专项9 大题抢分练-【追梦之旅·期末真题篇】2023-2024学年八年级数学下册（北师大版 郑州专用）

郑州专版·八年级数学·下册　 第 1 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 2 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 3 页　 　 　 　 专项 9 追梦专项九　 大题抢分练 因式分解与分式(方程)的相关计算 1. 因式分解. (1)3a3 -6a2b+3ab2;　 　 　 　 　 　 (2)2. 22 +4. 4×17. 8+17. 82 . 2. 化简. (1)( x x-1 - 1 x2 -x ) ÷x 2 +2x+1 x2 ;　 　 　 (2)(a+1- 3 a-1 ) ÷a 2 +4a+4 a-1 . 3. 解方程. (1) 2x x-2 +1 = 5 2-x ;　 　 　 　 　 　 　 　 (2) 2x x+3 +1 = 7 2x+6 . 4. 先化简,再求值:2a +1 a2 -1 ·a 2 -2a+1 a2 -a - 1 a+1 ,从-1≤a≤2 的整数中选 取一个你认为合适的 a 的值,代入求值. 解一次不等式(组) 5. 解不等式组 x-3(x-2)≥-2 2x-1 3 >x -1 2 ì î í ï ï ï ï ,并把它的解集在数轴上表示出来. 6. 下面是小颖同学解一元一次不等式2x +1 3 -x+2 6 <2 的解答过程,请 认真阅读并完成相应任务. 􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀤠 􀦠 􀦠 􀦠􀦠 解:去分母,得 2(2x+1)-(x+2)<12,……第一步 去括号,得 4x+2-x+2<12,……第二步 移项、合并同类项,得 3x<8,……第三步 两边都除以 3,得 x< 8 3 . ……第四步 任务一:填空: ①以上运算步骤中,去分母的依据是　 　 　 　 　 　 　 ; ②第二步变形所依据的运算律是　 　 　 　 　 　 　 ; ③第　 　 　 　 步开始出现错误,这一步错误的原因是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; 任务二:请写出正确的计算过程. 　 图形的平移与旋转作图 7. 如图,在平面直角坐标系中, △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(3,5),B(5,3),C(2,2) . (1) 平移△ABC 到△A1 B1 C1,其中点 A 的对应点 A1 坐标为 ( -3,3),请在坐标系中画出△A1B1C1; (2)在(1)的条件下,以原点 O 为旋转中心,将△A1B1C1 按顺时 针方向旋转 180°得到△A2B2C2 . ①请在坐标系中画出△A2B2C2; ②△A2B2C2 与△ABC 关于某点成中心对称,则该对称中心坐标 为　 　 　 　 　 　 . 8. 如图,由边长为 1 的小正方形组成的方格纸中,点 O 与△ABC, △A1B1C1 的顶点都在小正方形的顶点上,且△ABC≌△A1B1C1 . (1)观察图形可知,把△ABC 先向右平移　 　 　 　 个单位,再向 下平移　 　 　 　 个单位可与△A1B1C1 完全重合; (2)在方格纸中画△A2B2C2,使△A2B2C2 和△A1B1C1 关于点 O 成中心对称; (3)利用方格纸特点并结合尺规作图,在方格纸上找一点 P,使 点 P 满足条件:①PC1 = PC2;②点 P 到∠ACB 两边的距离相等. (注:画图与作图只保留作图痕迹,不写画法作法) 专项 9 　 　 　 　 　郑州专版·八年级数学·下册　 第 4 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 5 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 6 页 分式方程与一次不等式的实际应用 9. 【传统文化】(重庆期末)“文房四宝”是中国独有的书法绘画工 具,即笔、墨、纸、砚,文房四宝之名起源于南北朝时期. 为丰富学 生的课后服务活动,重庆第八中学准备为社团购买 A,B 两种型 号“文房四宝”,通过市场调研得知:A 种型号“文房四宝”的单价 比 B 种型号“文房四宝”的单价多 100 元,且用 22 500 元购买 A 种型号“文房四宝”的数量是用 10 000 元购买 B 种型号“文房四 宝”数量的 1. 5 倍. (1)求 A,B 两种型号“文房四宝”的单价分别是多少元? (2)该学校计划用不超过 10 000 元的资金购买 A,B 两种型号 “文房四宝”共 40 组,为使购买的 A 种型号“文房四宝”的数量尽 可能多,请设计出购买方案. 10. 中国·哈尔滨冰雪大世界,始创于 1999 年,是由黑龙江省哈尔 滨市政府为迎接千年庆典神州世纪游活动,凭借哈尔滨的冰雪 时节优势,而推出的大型冰雪艺术精品工程,展示了北方名城 哈尔滨冰雪文化和冰雪旅游魅力. 2024 年在准备冰雪大世界的 建造时,需要取冰,现安排甲、乙两个采冰队共同完成. 已知甲 队的工作效率是乙队工作效率的 1. 5 倍,甲队取 240 立方米的 冰比乙队取同样体积的冰少用 2 天. (1)甲、乙两个采冰队每天能采冰的体积分别是多少立方米? (2)如需 40 天采冰 1 840 立方米. 甲、乙两队共同工作若干天 后,甲另有任务,剩下的由乙队独立完成,为了能在规定的时间 内完成任务,至少安排甲队工作多少天? 三角形的计算与证明 11. 【中考新趋势】如图,在△ABC 中,∠C= 90°. (1)过点 B 作∠ABC 的平分线交 AC 于点 D(尺规作图,保留作 图痕迹,标注有关字母,不用写作法和证明); (2)若 CD= 3,AB+BC= 16,求△ABC 的面积. 12. 如图,在△ABC 中,∠C = 90°,AD 平分∠CAB,交 CB 于点 D,过 点 D 作 DE⊥AB 于点 E. (1)求证:AC=AE; (2)若 E 是 AB 的中点,CD= 5,求 BD 的长. 13. 如图,△ABC 是等边三角形,D 为边 BC 的中点,BE⊥AB 交 AD 的延长线于点 E,点 F 在 AE 上,且 AF=BE,连接 CF、CE. 求证:(1)∠CAF= ∠CBE; (2)△CEF 是等边三角形. 平行四边形的计算与证明 14. 如图,在▱ABCD 中,E、F 是对角线 BD 上的两点(点 E 在点 F 左侧),且∠AEB= ∠CFD= 90°. (1)求证:四边形 AECF 是平行四边形; (2)当∠BAF= 90°,AB= 4,AF= 3 时,求 BD 的长. 15. (娄底模拟)如图,点 O 是△ABC 内一点,连接 OB,OC,并将 AB,OB,OC,AC 的中点 D,E,F,G 依次连接,得到四边形 DEFG. (1)求证:四边形 DEFG 是平行四边形. (2)如果∠OBC= 45°,∠OCB= 30°,OC= 8,求 EF 的长. 16. 已知:如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O, DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为 E,F,DE=BF. (1)在条件①∠ADB= ∠CBD 或条件②AE =CF 中,任选一个作 为补充条件,判断四边形 ABCD 是否为平行四边形,并说明 理由. (2)在(1)的条件下,若 BD⊥AD,BD = 8,AC = 4 13 ,请直接写 出 DE 的长. 郑州专版·八年级数学·下册　 第 7 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 8 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 9 页　 　 　 　 专项 9 平行四边形、三角形的综合探究 17. 如图,在△ABC 中,∠A = 60°,AB = 4,AC = 12,动点 P 从点 A 开 始沿 AB 边以每秒 1 个单位长度的速度运动,动点 Q 从点 C 开 始沿 CA 边以每秒 3 个单位长度的速度运动. 点 P 和点 Q 同时 出发,当点 P 到达点 B 时,点 Q 也随之停止运动. 设动点的运动 时间为 t s(0≤t≤4),解答下列问题: (1)当 t 为何值时,点 A 在 PQ 的垂直平分线上? (2)在运动过程中,是否存在某一时刻 t,使△APQ 是直角三角 形? 若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由. (3)当 t= 1 时,求四边形 BCQP 的面积. 18. 如图 1,在 Rt△ABC 中,AB = AC,∠A = 90°,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,AD = AE,连接 DC,点 M、P、N 分别为 DE、DC、BC 的 中点. (1)观察猜想 图 1 中,线段 PM 与 PN 的数量关系是　 　 　 　 　 　 ,位置关系 是　 　 　 　 　 　 ; (2)探究证明 把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置,连接 MN,判断 △PMN 的形状,并说明理由; (3)拓展延伸 把△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转,若 DE = 2,BC = 4,请直接 写出△PMN 面积的最大值. 图 1 　 　 图 2 19. (1)如图 1,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD = 6 cm,BC = 8 cm, 若动点 P 从 A 点出发,以每秒 1 cm 的速度沿线段 AD 向点 D 运 动;点 Q 从 C 点出发以每秒 2 cm 的速度沿 CB 方向运动,当 Q 点到达 B 点时,动点 P、Q 同时停止运动,设点 P、Q 同时出发, 并运动了 x 秒(x>0),求当 x 为多少秒时,四边形 PQCD 变为平 行四边形. (2)如图 2,若四边形 ABCD 变为平行四边形 ABCD,AD = BC = 6 cm,动点 P 从 A 点出发,以每秒 1 cm 的速度沿线段 AD 向 D 点运动;动点 Q 从 C 点出发以每秒 2 cm 的速度在 BC 间往返运 动,当 P 点到达 D 点时,动点 P、Q 同时停止运动,设 P、Q 两点 同时出发,并运动了 t 秒( t>0),求当 t 为多少秒时,以 P、D、Q、 B 四点组成的四边形是平行四边形. 图 1 　 图 2 20. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC = 90°,∠C = 30°,AB = 8 cm,动点 P 从点 A 开始以 2 cm / s 的速度向点 C 运动,动点 F 从点 B 开始 以 1 cm / s 的速度向点 A 运动,两点同时运动,同时停止,运动时 间为 t(s). (1)当 t 为何值时,△PAF 是等边三角形? (2)当 t 为何值时,△PAF 是直角三角形? (3)过点 P 作 PD∥AB 交 BC 于点 D,连接 DF,求证:四边形 AFDP 是平行四边形. w 随 m 的增大而减小,∴ 当 m = 20 时总费用最 少,则 60-20 = 40(个) . 答:当学校购买 40 个篮 球,20 个足球时,总费用最少. 追梦专项八　 平行四边形 一、选择题 1. C　 【解析】设与这个内角相邻的外角为 x,则这个 内角为 3x,由题意得,x+3x = 180°,解得 x = 45°,由 于正多边形的外角和是 360°,所以这个正多边形 的边数为 360°÷45° = 8. 故选 C. 2. A 3. A　 【解析】设多边形有 n 条边,则 n-2 = 7,解得 n = 9. 故选 A. 【解题技巧】经过 n 边形的一个顶点的所有对角线把 多边形分成(n-2)个三角形,根据此关系式求边数. 4. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ BC = AD,CD= AB,AD∥BC,∴ ∠ADE = ∠DEC. ∵ DE 平 分∠ADC,∴ ∠ADE = ∠CDE,∴ ∠CDE = ∠DEC, ∴ EC=CD. ∵ BE = 2,∴ BC-CD = 2,∵ ▱ABCD 的 周长是 20,∴ BC+CD = 1 2 ×20 = 10,∴ CD = 4. 故选 A. 5. B 6. B　 【解析】∵ P、N 是 AB 和 BD 的中点,AD = BC, BC= 8,∴ PN= 1 2 AD = 1 2 ×8 = 4,PN∥AD,∴ ∠NPB = ∠DAB = 50°,同理,PM = 4, ∠MPA = ∠CBA = 70°,∴ PM=PN= 4,∠MPN = 180°-50°-70° = 60°, ∴ △PMN 是等边三角形. ∴ MN = PM = PN = 4,∴ △PMN 的周长是 12. 故选 B. 【方法点拨】此题考查的是三角形中位线的性质,即 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一 半. 根据中位线定理求得 PM 和 PN 的长,然后证明 △PMN 是等边三角形即可求解. 二、填空题 7. BE=DF(答案不唯一) 　 8. 120° 9. 12　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,且 AB = 4,BC= 5,∴ CD=AB= 4,BC = AD = 5,OA =OC,AD ∥BC,∴ ∠OAE= ∠OCF,∠OEA= ∠OFC,在△OAE 和△OCF 中 ∠OAE= ∠OCF ∠OEA= ∠OFC OA=OC { ,∴ △OAE ≌ △OCF (AAS),∴ OF =OE = 3 2 ,AE =CF,∴ EF =OE+OF = 3,则四边形 CDEF 的周长=CD+DE+EF+CF=CD+ EF+DE+AE= 4+3+5 = 12. 三、解答题 10. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥ BC,AD = BC. ∵ CE = BC, ∴ AD = CE, ∴ 四边形 ACED 是平行四边形; (2)解:由(1)知四边形 ACED 是平行四边形,∵ AC∥DE,∴ DE = AC = 6. ∵ CD = 1 2 BE,CE = BC,∴ BC=CD. 在▱ABCD 中,BO = DO,∴ CO⊥BD,∴ ∠BOC= 90°. ∵ AC∥DE,∴ ∠BDE = ∠BOC = 90°, ∵ BE= 2BC = 2CD = 2AB = 10,∴ BD = BE2 -DE2 = 8,∴ △BDE 的周长 = BD+BE+DE = 8 + 10 + 6 = 24. 11. 解:(1)如图所示; (2)选命题Ⅱ. 证明:过点 E 作 EM∥AB 交 BC 边于点 M,连接 DM. 又∵ DE∥BC,∴ 四边形 EDBM 是平行四边 形,∴ BD=EM,DE =BM. 又∵ DE = 1 2 BC,∴ DE = BM=CM,∴ 四边形 DECM 是平行四边形,∴ DM =CE,DM∥CE,∴ DM∥AE. 又∵ EM∥AD,∴ 四边 形 ADME 是平行四边形,∴ AD = EM,DM = AE,∴ AD=BD,AE =CE,∴ D,E 分别是 AB,AC 的中点. (答案不唯一) 12. 解:(1) t　 (8-t) (2) ∵ AD∥BC,点 Q、点 P 分别在 AD、BC 上,∴ DQ∥PC,当 DQ = PC,四边形 PQDC 是平行四边 形,当点 Q 与点 D 重合时,则 t= 8;当点 P 与点 C 重合时,则 2t= 10,解得 t = 5,当 0<t<5 时,由 DQ =PC 得 8-t = 10-2t,解得 t = 2;当 5≤t<8 时,由 DQ=PC 得 8-t = 2t-10,解得 t = 6,综上所述,当 t = 2 或 t= 6 时,四边形 PQDC 为平行四边形. 追梦专项九　 大题抢分练 1. 解:(1)原式= 3a(a2 -2ab+b2)= 3a(a-b) 2; (2)原式= (2. 2+17. 8) 2 = 202 = 400. 2. 解: ( 1 ) 原 式 = [ x x-1 - 1 x(x-1) ] · x 2 (x+1) 2 = (x+1)(x-1) x(x-1) · x 2 (x+1) 2 = x x+1 ; (2) 原式 = (a +1)(a-1) -3 a-1 · a -1 (a+2) 2 = a 2 -4 a-1 · a-1 (a+2) 2 = (a+2)(a-2) a-1 · a -1 (a+2) 2 =a-2 a+2 . 3. 解:(1)方程两边同乘以(x-2),得 2x+x-2 = -5,解 得 x= -1. 检验:当 x= -1 时,x-2≠0,∴ x= -1 是原 分式方程的解. (2)方程两边同乘以 2(x+3),得 4x+2(x+3) = 7, 解得 x= 1 6 ,检验:当 x= 1 6 时,2(x+3) ≠0,∴ x = 1 6 是原分式方程的解. 4. 解:原式 = 2a +1 (a+1)(a-1) · (a -1) 2 a(a-1) - 1 a+1 = 2a+1 a(a+1) - 1 a+1 = 2a+1-a a(a+1) = a+1 a(a+1) = 1 a ,∵ -1≤a≤2,a≠ ±1、0,∴ a= 2,∴ 当 a= 2 时,原式= 1 2 . 5. 解: x-3(x-2)≥-2① 2x-1 3 >x -1 2 ②{ ,解不等式①得 x≤4,解不 等式②得 x>-1,∴ 原不等式组的解集为-1<x≤4, ∴ 该不等式组的解集在数轴上的表示如图所示: 追梦之旅·初中期末真题篇·郑州 ZBB·八年级数学下　 第 7 页 . 6. 解:任务一:①不等式的基本性质 ②乘法分配律 ③二　 括号前是负号,去括号时,第二项没有变号 任务二:去分母,得 2(2x+1) -(x+2) <12. 去括号, 得 4x+2-x-2<12. 移项、合并同类项,得 3x<12. 两 边都除以 3,得 x<4. 7. 解:(1)如图,△A1B1C1 即为所求; (2)①如图,△A2B2C2 即为所求;　 ②(3,1) 8. 解:(1)7　 3 (2)如图,△A2B2C2 即为所求; (3)如图,点 P 即为所求. 9. 解:(1)设 B 种型号“文房四宝”的单价是 x 元,则 A 种型号“文房四宝”的单价是(x+100)元. 根据题 意,得22 500 x+100 = 1. 5×10 000 x . 解得 x = 200,经检验,x = 200 是所列方程的解,且符合题意,∴ x+ 100 = 300. 答:A 种型号“文房四宝”的单价是 300 元,B 种型号“文房四宝”的单价是 200 元; (2)设购买 m 组 A 种型号“文房四宝”,则购买(40 -m)组 B 种型号“文房四宝”,根据题意,得 300m+ 200(40-m) ≤10 000,解得 m≤20,∴ m 的最大值 为 20,此时 40-m = 20. 答:学校应购买 20 组 A 种 型号“文房四宝”,20 组 B 种型号“文房四宝” . 10. 解:(1)设乙采冰队每天能采冰的体积是 x 立方 米,则甲采冰队每天能采冰的体积是 1. 5x 立方 米. 根据题意,得240 x = 240 1. 5x + 2,解得 x = 40,经检 验,x= 40 是原方程的解,也符合题意,∴ 1. 5x = 60. 答:甲采冰队每天能采冰的体积是 60 立方 米,乙采冰队每天能采冰的体积是 40 立方米; (2)设安排甲队工作 m 天,根据题意,得 60m+40 ×40≥1 840,解得 m≥4. 答:至少安排甲队工作 4 天. 11. 解:(1)∠ABC 的平分线如图所示. (2)作 DH⊥AB 于 H. ∵ BD 平分∠ABC,DC⊥BC, DH⊥AB,∴ CD =DH = 3,∴ △ABC 的面积 = S△BCD +S△ABD = 1 2 BC·CD+ 1 2 AB·DH = 1 2 × 3BC+ 1 2 × 3AB= 1 2 ×3(BC+AB)= 1 2 ×3×16 = 24. 12. (1)证明:∵ AD 平分∠CAB,∴ ∠CAD= ∠EAD,∵ DE⊥AB 于点 E,∴ ∠C = ∠AED = 90°,在△ACD 和△AED 中, ∠C= ∠AED ∠CAD= ∠EAD AD=AD { ,∴ △ACD≌△AED (AAS),∴ AC=AE. (2)解:∵ DE⊥AB 于点 E,E 是 AB 中点,AD 平分 ∠CAB,∠C = 90°,∴ AD = BD,CD = DE,∴ ∠B = ∠BAD = ∠CAD, ∵ ∠B + ∠BAD + ∠CAD = ∠B + ∠BAC= 90°,∴ 3∠B= 90°,∴ ∠B = 30°,∵ ∠BED = 90°,ED=CD= 5,∴ BD= 2ED= 10,∴ BD 的长为 10. 13. 证明: ( 1) ∵ △ABC 是等边三角形, ∴ ∠CAB = ∠CBA= 60°. ∵ D 为 BC 的中点, ∴ ∠CAD = 1 2 ∠CAB = 30°,又 ∵ BE ⊥ AB, ∴ ∠ABE = 90°, ∴ ∠CBE= 90°-∠CBA= 30°,∴ ∠CAF= ∠CBE; (2)∵ △ABC 是等边三角形,∴ CA=CB,在△CAF 和△CBE 中, CA=CB ∠CAF= ∠CBE AF=BE { ,∴ △CAF≌△CBE (SAS), ∴ CE = CF, ∠ACF = ∠BCE, ∴ ∠ECF = ∠BCE+∠BCF= ∠ACF+∠BCF = ∠ACB = 60°,∴ △CEF 是等边三角形. 14. ( 1) 证明: ∵ ∠AEB = ∠CFD = 90°, ∴ ∠AEF = ∠CFE= 90°,∴ AE∥CF,∵ 四边形 ABCD 是平行 四边形,∴ AB = CD,AB∥CD,∴ ∠ABE = ∠CDF, 在△ABE 和△CDF 中 ∠AEB= ∠CFD ∠ABE= ∠CDF AB=CD { ,∴ △ABE ≌△CDF( AAS),∴ AE = CF,∴ 四边形 AECF 是 平行四边形; (2)解:∵ ∠BAF= 90°,AB= 4,AF= 3,在 Rt△ABF 中,由勾股定理得:BF = AB2 +AF2 = 5,∵ AE⊥ BD,∴ S△ ABF = 1 2 AB·AF = 1 2 BF·AE,∴ AE = 12 5 , ∴ 在 Rt △ABE 中, 由 勾 股 定 理 得: BE = 42 -(12 5 ) 2 = 16 5 ,∵ △ABE≌△CDF,∴ DF=BE= 16 5 ,∴ BD= 5+16 5 = 41 5 . 15. (1)证明:∵ D、G 分别是 AB、AC 的中点,∴ DG∥ BC,DG= 1 2 BC,∵ E、F 分别是 OB、OC 的中点,∴ EF∥BC,EF = 1 2 BC,∴ DG = EF,DG∥EF,∴ 四边 形 DEFG 是平行四边形; (2) 解: 过 O 作 OH ⊥ BC, 交 BC 于点 H, 在 追梦之旅·初中期末真题篇·郑州 ZBB·八年级数学下　 第 8 页 Rt△OCH 中,OC = 8,∠OCB = 30°,∴ OH= 1 2 OC = 4,∴ CH = OC2 -OH2 = 4 3 . 在 Rt△OBH 中,由 OH= 4,∠OBC = 45°,得 OH = BH = 4,∴ BC = BH+ CH= 4+4 3 ,∴ EF= 1 2 BC= 2+2 3 . 16. 解:(1)选择条件①∠ADB= ∠CBD,四边形 ABCD 是平行四边形,理由如下:∵ ∠ADB = ∠CBD,∴ AD∥BC,∴ ∠DAE = ∠BCF. ∵ DE⊥AC,BF⊥AC, ∴ ∠AED = ∠CFB = 90°. 在△ADE 和△CBF 中, ∠DAE= ∠BCF,∠AED = ∠CFB,DE =BF,∴ △ADE ≌△CBF(AAS),∴ AD=BC. 又∵ AD∥BC,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形;(答案不唯一) (2)DE= 12 13 13 . 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平 行四边形,∴ OA = 1 2 AC = 2 13 ,OD = 1 2 BD = 4. ∵ BD⊥AD,∴ ∠ADB = 90°. 由勾股定理得 AD = OA2 -OD2 = 6. ∵ S△ADO = 1 2 AD·OD = 1 2 OA· DE,∴ DE=AD·OD OA = 6×4 2 13 = 12 13 13 . 17. 解:(1)若点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上,则 AP =AQ,∵ AP= t,AQ= 12-3t,∴ t= 12-3t,解得 t = 3, 即当 t= 3 时,点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上; (2)存在;若∠APQ= 90°,∵ ∠A= 60°,∴ ∠AQP = 30°,∴ AQ = 2AP, ∴ 12 - 3t = 2t,解得 t = 12 5 ;若 ∠AQP= 90°,∵ ∠A = 60°,∴ ∠APQ = 30°,∴ AP = 2AQ,∴ t = 2(12-3t),解得 t = 24 7 ,∴ 当 t = 12 5 或 24 7 时,△APQ 是直角三角形; (3)当 t= 1 时,AP= 1,CQ = 3,AQ = 12-3 = 9,过点 P 作 PD⊥AC 于点 D,过点 B 作 BE⊥AC 于点 E, ∴ ∠ADP = ∠AEB = 90°,∵ ∠A = 60°,∴ ∠APD = ∠ABE= 30°,∴ AD = 1 2 AP = 1 2 ,AE = 1 2 AB = 2,∴ PD= AP2 -AD2 = 3 2 ,BE = AB2 -AE2 = 2 3 ,∴ S四边形 BPQC =S△ ABC-S△ APQ = 1 2 ×12×2 3 - 1 2 ×9× 3 2 = 12 3 - 9 4 3 = 39 4 3 . 18. 解:(1)PM=PN　 PM⊥PN (2) △PMN 是等腰直角三角形. 理由:连接 CE, BD,由旋转知,∠BAD = ∠CAE,∵ AB = AC,AD = AE,∴ △ABD≌△ACE( SAS),∴ ∠ABD = ∠ACE, BD=CE,利用三角形的中位线得,PN = 1 2 BD,PM = 1 2 CE,PM∥CE,PN∥BD,∴ PM = PN,∠DPM = ∠DCE, ∠PNC = ∠DBC, ∵ ∠DPN = ∠DCB + ∠PNC = ∠DCB + ∠DBC, ∴ ∠MPN = ∠DPM + ∠DPN= ∠DCE+∠DCB+∠DBC = ∠BCE+∠DBC = ∠ACB+∠ACE+∠DBC= ∠ACB+∠ABD+∠DBC = ∠ACB + ∠ABC, ∵ ∠BAC = 90°, ∴ ∠ACB + ∠ABC= 90°,∴ ∠MPN= 90°,∴ △PMN 是等腰直 角三角形; (3) △PMN 面积最大值为 9 4 . 　 【解析】若 DE = 2,BC= 4,在 Rt△ABC 中,AB = AC,BC = 4,∴ AB = 2 2 ,同理 AD= 2 ,由(2)知,△PMN 是等腰直角 三角形,PM =PN = 1 2 BD,∴ BD 最大时 PN 最大, △PMN 面积最大,∴ 点 D 在 BA 的延长线上时, BD 最大,∴ BD = AB+AD = 3 2 ,∴ PN = 3 2 2 ,∴ S△ PMN最大 = 1 2 PN2 = 1 2 ×( 3 2 2 ) 2 = 9 4 . 19. 解:(1) ∵ AD∥BC,∴ 当四边形 PQCD 为平行四 边形时,则 PD=CQ,∴ 6-x= 2x,解得 x= 2,∴ x= 2 时,四边形 PQCD 变为平行四边形; (2)由题意知,AP= tcm,∴ PD= (6-t)cm,当以 P, D,Q,B 四点组成的四边形是平行四边形时,PD= BQ,当 0<t<3 时,BQ= (6-2t)cm,∴ 6-t= 6-2t,解 得 t= 0(舍去);当 3<t≤6 时,BQ = (2t-6) cm,∴ 2t-6 = 6-t,解得 t= 4. 综上所述:当 t = 4 时,以 P, D,Q,B 四点组成的四边形是平行四边形. 20. 解:(1) 在 Rt△ABC 中,∠C = 30°,∴ ∠A = 90° - 30° = 60°,AC= 2AB= 16. ∵ △PAF 是等边三角形, ∴ AF=AP,即 8-t= 2t,t = 8 3 . ∴ 当 t = 8 3 时,△PAF 是等边三角形. (2)由(1)知∠A = 60°,AC = 16. 若△PAF 是直角 三角形,则①当∠AFP = 90°,∠APF = 30°时,2AF =AP,即 2(8 - t) = 2t,∴ t = 4;②当∠APF = 90°, ∠AFP= 30°时,AF = 2AP,即 8-t = 2×2t. ∴ t = 8 5 . 综上,当 t 的值为 4 或 8 5 时,△PAF 是直角三角 形. (3)证明:设 BF= x,则 AF= 8-x. 根据点 P,F 的运 动速度可得,AP = 2x,PC = AC-AP = 16-2x. ∵ PD ∥AB,∴ ∠PDC = ∠B = 90°. 又∵ ∠C = 30°,∴ PD = 1 2 PC= 1 2 (16-2x) = 8-x. ∴ PD = AF. ∴ 四边形 AFDP 是平行四边形. 追梦专项十　 易错重难专练 类型 1　 三角形的证明 1. D　 【解析】①40°角为顶角;②40°角为底角,则两 个底角和为 80°,顶角为 180°-80° = 100°. 故选 D. 2. C　 【解析】∵ AB = AC = 8,∠BAC = 120°,D 是 BC 的中点,∴ ∠B = ∠C = 30°,AD⊥BC,∴ ∠BAD = 60°,∴ AD = 1 2 AB = 4,∵ DE⊥AB,∠BAD = 60°,∴ ∠ADE= 30°,∴ AE= 1 2 AD= 2. 故选 C. 追梦之旅·初中期末真题篇·郑州 ZBB·八年级数学下　 第 9 页