7.3.2离散型随机变量的方差课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.2 离散型随机变量的方差 复习回顾 1、离散型随机变量的数学期望 数学期望是反映离散型随机变量的平均水平. 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn. 2、数学期望的性质 E(aX+b)=aE(X)+b 复习回顾 3、样本方差 设在一组数据x1，x2，…，xn中, 是它们的平均数，那么 叫做这组数据的方差. 4、均值的意义 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”. 因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小. 所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 自主探究 问题2、从两名同学中挑选出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X 和Y 的分布列为 如何评价这两名同学的射击水平? X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 通过计算可得，E(X)=8，E(Y)=8. 因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平. 除平均中靶环数以外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度. 自主探究 下图分别是X和Y的概率分布图. X P 10 9 8 7 0 6 0.1 0.2 0.3 0.4 Y P 10 9 8 7 0 6 0.1 0.2 0.3 0.4 比较两个图形，哪一名同学的射击成绩更稳定? 乙同学的射击成绩更稳定 自主探究 思考：怎样定量刻画随机变量的离散程度？ (1)样本的离散程度是用哪个量刻画的？ (2)能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定性呢？ 样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的. X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 设离散型随机变量X的分布列如表所示. 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2……(xn－E(X))2. 因为X取每个值的概念不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概念的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度. 概念讲解 离散型随机变量方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)， 并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X). 则称D(X)=(x1－E(X))2p1+(x2－E(X))2p2+···+(xn－E(X))2pn 概念讲解 D(X)=(x1－E(X))2p1+(x2－E(X))2p2+···+(xn－E(X))2pn 方差： 标准差： 随机变量的方差和标准差都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 自主探究 问题2、从两名同学中挑选出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X 和Y 的分布列为 分别计算这两名同学的方差和标准差，并用此评价他们的射击水平. X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 因为D(Y)<D(X)，所以随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. 概念讲解 在方差计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化 即D(X)=(x1－E(X))2p1+(x2－E(X))2p2+···+(xn－E(X))2pn =x12p1+x22p2+···+xn2pn－(E(X))2 =E(X2)－(E(X))2 例题解析 1、掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差. 法一：解：抛掷散子所得点数X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 P 例题解析 1、掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差. 法二：解：随机变量X的分布列为 拓展： 随堂练习 1、已知随机变量X的分布列 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求D(X)和σ(X). 解：∵E(X)=0×0.1+1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2 ∴D(X)