拔高点突破01 集合背景下的新定义压轴解答题（四大题型）-【上好课】2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

拔高点突破01　集合背景下的新定义压轴解答题 目录 01方法技巧与总结 2 02题型归纳与总结 2 题型一：定义新概念 2 题型二：定义新运算 4 题型三：定义新性质 5 题型四：定义新背景 6 03过关测试 9 1、解答新定义型创新题的基本思路是： （1）正确理解新定义； （2）根据新定义建立关系式； （3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题； （4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果． 2、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题． 3、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的． 4、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题． 题型一：定义新概念 【典例1-1】（2024·北京顺义·二模）已知点集满足，，.对于任意点集，若其非空子集A，B满足，，则称集合对为的一个优划分.对任意点集及其优划分，记A中所有点的横坐标之和为，B中所有点的纵坐标之和为. (1)写出的一个优划分，使其满足； (2)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足； (3)对于任意点集，求证：存在的一个优划分，满足且. 【典例1-2】（2024·浙江台州·二模）设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称：为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作.若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作. 例如：对于集合，，存在一一对应关系，因此. (1)已知集合，，试判断是否成立?请说明理由； (2)证明：①； ②. 【变式1-1】（2024·江西九江·二模）定义两个维向量，的数量积，，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集. (1)求2的完美3维向量集； (2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由； (3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和. 题型二：定义新运算 【典例2-1】（2024·海南海口·一模）在计算机科学中，维数组是一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用．对于维数组，定义与的差为与之间的距离为． (1)若维数组，证明：； (2)证明：对任意的数组，有； (3)设集合，若集合中有个维数组，记中所有两元素间的距离的平均值为，证明：． 【典例2-2】（2024·浙江绍兴·二模）已知，集合其中. (1)求中最小的元素； (2)设，，且，求的值； (3)记，，若集合中的元素个数为，求. 【变式2-1】（2024·浙江嘉兴·二模）已知集合，定义：当时，把集合中所有的数从小到大排列成数列，数列的前项和为.例如：时，，. (1)写出，并求； (2)判断88是否为数列中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由； (3)若2024是数列中的某一项，求及的值. 题型三：定义新性质 【典例3-1】（2024·云南昆明·一模）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B． 设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记． (1)若，，写出Y，并求； (2)若，，求所有的总和； (3)对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）． 【典例3-2】（2024·广东江门·一模）将2024表示成5个正整数，，，，之和，得到方程①，称五元有序数组为方程①的解，对于上述的五元有序数组，当时，若，则称是密集的一组解. (1)方程①是否存在一组解，使得等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由； (2)方程①的解中共有多少组是密集的? (3)记，问是否存在最小值?若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. 【变式3-1】（2024·广东·模拟预测）已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集