专项10 易错重难专练～专项11 期末综合新颖题-【追梦之旅·期末真题篇】2023-2024学年八年级数学下册（北师大版 郑州专用）

专项 10 　 　 　 　 　郑州专版·八年级数学·下册　 第 1 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 2 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 3 页 追梦专项十　 易错重难专练 类型 1　 三角形的证明 􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀦠 􀦠 􀦠􀦠 常考点　 线段的垂直平分线的尺规作图的有关运用(3 题) 易错点　 忽略分类讨论出错(1,5,6 题) 重难点 1　 含 30°角的直角三角形的性质(2 题) 重难点 2　 “角平分线+平行线”模型的应用(4 题) 1. 等腰三角形的一个角是 40°,则它的顶角是(　 　 ) A. 40°　 　 　 　 B. 70°　 　 　 　 C. 100°　 　 　 　 D. 40°或 100° 2. 如图所示,在△ABC 中,AB = AC = 8,∠BAC = 120°,D 是 BC 的中 点,连接 AD,DE⊥AB,垂足为 E,则 AE 的长为(　 　 ) A. 4 B. 6 C. 2 D. 1 第 2 题图 　 　 第 3 题图 　 　 第 4 题图 3. 如图,在△ABC 中,按以下步骤作图:①分别以点 B 和点 C 为圆 心,以大于 1 2 BC 的长为半径作弧,两弧相交于点 M 和点 N;②作 直线 MN 交边 AB 于点 E. 若 AC= 5,BE= 4,∠B= 45°,则 AB 的长 为(　 　 ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 如图,在△ABC 中,AB= 7,AC= 5,BC = 6,∠ABC 和∠ACB 的平分 线相交于点 D,过点 D 作 BC 的平行线交 AB 于点 E,交 AC 于点 F. 则△AEF 的周长为(　 　 ) A. 9 B. 11 C. 12 D. 13 5. 【易错题】等腰三角形的周长是 23 cm,一边长为 11 cm, 则它的腰长为(　 　 )cm. A. 6 B. 11 C. 11 或 6 D. 无法确定 6. 已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40°,则这个等腰三角形顶角的度数为　 　 　 　 . 类型 2　 一元一次不等式与一元一次不等式组 􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀦠 􀦠 􀦠􀦠 常考点 1　 不等式的基本性质(1、6 题) 常考点 2　 由不等式(组)的解集确定参数的取值范围(4,5 题) 易错点　 在数轴上表示不等式组的解集时弄错等号的位置(2 题) 重难点　 一元一次不等式与一次函数的结合(3 题) 1. 若 a>b,则下列式子一定成立的是(　 　 ) A. 3a>-3b B. am2 >bm2 C. 1 3 a-1> 1 3 b-1 D. a-2<-2+b 2. 不等式组 x-2≤0 x+1>0{ 的解集在数轴上表示正确的是(　 　 ) A. B. C. D. 3. 如图,一次函数 y1 = x+b 与一次函数 y2 = kx + 3 的图象交于点 P(1,2),则关于不等式 x+b>kx+3 的解集是(　 　 ) A. x>0 B. x>1 C. x<1 D. x<0 4. 若关于 x 的一元一次不等式组 2x-1>3(x-2) x<m{ 的解集是 x<5,则 m 的取值范围是(　 　 ) A. m≥5 B. m>5 C. m≤5 D. m<5 5. 已知关于 x 的不等式组 2x-a>0 1+2x≤7{ 的整数解共有 5 个,则 a 的取值 范围为(　 　 ) A. -4≤a≤-2 B. -4<a≤-2 C. -4≤a<-2 D. -4<a<-2 6. 已知关于 x 的不等式(1-a) x>a-1 的解集为 x<-1,则 a 的取值 范围是　 　 　 　 　 　 . 类型 3　 图形的平移与旋转 􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀦠 􀦠 􀦠􀦠 常考点 1　 中心对称图形的识别(1 题) 常考点 2　 关于原点对称的点的坐标特征(2 题) 常考点 3　 平移的性质的应用(4 题) 易错点　 旋转的性质的应用(3,5 题) 1. 昌平,取“昌盛平安”之意,自西汉设县以来距今已有 2 000 多年. 期 间辖区内修建了众多的古今建筑. 下列是北京市昌平区的四个建筑 图片,其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(　 　 ) A. 　 银山塔林 B. 南环大桥 C. 昌平公园弘文阁 D. 十三陵牌坊 2. 如果点 P1(a,3)和 P2(-4,b)关于原点对称,则 a+b 的值为(　 　 ) A. 1 B. -1 C. 7 D. -7 3. 如图,在△ABC 中,∠ABC = 90°,∠C = 50°,将此三角形绕点 B 沿 逆时针方向旋转后得到△A′BC′,若点 C′恰好落在线段 AC 上, AB、A′C′交于点 D,则∠A′DB 等于(　 　 ) A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 第 3 题图 　 　 　 　 　 第 4 题图 4. 如图,将△ABC 沿着 BC 方向平移得到△DEF,使得点 E 为 BC 中点. 若△ABC 的周长是 12,BC=4,则四边形 ABFD 的周长为(　 　 ) A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 5. 【创新题】(郑州)如图是两个完全重合的长方形,将其中一个始 终保持不动,另一个长方形绕其对称中心按逆时针方向进行旋 转,第一次旋转后得到图①,第二次旋转后得到图②,…,则第 2 022 次旋转后得到的图形与图①~ ④中相同的是(　 　 ) A. 图① B. 图② C. 图③ D. 图④ 郑州专版·八年级数学·下册　 第 4 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 5 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 6 页　 　 　 　 专项 10 类型 4　 因式分解 􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀦠 􀦠 􀦠􀦠 常考点 1　 判断一个等式由左到右的变形是不是因式分解(1 题) 常考点 2　 因式分解(4,5 题) 易错点 1　 因式分解不彻底导致出错(3 题) 易错点 2　 对完全平方式不理解导致漏解(2 题) 1. 下列各式中,从左到右的变形是因式分解的是(　 　 ) A. (x+3)(x-3)= x2 -9 B. x3 -1 = x(x2 - 1 x ) C. x2 -3x-4 = x(x-3) -4 D. x2 -4x+4 = (x-2) 2 2. 若 4x2 -2kx+1 是完全平方式,则常数 k 的值为(　 　 ) A. 4 B. 2 C. ±4 D. ±2 3. 王林是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信 息:x-1,a-b,3,x2 -1,a,x+1 分别对应六个字:南,爱,我,数,学, 河,现将 3a(x2 -1) -3b(x2 -1)因式分解,结果呈现的密码信息可 能是(　 　 ) A. 我爱数学 B. 爱河南 C. 河南数学 D. 我爱河南 4. (四川)若△ABC 的三边 a、b、c 满足 a2c2 -b2c2 = a4 -b4,则△ABC 的形状为(　 　 ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形 5. 先阅读下列材料,再解答下列问题: 材料:因式分解:(x+y) 2 +2(x+y) +1. 解:将“x+y”看成整体,设 x+y=m,则原式=m2 +2m+1 = (m+1) 2 . 再将 x+y=m 代入,得原式= (x+y+1) 2 . 上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用 的一种思想方法. 请你写出下列因式分解的结果: (1)因式分解:1-2(x-y) +(x-y) 2 = 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)因式分解:25(a-1) 2 -10(a-1) +1 = 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (3)因式分解:(y2 -4y)(y2 -4y+8) +16 = 　 　 　 　 　 　 　 　 . 类型 5　 分式与分式方程 􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀦠 􀦠 􀦠􀦠 常考点　 分式方程的应用(6 题) 易错点　 忽略分式的分母不为 0 而致错(1 题) 重难点 1　 分式的运算及性质(2,3 题) 重难点 2　 分式方程的解法及根据特殊解求参数(4,5 题) 1. 若分式 x 2 -1 x2 +x 的值等于 0,那么 x 的值等于(　 　 ) A. 1 B. 1 或-1 C. -1 D. 0 或-1 2. 下列计算结果正确的是(　 　 ) A. (3x 2y ) 2 = 3x 2 2y2 B. 1 2m + 1 m = 2 3m C. 2m 9n2 ·3n 4m = n 6 D. 1 3mn ÷2n 2 m = 1 6n3 3. (山东期末)把分式 x x+y 中的 x,y 都扩大 5 倍,则分式的值(　 　 ) A. 扩大 5 倍 B. 扩大 10 倍 C. 缩小一半 D. 不变 4. 若分式方程 2+1 -kx x-2 = 1 2-x 无解,则 k 的值为(　 　 ) A. ±1 B. 2 C. 1 或 2 D. -1 或 2 5. 【新定义】对于实数 a,b 定义一种运算“※”,规定 a※b= 1 a-b2 ,如 1※3 = 1 1-32 = - 1 8 ,则方程 x※( -2)= 2 x-4 - 3 x 的解是(　 　 ) A. x= 4 B. x= 5 C. x= 6 D. x= 7 6. 【情境题】(江苏二模)欧拉曾经提出过一道问题:甲、乙两个农 妇一共带着 100 个鸡蛋去市场卖,两人蛋数不同,卖得的钱数相 同,于是甲农妇对乙农妇说:“如果你的鸡蛋换给我,我的单价不 变,可以卖得 15 个铜板. ”乙农妇回答道:“你的鸡蛋如果换给 我,我单价不变,就只能卖得20 3 个铜板. ” 问两人各有多少个鸡 蛋? 设甲农妇有 x 个鸡蛋,则根据题意可以列出方程(　 　 ) A. 15x 100-x = 20(100-x) 3x B. 20x 3(100-x) = 15(100-x) x C. 15 100-x = 20 3x D. 15x 100-x = 3x 20(100-x) 类型 6　 平行四边形 􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀦠 􀦠 􀦠􀦠 常考点 1　 多边形的相关应用(2 题) 常考点 2　 平行四边形的判定(1 题) 易错点 1　 平行四边形的性质及应用(3 题) 易错点 2　 三角形的中位线(4 题) 易错点 3　 不注意分情况讨论,导致漏解(5 题) 1. 下列条件中,不能判定四边形是平行四边形的是(　 　 ) A. 两组对边分别相等 B. 对角线互相垂直 C. 两组对角分别相等 D. 对角线互相平分 2. 下列正多边形瓷砖中,若仅用一种瓷砖铺地面,则不能将地面密 铺的是(　 　 ) A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正六边形 D. 正九边形 3. 在▱ABCD 中,∠ABC 和∠BCD 的平分线交于 AD 边上的一点 E, 且 BE= 8,CE= 6,则 AB 的长为(　 　 ) A. 5 B. 8 C. 10 D. 12 第 3 题图 　 　 第 4 题图 　 　 第 5 题图 4. 如图,四边形 ABCD 中,∠A= 90°,AB= 12,AD= 5,点 M、N 分别为 线段 BC、AB 上的动点,点 E、F 分别为 DM、MN 的中点,则 EF 的 长度可能为(　 　 ) A. 2 B. 2. 3 C. 4 D. 7 5. 如图,在平行四边形 ABCD 中,AB>AD,按以下步骤作图:①以点 A 为圆心,小于 AD 的长为半径画弧,分别交 AD、AB 于点 E、F;② 分别以点 E、F 为圆心,大于 1 2 EF 的长为半径画弧,两弧交于点 G;③作射线 AG 交 CD 于点 H. 若点 H 恰好分边 DC 为 1 ∶2两部 分,当 AB= 3 时,平行四边形 ABCD 的周长为(　 　 ) A. 8　 　 　 B. 10　 　 　 C. 4 或 5　 　 　 D. 8 或 10 专项 11 　 　 　 　 　郑州专版·八年级数学·下册　 第 1 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 2 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 3 页 追梦专项十一　 期末综合新颖题 一、选择题 1. 徽章交换是现代奥林匹克运动会特有的文化活动. 一枚小小的 徽章不仅是参与奥运盛会的证明,更是交流奥林匹克精神与世 界文化的小窗口. 在 2022 年北京冬奥会上徽章交换依然深受欢 迎. 下列徽章图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的 是(　 　 ) A. 　 　 B. 　 　 C. 　 　 D. 2. 近年来,高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目, 如图,A,B,C 三地都想将高铁站的修建项目落户在当地,但是, 国资委为了使 A,B,C 三地的民众都能享受高铁带来的便利,决 定将高铁站修建在到 A,B,C 三地距离都相等的地方,则高铁站 应建在(　 　 ) A. AB,BC 两边垂直平分线的交点处 B. AB,BC 两边高线的交点处 C. AB,BC 两边中线的交点处 D. ∠B,∠C 两内角的平分线的交点处 3. 【跨学科试题】已知并联电路中总电阻 R 与 R1、R2 关系式是 1 R = 1 R1 + 1 R2 ,若 R= 6 Ω,R1 = 3R2,则 R1、R2 的值分别是(　 　 ) A. R1 = 45 Ω,R2 = 15 Ω B. R1 = 24 Ω,R2 = 8 Ω C. R1 = 9 2 Ω,R2 = 3 2 Ω D. R1 = 2 3 Ω,R2 = 2 9 Ω 4. 生活中,我们所见到的地面、墙面、服装面料等,常常是由一种或 几种性质相同的图形拼接而成的. 像这样的用形状、大小完全相 同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙,不重叠 地铺成一片,就是平面图形的镶嵌. 如果选用两种几何图形镶嵌 整个地面,下列哪种组合能镶嵌成一个平面图形(　 　 ) A. 正三角形和正五边形 B. 正方形和正九边形 C. 正方形和正八边形 D. 正五边形和正六边形 5. 老师布置了任务:过直线 AB 上一点 C 作 AB 的垂线. 在没有直角 尺的情况下,嘉嘉和淇淇利用手头的学习工具给出了如图所示 的两种方案,下列判断正确的是(　 　 ) 方案Ⅰ ①利用一把有刻度的 直尺在 AB 上量出 CD = 30 cm. ② 分 别 以 D, C 为 圆 心,以 50 cm 和 40 cm 为半径画圆弧,两弧相 交于点 E. ③作直线 CE,CE 即为 所求的垂线. 方案Ⅱ 取一根笔直的木棒,在木棒上标 出 M,N 两点. ①使点 M 与点 C 重合,点 N 对应 的位置标记为点 Q. ②保持点 N 不动,将木棒绕点 N 旋转,使点 M 落在 AB 上,将旋转 后点 M 对应的位置标记为点 R. ③将 RQ 延长,在延长线上截取线 段 QS=MN,得到点 S. ④作直线 SC,SC 即为所求直线. A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都不可行 D. Ⅰ、Ⅱ都可行 二、填空题 6. 我国古代著作《四元玉鉴》中,记载了一道“买椽多少”问题,题 目是:六贯二百一十钱,倩人去买几株椽. 每株脚钱三文足,无钱 准与一株椽. 其大意是:请人代买一批椽,这批椽的价钱为 6 210 文,每株椽的运费是 3 文. 如果少买一株椽,那么所买的椽的运 费恰好等于一株椽的价钱,问 6 210 文能买多少株椽? 设 6 210 文能买 x 株椽,根据题意可列方程为　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 7. 如图,足球的表面是由正五边形和正六边形拼接而成,其中黑皮 的正五边形有 12 块,白皮的正六边形有 20 块. 如图,足球图片中 的一块黑色皮块的内角和是　 　 　 　 　 . 第 7 题图 　 　 　 第 8 题图 8. 定义:我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的 比值称为三角形某边的 “ 中偏度值” . 如图,在 Rt △ABC 中, ∠ACB= 90°, AC = 4, BC = 3, 则 △ABC 中 AB 边的 “ 中偏度 值”为　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 三、解答题 9. 【传统文化】传统的篆刻艺术有着独特的形式美. 为了使学生领 略篆刻艺术深厚的文化底蕴,某中学美术老师计划从某网店为 学生购买篆刻用具:刻刀和石料,花费分别是 1 400 元和 700 元, 据了解刻刀的单价是石料单价的 1. 4 倍,并且订购刻刀的数量 比石料的数量多 30. (1)求每把刻刀和每块石料各多少元? (2)美术老师计划一次购买刻刀和石料的数量和为 60,且刻刀购 买数量不少于石料购买数量的一半,经过与网店沟通,该网店对 刻刀和石料均可八折优惠,那么,如何设计购买方案才能使花费 最少? 最少花费多少钱? 10. 下面是小明同学设计的“已知一组邻边构造平行四边形”的尺 规作图过程. 已知:如图,线段 AB,BC. 求作:平行四边形 ABCD. 作法: ①连接 AC,作线段 AC 的垂直平分线,交 AC 于点 O; ②连接 BO 并延长,在其延长线上截取 OD=OB; ③连接 AD,CD. 则四边形 ABCD 即为所求作的平行四边形. (1)请你使用直尺和圆规,帮助小明补全尺规作图过程(保留作 图痕迹); (2)证明上述作法所得的四边形 ABCD 是平行四边形. Rt△OCH 中,OC = 8,∠OCB = 30°,∴ OH= 1 2 OC = 4,∴ CH = OC2 -OH2 = 4 3 . 在 Rt△OBH 中,由 OH= 4,∠OBC = 45°,得 OH = BH = 4,∴ BC = BH+ CH= 4+4 3 ,∴ EF= 1 2 BC= 2+2 3 . 16. 解:(1)选择条件①∠ADB= ∠CBD,四边形 ABCD 是平行四边形,理由如下:∵ ∠ADB = ∠CBD,∴ AD∥BC,∴ ∠DAE = ∠BCF. ∵ DE⊥AC,BF⊥AC, ∴ ∠AED = ∠CFB = 90°. 在△ADE 和△CBF 中, ∠DAE= ∠BCF,∠AED = ∠CFB,DE =BF,∴ △ADE ≌△CBF(AAS),∴ AD=BC. 又∵ AD∥BC,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形;(答案不唯一) (2)DE= 12 13 13 . 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平 行四边形,∴ OA = 1 2 AC = 2 13 ,OD = 1 2 BD = 4. ∵ BD⊥AD,∴ ∠ADB = 90°. 由勾股定理得 AD = OA2 -OD2 = 6. ∵ S△ADO = 1 2 AD·OD = 1 2 OA· DE,∴ DE=AD·OD OA = 6×4 2 13 = 12 13 13 . 17. 解:(1)若点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上,则 AP =AQ,∵ AP= t,AQ= 12-3t,∴ t= 12-3t,解得 t = 3, 即当 t= 3 时,点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上; (2)存在;若∠APQ= 90°,∵ ∠A= 60°,∴ ∠AQP = 30°,∴ AQ = 2AP, ∴ 12 - 3t = 2t,解得 t = 12 5 ;若 ∠AQP= 90°,∵ ∠A = 60°,∴ ∠APQ = 30°,∴ AP = 2AQ,∴ t = 2(12-3t),解得 t = 24 7 ,∴ 当 t = 12 5 或 24 7 时,△APQ 是直角三角形; (3)当 t= 1 时,AP= 1,CQ = 3,AQ = 12-3 = 9,过点 P 作 PD⊥AC 于点 D,过点 B 作 BE⊥AC 于点 E, ∴ ∠ADP = ∠AEB = 90°,∵ ∠A = 60°,∴ ∠APD = ∠ABE= 30°,∴ AD = 1 2 AP = 1 2 ,AE = 1 2 AB = 2,∴ PD= AP2 -AD2 = 3 2 ,BE = AB2 -AE2 = 2 3 ,∴ S四边形 BPQC =S△ ABC-S△ APQ = 1 2 ×12×2 3 - 1 2 ×9× 3 2 = 12 3 - 9 4 3 = 39 4 3 . 18. 解:(1)PM=PN　 PM⊥PN (2) △PMN 是等腰直角三角形. 理由:连接 CE, BD,由旋转知,∠BAD = ∠CAE,∵ AB = AC,AD = AE,∴ △ABD≌△ACE( SAS),∴ ∠ABD = ∠ACE, BD=CE,利用三角形的中位线得,PN = 1 2 BD,PM = 1 2 CE,PM∥CE,PN∥BD,∴ PM = PN,∠DPM = ∠DCE, ∠PNC = ∠DBC, ∵ ∠DPN = ∠DCB + ∠PNC = ∠DCB + ∠DBC, ∴ ∠MPN = ∠DPM + ∠DPN= ∠DCE+∠DCB+∠DBC = ∠BCE+∠DBC = ∠ACB+∠ACE+∠DBC= ∠ACB+∠ABD+∠DBC = ∠ACB + ∠ABC, ∵ ∠BAC = 90°, ∴ ∠ACB + ∠ABC= 90°,∴ ∠MPN= 90°,∴ △PMN 是等腰直 角三角形; (3) △PMN 面积最大值为 9 4 . 　 【解析】若 DE = 2,BC= 4,在 Rt△ABC 中,AB = AC,BC = 4,∴ AB = 2 2 ,同理 AD= 2 ,由(2)知,△PMN 是等腰直角 三角形,PM =PN = 1 2 BD,∴ BD 最大时 PN 最大, △PMN 面积最大,∴ 点 D 在 BA 的延长线上时, BD 最大,∴ BD = AB+AD = 3 2 ,∴ PN = 3 2 2 ,∴ S△ PMN最大 = 1 2 PN2 = 1 2 ×( 3 2 2 ) 2 = 9 4 . 19. 解:(1) ∵ AD∥BC,∴ 当四边形 PQCD 为平行四 边形时,则 PD=CQ,∴ 6-x= 2x,解得 x= 2,∴ x= 2 时,四边形 PQCD 变为平行四边形; (2)由题意知,AP= tcm,∴ PD= (6-t)cm,当以 P, D,Q,B 四点组成的四边形是平行四边形时,PD= BQ,当 0<t<3 时,BQ= (6-2t)cm,∴ 6-t= 6-2t,解 得 t= 0(舍去);当 3<t≤6 时,BQ = (2t-6) cm,∴ 2t-6 = 6-t,解得 t= 4. 综上所述:当 t = 4 时,以 P, D,Q,B 四点组成的四边形是平行四边形. 20. 解:(1) 在 Rt△ABC 中,∠C = 30°,∴ ∠A = 90° - 30° = 60°,AC= 2AB= 16. ∵ △PAF 是等边三角形, ∴ AF=AP,即 8-t= 2t,t = 8 3 . ∴ 当 t = 8 3 时,△PAF 是等边三角形. (2)由(1)知∠A = 60°,AC = 16. 若△PAF 是直角 三角形,则①当∠AFP = 90°,∠APF = 30°时,2AF =AP,即 2(8 - t) = 2t,∴ t = 4;②当∠APF = 90°, ∠AFP= 30°时,AF = 2AP,即 8-t = 2×2t. ∴ t = 8 5 . 综上,当 t 的值为 4 或 8 5 时,△PAF 是直角三角 形. (3)证明:设 BF= x,则 AF= 8-x. 根据点 P,F 的运 动速度可得,AP = 2x,PC = AC-AP = 16-2x. ∵ PD ∥AB,∴ ∠PDC = ∠B = 90°. 又∵ ∠C = 30°,∴ PD = 1 2 PC= 1 2 (16-2x) = 8-x. ∴ PD = AF. ∴ 四边形 AFDP 是平行四边形. 追梦专项十　 易错重难专练 类型 1　 三角形的证明 1. D　 【解析】①40°角为顶角;②40°角为底角,则两 个底角和为 80°,顶角为 180°-80° = 100°. 故选 D. 2. C　 【解析】∵ AB = AC = 8,∠BAC = 120°,D 是 BC 的中点,∴ ∠B = ∠C = 30°,AD⊥BC,∴ ∠BAD = 60°,∴ AD = 1 2 AB = 4,∵ DE⊥AB,∠BAD = 60°,∴ ∠ADE= 30°,∴ AE= 1 2 AD= 2. 故选 C. 追梦之旅·初中期末真题篇·郑州 ZBB·八年级数学下　 第 9 页 3. B　 【解析】连接 CE,由作图得:MN 垂直平分 BC, ∴ CE = BE = 4,∴ ∠BCE = ∠B = 45°,∴ ∠AEC = 90°,∴ AE= 　 52 -42 = 3,∴ AB=AE+BE= 7. 故选 B. 4. C　 【解析】∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠EBD = ∠DBC, ∵ EF∥BC,∴ ∠EDB = ∠DBC,∴ ∠EDB = ∠EBD, ∴ BE=ED,同理可得 DF =FC,∴ △AEF 的周长为 AE+DE+DF+AF=AE+BE+AF+FC = AB+AC = 7+5 = 12. 故选 C. 5. C 6. 50°或 130°　 【解析】①如图 1,等腰三角形为锐角 三角形,∵ BD⊥AC,∠ABD = 40°,∴ ∠A = 50°,即 顶角的度数为 50°. ②如图 2,等腰三角形为钝角三 角形,∵ BD⊥AC,∠DBA = 40°,∴ ∠BAD = 50°,∴ ∠BAC= 130°,即顶角的度数为 130°. 综上,这个等 腰三角形顶角的度数为 50°或 130°. 图 1 　 　 图 2 类型 2　 一元一次不等式与一元一次不等式组 1. C　 2. C　 3. B 4. A　 【解析】解不等式 2x-1>3(x-2),得 x<5,∵ 不 等式组的解集为 x<5,∴ m≥5. 故选 A. 5. C　 【解析】解不等式组,得 1 2 a<x≤3,∵ 不等式组 有 5 个整数解,则 5 个整数解为 3,2,1,0,-1,∴ -2 ≤ 1 2 a<-1,∴ -4≤a<-2. 故选 C. 6. a>1　 【解析】由题意,得 1-a<0,解得 a>1. 类型 3　 图形的平移与旋转 1. C 2. A　 【解析】由题意,得 a = 4,b = - 3,∴ a+b = 4 + (-3)= 1. 故选 A. 3. B　 【解析】由题意,得 BC =BC′,∠C = ∠A′C′B,∴ ∠C= ∠BC′C = 50°,∴ ∠AC′D = 180° - 50° - 50° = 80°,∵ ∠ABC = 90°, ∠C = 50°, ∴ ∠A = 40°,在 △ADC′中, ∠ADC′ = 180° - 40° - 80° = 60°, ∴ ∠A′DB= ∠ADC′= 60°. 故选 B. 4. D　 【解析】∵ 点 E 为 BC 中点,BC= 4,∴ BE=EC= 2,又∵ AD,BE,CF 为平移距离,∴ AD = BE = CF = 2,∵ △ABC 的周长 = AB + BC + AC = 12,四边形 ABFD 的周长=AB+AD+DF+BF,AC =DF,BF =BC+ CF,∴ 四边形 ABFD 的周长 = AB+AC+BC+CF+AD = 12+2+2 = 16. 故选 D. 5. B 类型 4　 因式分解 1. D 2. D　 【解析】由题意,得-2kx = ±2·2x·1,解得 k = ±2. 故选 D. 3. D　 【解析】原式= 3(x2 -1)(a-b)= 3(x+1)(x-1) (a-b),呈现的密码信息可能是:我爱河南. 故选 D. 4. D 5. (1)(1-x+y) 2 　 (2)(5a-6) 2 　 (3)(y-2) 4 类型 5　 分式与分式方程 1. A　 【解析】根据题意得 x2 -1 = 0 且 x2 +x≠0,解得 x= 1. 故选 A. 2. D　 【解析】A. 原式 = 9x 2 4y2 ;B. 原式 = 1 2m + 2 2m = 3 2m ; C. 原式= 1 6n . 故选 D. 3. D 4. C　 【解析】分式方程去分母整理,得(2-k)x= 2. ∵ 分式方程无解,∴ x= 2 或 2-k = 0,即(2-k) ×2 = 2 或 2-k= 0,解得 k= 1 或 2. 故选 C. 5. C　 【解析】由题意,得 1 x-4 = 2 x-4 - 3 x ,两边都乘以 x(x-4),得 x= 2x-3x+12,解得 x = 6,经检验 x = 6 是分式方程的解. 故选 C. 6. A 类型 6　 平行四边形 1. B　 2. D 3. A 　 【解析】 ∵ 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形, ∠ABC、∠BCD 的平分线的交点 E 落在 AD 边上, ∴ ∠ABE= ∠EBC,∠DCE= ∠BCE,∠ABC+∠BCD = 180°,AD∥BC,∴ ∠EBC+∠ECB = 90°,∴ ∠BEC = 90°. ∵ BE= 8,CE = 6,∴ BC = 82 +62 = 10. ∵ AD ∥BC,∴ ∠AEB= ∠EBC,∠DEC= ∠ECB,∴ ∠ABE = ∠AEB,∠DEC = ∠DCE,∴ AB = AE,DE = DC,∵ AB=CD,AD= BC,∴ AB = AE = ED = 1 2 AD = 1 2 BC = 5. 故选 A. 【技巧点拨】根据平行四边形的性质可证明△BEC 是 直角三角形,利用勾股定理可求出 BC 的长,利用角 平分线的性质以及平行线的性质得出 ∠ABE = ∠AEB,∠DEC= ∠DCE,进而利用平行四边形对边相 等得出答案. 4. C　 【解析】连接 DN,∵ ED =EM,MF =FN,∴ EF = 1 2 DN,∴ DN 最大时,EF 最大,DN 最小时,EF 最 小,∵ 点 N 与点 B 重合时 DN 最大,此时∠A= 90°, DN=DB= 　 52 +122 = 13,∴ EF 的最大值为 6. 5. ∵ AD= 5,∴ 点 N 与点 A 重合时 DN 最小,此时 DN = 5,∴ EF 的最小值为 2. 5,∴ 2. 5≤EF≤6. 5,∴ EF 的长度可能为 4. 故选 C. 5. D　 【解析】由作法得 AH 平分∠BAD,∴ ∠BAH = ∠DAH,∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,∴ AD = BC,CD=AB= 3,AB∥CD,∵ 点 H 恰好分边 DC 为 1 ∶2的两部分,∴ DH = 2 或 DH = 1,∵ CD∥AB,∴ ∠BAH= ∠DHA,∴ ∠DHA = ∠DAH,∴ DH = DA,当 DH= 1 时,AD= 1,▱ABCD 的周长为 2×(1+3)= 8; 当 DH= 2 时,AD= 2,▱ABCD 的周长为 2×(2+3)= 10;综上所述,▱ABCD 的周长为 8 或 10.故选 D. 追梦专项十一　 期末综合新颖题 一、选择题 1. D　 2. A　 3. B 4. C　 【解析】正三角形,正方形,正五边形,正六边 追梦之旅·初中期末真题篇·郑州 ZBB·八年级数学下　 第 10 页 形,正八边形,正九边形的内角分别为:60°,90°, 108°,120°,135°,140°. ∵ 90°+2×135° = 360°,∴ 正 方形和正八边形可以平整镶嵌. 故选 C. 5. D　 【解析】方案Ⅰ:连接 DE,由题意得 CD= 30cm, DE= 50cm,CE= 40cm. ∵ CD2 +CE2 = 302 +402 = 502 =DE2,∴ △CDE 是直角三角形,∠DCE = 90°,故方 案Ⅰ可行;方案 Ⅱ:由作图得:CQ = QR = QS,∴ ∠QRC= ∠QCR,∠QCS = ∠QSC. ∵ ∠SRC+∠RSC +∠RCS= 180°,∴ ∠SRC+∠RSC = 90°,∴ ∠ACS = 90°,故方案Ⅱ可行. 故选 D. 二、填空题 6. 3(x-1)= 6 210 x 7. 540°　 【解析】由题意,得(5-2)×180° = 540°. 8. 24 7 　 【解析】作 CD⊥AB 于点 D,取 AB 中点 E,连 接 CE,∴ CE 为△ACB 的中线,∵ ∠ACB = 90°,AC = 4,BC= 3,∴ AB= 42 +32 = 5,∵ S△ABC = AC·BC 2 = AB·CD 2 , ∴ CD = 12 5 , ∴ BD = BC2 -CD2 = 　 32 -(12 5 ) 2 = 9 5 ,∵ CE 为 Rt△ACB 斜边 AB 上的 中线,AB= 5,∴ BE = 5 2 ,∴ ED = 5 2 - 9 5 = 7 10 ,即点 E 到 CD 的距离为 7 10 ,∴ △ABC 中 AB 边的“中偏度 值”为: 12 5 7 10 = 24 7 . 三、解答题 9. 解:( 1) 设石料的单价是 x 元,则刻刀的单价是 1. 4x 元,由题意得:1 400 1. 4x -700 x = 30,解得 x = 10,经 检验,x = 10 是原分式方程的解,且符合题意,∴ 1. 4x= 14. 答:刻刀的单价是 14 元,石料的单价是 10 元; (2)设购买 a 把刻刀,则石料购买(60-a)块. 由题 意,得 a≥60 -a 2 ,解得 a≥20. 设总花费为 w,则 w = [14a+10(60-a)] ×0. 8 = 3. 2a+480. ∵ 3. 2>0,∴ w 随 a 的增大而增大. 故 a= 20 时,w 有最小值,此时 60-a= 40,w = 3. 2×20+480 = 544(元) . 答:当购买 20 把刻刀,40 块石料时花费最少,为 544 元. 10. (1)解:如图所示. (2)证明:∵ 线段 AC 的垂直平分线交 AC 于点 O, ∴ AO=OC,∵ DO=BO,∴ 四边形 ABCD 是平行四 边形. 郑州市高新区下学期期末调研试卷 一、选择题 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A C B A D B A C C 1. B　 【解析】选项 B 能找到这样的一个点,使图形 绕某一点旋转 180°后与原来的图形重合,所以是 中心对称图形. 故选 B. 2. A 3. C　 【解析】A. ∵ a<b,∴ a+m<b+m,错误;B. ∵ a< b,∴ 2a<2b,错误;D. ∵ a<b,∴ a-2<b-2,错误. 故 选 C. 4. B　 【解析】A. a3 -a=a(a2 -1)= a(a+1)(a-1);C. m2 -2m+1 = (m-1) 2;D. 不能进行因式分解. 故选 B. 5. A 【方法总结】本题考查的是反证法,解此题关键要懂 得反证法的意义及步骤. 在假设结论不成立时要注 意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种, 那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一 一否定. 6. D 　 【 解 析 】 根 据 糖 水 中 的 含 糖 量 = 糖总量 糖总量+水总量 ,则加入 c 克糖后,糖水总量为(b +c)克,糖总量为(a+c)克,∴ 此时糖水的含糖量 =a+c b+c . 故选 D. 7. B　 【解析】∵ 角的平分线上的点到角的两边的距 离相等,∴ 使点 P 到三面墙的距离都相等,则点 P 是∠ABC、∠BCD 平分线的交点. 故选 B. 8. A　 【解析】因为点 P(a,2)在直线 l1:y = x+1 上, 所以 2 = a + 1,解得 a = 1,即 P(1,2),则方程组 y= x+1, y=mx+n{ 的解是 x= 1 y= 2{ ,①正确;由图象可知不等式 x+1≥mx+n 的解集为 x≥1,故②错误;不等式 mx +n>0 的解集为 x<3,故③错误;因为 y=mx+n 过点 (1,2),(3,0),所以 2 =m+n0 = 3m+n{ ,解得 m= -1 n= 3{ ,所以 n= 3,故④错误. 故选 A. 9. C　 【解析】由图可得中心空白的平行四边形的内 角为 360°÷5 = 72°,所以另一个内角为 180°-72° = 108°,则阴影平行四边形的最大内角为 360°-108° ×2 = 144°. 故选 C. 10. C　 【解析】∵ △AOB 为等腰直角三角形,∠OAB = 90°,OA= 2,∴ OB = OA2 +AB2 = 2 2 ,观察图象 可知,点 B 旋转 8 次一个循环,∵ 2023 ÷ 8 = 252 ……7,∴ 点 B2023 在 y 轴正半轴上,∴ 点 B2023 的 坐标为(0,2 　 2 ) . 故选 C. 二、填空题 11. x≠2　 【解析】由题意得 2-x≠0,解得 x≠2. 12. 三边相等的三角形是等边三角形 13. 1. 5x-4　 【解析】根据题意得当 x>8 时,y = 1×8+ 1. 5(x-8)= 1. 5x-4. 14. 12 5 　 【解析】连接 CM,∵ 点 D、E 分别为 CN,MN 追梦之旅·初中期末真题篇·郑州 ZBB·八年级数学下　 第 11 页