7.5 正态分布-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第三册）

7.5 正态分布 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 1． 通过误差模型初步了解服从正态分布 的随机变量的特点. 2.并能通过具体的实例，借助频率直方图的几何直观性，了解正态分布的特征，了解正态密度函数的性质. 3.了解正态分布的均值、方差及含义. 4.了解 原则，能通过具体的实例求会求指定区间的概率，以及解决简单的正态分布问题. 通过本节课的学习，要求在了解正态分布的含义基础上，能解决与正态分布相关的问题，根据正态密度曲线的对称性，增减性，求特定区间的概率，相应的参数及解决简单的正态分布的应用问题. 课前预习 预习01正态曲线 正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线 函数f(x)＝ ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数． 显然对于任意x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1．我们称f(x)为 ，称它的图象为正态分布密度曲线，简称 ． 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～ N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0， 时，称随机变量X服从标准正态分布． 预习02正态曲线的特点 1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的 ． 2．曲线与x轴之间的面积为 . 3．曲线是单峰的，它关于直线 对称． 4．曲线在 处达到峰值. 5．当|x|无限增大时，曲线无限接近 轴． 6．当 一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. 7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 预习03正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈ ； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈ ； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈ . 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 知识讲解 知识点 正态分布 1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积 （如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“” 是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1. 2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：. （为常数，且），称ξ服从参数为的正态分布，用～表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线. ⑵正态分布的期望与方差：若～，则ξ的期望与方差分别为：. ⑶正态曲线的性质. 1 曲线在x轴上方，与x轴不相交. 2 曲线是单峰的，关于直线对称. 3 当时曲线处于最高点，即x＝μ处达到峰值，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线. ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； ⑥当＜时，曲线上升；当＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近. ⑦当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为，则称ξ服从标准正态分布. 即～有，求出，而P（a＜≤b）的计算则是 . 注意：当标准正态分布的的X取0时，有当的X取大于0的数时，有 .比如.则必然小于0，如图. ⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～则ξ的分布函数通 常用表示，且有. 5. ⑴“3”原则. 假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布.②确定一次试验中的取值是否落入范围.③做出判断：如果，接受统计假设. 如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设. ⑵“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布则 ξ落在内的概率为99.7％ 亦即落在之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）. 6. 正态分布的三个常用数据 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0