江苏省苏锡常镇四市2023-2024学年高三下学期教学情况调研（二）数学试卷

【新结构】（苏锡常镇）2023-2024学年苏锡常镇高三教学情况调研（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线C：经过点，则C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A．9 B． C．4 D．6 5．羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛．规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判．每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判．如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为（ ） A． B． C． D． 6．已知非零向量，，若，则（ ） A．-1 B． C． D． 7．已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过E的右焦点且斜率为1的直线l交E于A，B两点，且原点O到直线l的距离等于E的短轴长，则E的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．正三棱锥和正三棱锥共底面ABC，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点P和点Q在平面ABC的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角分别为，，则当最大时，（ ） A． B． C．-1 D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的有（ ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 10．已知定义在R上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有（ ） A．若2为的周期，则为奇函数 B．若为奇函数，则2为的周期 C．若4为的周期，则为偶函数 D．若为偶函数，则4为的周期 11．在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且，设，，则（ ） A．， B．为定值 C．的最小值50 D．的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆O：，过点的直线l交圆O于A，B两点，且，则满足上述条件的一条直线l的方程为________． 13．设钝角△ABC三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则________． 14．如果函数在区间上为增函数，则记为，函数在区间上为减函数，则记为．如果，则实数m的最小值为________；如果函数，且，，则实数________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分） 如图，直三棱柱的体积为1，，，． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 16．（本小题15分） 某班统计了全班50名同学在某一周内到图书馆借阅次数的相关数据，结果如下表： 借阅次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 2 5 3 5 5 1 2 2 25 女生人数 4 4 5 5 3 2 1 1 25 合计人数 6 9 8 10 8 3 3 3 50 若将该周内到图书馆借阅次数不少于3次的学生，称为“爱好阅读生”；少于3次的学生称为“一般阅读生”． （1）请完成以下2×2列联表；问：能否有90%的把握认为爱好阅读与性别有关？ 性别 阅读 合计 一般 爱好 男生 女生 合计 附：，． 0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 （2）班主任从该周内在图书馆借阅次数为0的同学中，一次性随机抽取3人了解有关情况，求抽到的男生人数X的概率分布和数学期望． 17．（本小题15分） 已知函数． （1）当时，证明：； （2）若在区间上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围． 18．（本小题17分） 已知F为抛物线C：的焦点，点A在C上，．点，M，N是抛物线上不同两点，直线PM和直线PN的斜率分别为，． （1）求C的方程； （2）存在点Q，当直线MN经过点Q时，恒成立，请求出满足条件的所有点Q的坐标； （3）对于（2）中的一个点Q，当直线MN经过点Q时，存在最小值，试求出这个最小值． 19．（本小题17分） 如图所示数阵，第行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为．规定：． ………………… （1）试判断每一行的最后两个数的大小关系，并证明你的结论； （2）求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后