8.6.1 直线与直线垂直 课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6 空间直线、平面的垂直 第八章 立体几何初步 8.6.1 直线与直线的垂直 一 二 三 学习目标 理解异面直线所成角的定义，并能做出异面直线的角 理解两个角垂直的垂直的定义 能求简单的异面直线所成的角，以及能证明两条直线垂直 学习目标 复习回顾 空间两条直线的位置关系 平行直线 共面直线 异面直线 相交直线 不同在任何一个平面内，没有公共点． 在同一平面内，没有公共点． 在同一平面内，有且只有一个公共点． 在初中我们已经研究了平行直线和相交直线. 本节我们主要研究异面直线，首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系. 新课导入 问题1 平面中,两条相交直线形成几个角？ 两直线夹角的取值范围是多少？ 平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度． 图中的角θ即为直线a与直线b的夹角． 范围： 规定：如果两条直线平行或重合，它们的夹角为 0. 思考 空间中两条直线所成角又该如何定义？它的范围又是多少？ 观察 如图示, 在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗? 如果不同，如何表示这种差异呢? 一条直线相对于另一条直线的倾斜程度不同 用角度来表示这种差异 新知探究 如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,我们把直线a′，b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 追问 直线a、b所成角的大小与点O的位置有关吗？ 无关. 空间问题 平面问题 概念生成 异面直线所成的角 为什么？ 只与a，b的相互位置有关 如果两条异面直线所成的角为直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b. 规定 如果两条直线平行或重合，它们的夹角为 0. 概念生成 两条异面直线所成的角θ的取值范围：_______________． 空间两条直线所成的角θ的取值范围：_______________． 巩固练习 课本P148 1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”. (1) 如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直. ( ) (2) 垂直于同一条直线的两条直线平行. ( ) √ × 2. 如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'的各条棱所在直线中， (1) 与直线AB垂直的直线有_____条； (2) 与直线AB异面且垂直的直线有______条； (3) 与直线AB和A'D'都垂直的直线有______条； (4) 与直线AB和A'D'都垂直且相交的直线是直线________. B D C A' B' C' D' A 8 4 4 AA′ 例1 如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′. (1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ (2)求直线BA′与CC′所成角的大小. (3)求直线BA′与AC所成角的大小. 典例解析 下底面有：AB，AD，BC，CD， (1)上底面有：A′B′，A′D′，B′C′，C′D′， 解： (2) 在正方体ABCD-A′B′C′D′中, ∵CC′∥BB′, ∴∠B′BA为直线BA′与CC′所成的角. 而∠B′BA=45°. ∴直线BA′与CC′所成角的大小为45°. (3) 连接A′C′, BC′. ∴∠BA′C′为直线BA′与AC所成的角. 在正方体ABCD-A′B′C′D′中，△A′BC′是等边三角形， ∴∠BA′C′ =60°， ∴直线BA′与AC所成的角等于60°. 例2 长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值. 解法一（平移法）： 解法二（补形法）： A B C D A1 B1 C1 D1 O M A B C D A1 B1 C1 D1 E F E1 F1 1 2 2 典例解析 ∠A1C1E(或补角)是直线A1C1与BD1所成的角 ∴直线A1C1与BD1所成的角的余弦值为 ∠AOM(或补角)是