a，b，c为正数，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【变式3-2】已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型四：柯西不等式之低次定求高次型 【例4】若实数a，b，c，d满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不对 【变式4-1】已知空间向量，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式4-2】已知，，为实数，且，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 题型五：柯西不等式之整式与分式型 【例5】（2024·高三·浙江台州·期末）已知正实数满足，则的最小值为 ． 【变式5-1】已知、、，且满足，则的最小值为 . 【变式5-2】已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型六：柯西不等式之多变量型 【例6】已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【变式6-1】已知实数a，b，c，d，e满足则e的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【变式6-2】已知，且，则的最小值是（    ） A． B． C．417 D．以上答案都不对 题型七：柯西不等式之三角函数型 【例7】函数的最大值为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【变式7-1】（2024·浙江·一模）若，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D． 【变式7-2】函数的最大值为（    ） A． B．5 C．4 D． 题型八：Aczel不等式 【例8】的最小值为 ． 【变式8-1】为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量时，有，即，当且仅当时等