7.3.2 离散型随机变量的方差-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第三册）

7.3.2 离散型随机变量的方差 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 1.通过具体实例，理解离散型随机变量分布列的方差; 2.能解决与离散型随机变量相关的数学问题与实际问题中与方差的求解问题. 3.能解决一些稳定性的简单问题与决策性问题. 通过本节课的学习,要求掌握离散型随机变量的方差、标准差的求解，能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议. 课前预习 预习01离散型随机变量的方差 1．定义 设离散型随机变量X的分布列如下表所示． X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 我们称D(X)＝ ＝为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记作 ． 2．意义 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的 ，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越 ；方差或标准差越大，随机变量的取值越 ． 预习02离散型随机变量方差的计算 D(X＋b)＝ ，D(aX)＝ ，D(aX＋b)＝ ． 知识讲解 知识点01 离散型随机变量的方差 （1）离散型随机变量的方差的概念 一般地，若离散型随机变量的概率分布列为： … … … … 则称 为随机变量的方差，有时也记为. 称为随机变量的标准差. （2）离散型随机变量的方差的深层理解 ①离散型随机变量的方差是个数值，是随机变量的一个重要特征数. 描述了()相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量的取值与其均值的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定性和波动、集中与离散程度，越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近. ②标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方. ③均值与方差的关系 在实际问题中仅靠均值还不能全面地说明随机变量的特征，还必须研究随机变量的集中与离散程度，这就需要求出方差. ④方差公式的变形： ⑤方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定非负. （3）两点分布的方差公式 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么:. 1 0 （4）方差的性质 若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知. 知识点02样本方差与离散型随机变量方差的比较 （1）样本方差 样本数据；；；；记 均值：，其中. 方差： （2）离散型随机变量方差 离散型随机变量的分布列 … … … … 均值 方差： 知识点03求离散型随机变量的方差步骤 (1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值. (2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤. (3)求出离散型随机变量取每个值的概率. (4)写出离散型随机变量的分布列. (5)利用均值的定义求. (6)利用求方差. 其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义. 【大招总结】 大招1求离散型随机变量的方差、标准差 求离散型随机变量方差的步骤 ①理解随机变量X的意义，写出X的所有取值； ②求出X取每个值的概率； ③写出X的分布列； ④计算E(X)； ⑤计算D(X)． 大招2离散型随机变量方差的性质 线性关系的方差计算：若η＝aξ＋b，则D(η)＝a2D(ξ)． 大招3 方差的应用 均值、方差在决策中的作用 (1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高． (2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定． (3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断． 大招4分布列、均值、方差的综合应用 处理综合问题的方法 第一步：确定事件间的关系，是互斥、对立还是相互独立． 第二步：要依据事件间的关系，选择相应的概率公式，计算相应事件的概率． 第三步：列分布列，并计算均值及方差． 典型例题 题型01求离散型随机变量的方差、标准差 【例1】已知随机变量X的分布列如表所示： X 1 3 5 P 0.4 0.1 a 则a＝________，D(X)＝________. 答案　0.5　3.56 【解析】根据随机变量分布列的性质，知0.4＋0.1＋a＝1，所以a＝0.5， E(X)＝0.4＋0.3＋2.5＝3.2， D(X)＝2.22×0.4＋0.