7.2 离散型随机变量及其分布列-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第三册）

7.2 离散型随机变量及其分布列 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 1. 通过具体案例，了解离散型随机变量的 概念，理解随机变量的分布列及其性质； 2. 通过具体案例，了解两点分布的概念及 特点. 3. 会求离散型随机变量的分布列及两点 分布列的相关量. 通过本节课的学习，要求会求简单应用问题中的离散型随机变量的分布列，能应用分布列的相关性质求问题中的相关量，会应用两点分布的特点解决与两点分布有关的问题. 课前预习 预习01　离散型随机变量的概念 (1)随机变量概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有 的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． (2)离散型随机变量：可能取值为 或可以 的随机变量，我们称为离散型随机变量. 通常用 表示随机变量，用 表示随机变量的取值． 预习02 离散型随机变量的分布列 1．离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率 P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n 为X的概率分布列，简称分布列．离散型随机变量的分布列也可以用 表示，还可以用 表示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 2.两点分布 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如下表所示 X 0 1 P p 我们称X服从 分布或 分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．实际上，X为在一次试验中成功(事件A发生)的次数(0或1). 知识讲解 知识点 1. 随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. 2．离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. 【特别注意】离散型随机变量的特征： (1)可以用数值表示； (2)试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值； (3)试验结果能一一列出． 3. 若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列． 【性质】pi≥0(i＝1，2，…，n)；②pi＝1． 【特别注意】分布列的性质及其应用 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数． (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式． 4. 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示． X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． 【特别注意】随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是． 【大招总结】 大招1 离散随机变量的概念辨析 判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果； (2)将随机试验的结果数量化； (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． 大招2求离散型随机变量的分布列 1、求离散型随机变量的分布列关键有三点 (1)随机变量的取值． (2)每一个取值所对应的概率． (3)用所有概率之和是否为1来检验． 2、写离散型随机变量的分布列的步骤 (1)找：理解并确定的意义，找出随机变量X的所有可能的取值() (2)求：借助概率的有关知识求出随机变量X取每一个值的概率()注意应用计数原理、古典概型等知识 (3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质. 注意：写出分布列时要注意将化为最简分式形式，但是在利用检验分布列是否正确时可利用化简前的分式结果. 大招3 分布列的性质及应用 分布列的性质及其应用 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数． (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式． 典型例题 题型01离散随机变量的概念辨析 【例1】指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由． (1)从10张已编好号码的卡片(