精品解析：福建省福州第三中学2023-2024学年高三下学期第十六次检测（三模）数学试题

福州三中2023-2024学年高三第十六次质量检测 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的展开式中的系数为，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 设是等比数列的前项和，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 某学校运动会男子100m决赛中，八名选手的成绩（单位：）分别为：，，，，，，，则下列说法错误的是（ ） A. 若该八名选手成绩的第百分位数为，则 B. 若该八名选手成绩的众数仅为，则 C. 若该八名选手成绩的极差为，则 D. 若该八名选手成绩的平均数为，则 4. 在中，，，，则的面积为（ ） A B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 6. 第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（ ） A B. C. D. 7. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 曲线是平面内与三个定点，和的距离的和等于的点的轨迹.给出下列四个结论： ①曲线关于轴、轴均对称； ②曲线上存在点，使得； ③若点在曲线上，则的面积最大值是1； ④曲线上存在点，使得钝角. 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ②③④ B. ②③ C. ③④ D. ①②③④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 10. 已知是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则与均为实数 B. 若与均为实数，则 C. 若均为纯虚数，则为实数 D. 若为实数，则均为纯虚数 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则的最小值为__________． 13. 已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是____________． 14. 已知棱长为8正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）当时，求的图象在点处的切线方程； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值. 17. 如图，在正四棱台中，. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的正弦值. 18. 某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求. 性别 就餐区域 合计 南区 北区 男 33 10 43 女 38 7 45 合计 71 17 88 （1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？ （2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为，；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为，，. 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 （ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率； （ⅱ）求第（）天他去甲餐厅用餐的概率. 附：，； 19. 已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质. （