专项7 分式方程～专项8 平行四边形-【追梦之旅·期末真题篇】2023-2024学年八年级数学下册（北师大版 郑州专用）

郑州专版·八年级数学·下册　 第 1 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 2 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 3 页　 　 　 　 专项 7 追梦专项七　 分式方程 一、选择题 1. 下列方程不是分式方程的是(　 　 ) A. 1 x -x= 0 B. x 2 - 2 3 x= 1 5 C. 2 1-x + 1 1+x = 1 D. 2 x = 6 x-3 2. 把分式方程 1 x-2 - 1-x 2-x = 1 的两边同时乘以( x- 2),约去分母, 得(　 　 ) A. 1-(1-x)= 1 B. 1+(1-x)= 1 C. 1-(1-x)= x-2 D. 1+(1-x)= x-2 3. 已知 x= 1 是方程 m 2-x - 1 x-2 = 3 的解,那么实数 m 的值为(　 　 ) A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 4. 【新定义】对于实数 a、b,定义一种新运算“ 􀱇”为:a􀱇b = 3 a2 -ab , 这里等式右边是实数运算. 按此规定,则方程 x􀱇( -2)= - 1 2 ( 1 x - 1 x-2 )的解是(　 　 ) A. x= 4 B. x= 6 C. x= 7 D. x= 8 5. 若分式方程3 -x x-4 + m x-4 = 1 有增根,则 m 的值是(　 　 ) A. 4 B. 1 C. -1 D. -3 6. 【科技自信】中国高铁目前是世界高铁的领跑者,无论里程和速 度都是世界最高的. 郑州、北京两地相距约 700 km,乘高铁列车 从郑州到北京比乘特快列车少用 3. 6 h,已知高铁列车的平均行 驶速度是特快列车的 2. 8 倍. 设特快列车的平均行驶速度为 x km / h,则下面所列方程中正确的是(　 　 ) A. 700 x - 700 2. 8x = 3. 6 B. 700 2. 8x -700 x = 3. 6 C. 700 ×2. 8 x -700 x = 3. 6 D. 700 2. 8x = 3. 6-700 x 二、填空题 7. 【开放性试题】请写出一个未知数是 x 的分式方程,并且当 x = 1 时没有意义　 　 　 　 . 8. 当 x= 　 　 　 　 ,分式 1 4-x 的值与分式 1 2-3x 的值互为相反数. 9. 若关于 x 的分式方程x -a x-2 = 1 2 的解为非负数,则 a 的取 值范围是　 　 　 　 　 　 . 10. 已知关于 x 的方程2x -m x-3 -1 = x 3-x 的解为正数,则 m 的取值范围 是　 　 　 　 . 11. 【跨学科试题】数学的美无处不在. 数学家们研究发现,弹拨琴 弦发出声音的音调高低,取决于弦的长度,绷得一样紧的几根 弦,如果长度的比能够表示成整数的比,发出的声音就比较和 谐. 例如,三根弦长度之比是 15 ∶12 ∶10,把它们绷得一样紧,用 同样的力弹拨,它们将分别发出很和谐的乐声 do、mi、so,研究 15、12、10 这三个数的倒数发现: 1 12 - 1 15 = 1 10 - 1 12 . 我们称 15、12、 10 这三个数为一组调和数. 现有一组调和数:x,5,3(x>5),则 x 的值是　 　 　 　 . 三、解答题 12. 解方程: (1) 3 x-1 + x x-1 = 3;　 　 　 　 (2) 3 x-5 + 4 x+5 = 2 x2 -25 . 13. (安徽期末)随着未来 5G 通信、AI、物联网、云计算等技术不断 赋能中国新兴产业发展,中国逻辑芯片国产化提升空间巨大, 市场需求将持续释放. 为保障国内某芯片的需求,生产效率每 天比原先提高了 50%,原先生产 4 200 万块芯片所用时间比现 在生产同样多芯片所用时间多 14 天. 问现在每天生产多少万 块芯片? 【分析交流】 (1)某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理,请你把 表格内容补充完整. 时间 原先 现在 生产总量 / 万块 4 200 4 200 每天生产量 / 万块 x 【建模解答】 (2)请你完整解答本题. 14. 【体育素养】从 2024 年起,郑州市中招体育考试总分值从目前 的 70 分提高至 100 分,在保持“素质类”测评的基础上,丰富完 善了“运动技能类、耐力类、健康技能类”的测评项目,增设了 “篮球运球投篮、足球运球射门、排球垫球、游泳、心肺复苏实践 操作”作为抽考、选考项目. 某校现决定增购两种体育用品:篮 球和足球. 已知篮球的单价比足球的单价多 10 元,用 600 元购 买的篮球数量和用 500 元购买的足球数量相同. (1)求篮球和足球的单价分别是多少元? (2)由于库存较大,商场决定对这两种用品打折销售,其中篮球 以八折出售,足球以七折出售. 学校计划购买篮球和足球两种 用品共 60 个,且要求篮球的数量不少于足球数量的 2 倍,篮球 的数量不多于 47 个,请你求出学校花钱最少的购买方案. 专项 8 　 　 　 　 　郑州专版·八年级数学·下册　 第 1 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 2 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 3 页 追梦专项八　 平行四边形 一、选择题 1. (泰州二模)一个正多边形,它的每个内角是与其相邻外角的 3 倍,则这个多边形的边数是(　 　 ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 下列条件中,不能判定四边形 ABCD 为平行四边形的是(　 　 ) A. AB∥CD,AD=BC B. ∠A= ∠C,∠B= ∠D C. AB=CD,AD=BC D. AB∥CD,AB=CD 3. (辽宁期末)若某多边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点 相连接,可将多边形分成 7 个三角形,则该多边形是(　 　 ) A. 九边形 B. 十边形 C. 十二边形 D. 十六边形 4. 如图,在▱ABCD 中,∠ADC 的平分线交 BC 于点 E,BE= 2,▱AB- CD 的周长是 20,则 CD 的长度是(　 　 ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. 如图,在平面直角坐标系中,▱OABC 的顶点 O、A、C 的坐标分别 是(0,0),(3,0),(1,2),则点 B 的坐标是(　 　 ) A. (2,4) B. (4,2) C. (5,3) D. (4,3) 6. (柳州期末)如图,在四边形 ABCD 中,AD = BC,∠DAB = 50°, ∠CBA= 70°,P、M、N 分别是 AB、AC、BD 的中点,若 BC = 8,则 △PMN 的周长是(　 　 ) A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 二、填空题 7. 【开放性试题】如图,▱ABCD 的对角线 BD 上有两点 E、F,请你 添加一个条件,使四边形 AECF 是平行四边形,你添加的条件 是　 　 　 　 　 　 　 . 第 7 题图 　 　 第 8 题图 　 　 第 9 题图 8. 如图,六边形是中国传统形状,象征六合、六顺之意. 比如首饰 盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等等. 化学上一些分子结构、物 理学上的螺母,也采用六边形. 正六边形,从工程角度上来看,是 最稳定和对称的. 正六边形每一个内角为　 　 　 　 . 9. (乐山期末)如图,在平行四边形 ABCD 中,EF 过对角线的交点 O,若 AB= 4,BC= 5,OE= 3 2 ,则四边形 CDEF 的周长是　 　 　 　 . 三、解答题 10. (深圳期末)如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相 交于点 O,延长 BC 到点 E,使 CE=BC,连接 DE. (1)求证:四边形 ACED 是平行四边形; (2)已知 AB= 5,AC= 6,若 CD= 1 2 BE,求△BDE 的周长. 11. 如图 1,在△ABC 中,D,E 分别是边 AB,AC 上的点. 对“三角形 中位线定理”逆向思考,可得以下 3 则命题: Ⅰ. 若 D 是 AB 的中点,DE= 1 2 BC,则 E 是 AC 的中点; Ⅱ. 若 DE∥BC,DE= 1 2 BC,则 D,E 分别是 AB,AC 的中点; Ⅲ. 若 D 是 AB 的中点,DE∥BC,则 E 是 AC 的中点. (1)小明通过对命题Ⅰ的思考,发现命题Ⅰ是假命题. 他的思考方法如下:在图 2 中使用尺规作图作出满足命题Ⅰ条 件的点 E,从而直观判断 E 不一定是 AC 的中点. 小明尺规作图的方法步骤如下: ①在图 2 中,作边 BC 的垂直平分线,交 BC 于点 M, ②在图 2 中,以点 D 为圆心,以 BM 的长为半径画弧与边 AC 交 于点 E 和 E′. 请你在图 2 中完成以上作图. (2)小明通过对命题Ⅱ和命题Ⅲ的思考,发现这两个命题都是 真命题,请你从这两个命题中选择一个,并借助于图 1 进行 证明. 图 1 　 图 2 12. 如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠B = 90°,AD = 8 cm,BC = 10 cm,AB= 6 cm,点 Q 从点 A 出发以 1 cm / s 的速度向点 D 运 动,点 P 从点 B 出发以 2 cm / s 的速度向点 C 运动,P,Q 两点同 时出发,当点 P 到达点 C 时,掉头沿 CB 方向继续运动,直至点 Q 到达点 D,两点同时停止运动. 若设运动时间为 t s. (1)直接写出:AQ = 　 　 　 　 cm,DQ = 　 　 　 　 cm;(用含 t 的 式子表示) (2)当 t 为何值时,四边形 PQDC 为平行四边形? 得 x= 1. 9. 5　 10. 3m a(a+3) 三、解答题 11. 解:( 1) 原式 = (m 2 -4 m+2 + 3 m+2 ) ÷ (m -1) 2 (m+2)(m-2) = (m+1)(m-1) m+2 ·(m +2)(m-2) (m-1) 2 =m 2 -m-2 m-1 . (2) 原式 = a -3 (a+2) 2 · (a +2)(a-2) a-3 + 2 a+2 = a-2 a+2 + 2 a+2 = a a+2 . 12. 解:例:(1)甲 (2)②　 1 x-1 通分时分子没有乘(x+1) (3 ) 原式 = 2 (x+1)(x-1) - 1 x-1 = 2 (x+1)(x-1) - x+1 (x+1)(x-1) = 2-(x+1) (x+1)(x-1) = 1-x (x+1)(x-1) = - x-1 (x+1)(x-1) = - 1 x+1 . 13. 解:(1)分式的分子与分母同乘(或除以)一个不 等于 0 的整式,分式的值不变 ( 2 ) 原 式 = (3x -5xy-3y) ÷xy (x+6xy-y) ÷xy = 3 y -5- 3 x 1 y +6- 1 x = 3( 1 y - 1 x ) -5 1 y - 1 x +6 . ∵ 1 x - 1 y = 2,∴ 1 y - 1 x = -2,∴ 原式 = 3×( -2) -5 -2+6 = -11 4 ; (3 ) ∵ b = ab + a, ∴ a - b = - ab, ∴ 原 式 = -5(a-b) -7ab a-b-ab = -5×( -ab) -7ab -ab-ab = -2ab -2ab = 1. 追梦专项七　 分式方程 一、选择题 1. B 2. D 【技巧点拨】找到最简公分母是解分式方程的最重要 一步;注意单独的一个数也要乘最简公分母;互为相 反数的两个数为分母,最简公分母为其中的一个,另 一个乘以最简公分母后,结果为-1. 3. B　 【解析】将 x = 1 代入方程,得: m 2-1 - 1 1-2 = 3,解 得 m= 2. 故选 B. 4. A　 【解析】 根据题意,得 3 x2 -(-2)x = - 1 2 ( 1 x - 1 x-2 ),解得 x= 4,经检验 x = 4 是分式方程的解. 故 选 A. 5. B　 【解析】∵ 分式方程有增根,∴ x = 4;分式方程 两边同时乘以(x-4),得 3-x+m = x-4,整理得 m = 2x-7,当 x= 4 时,m= 1. 故选 B. 【技巧点拨】要准确理解分式方程有增根的意义,即 分式方程有增根→最简公分母为零→对应的 x 的值 即为相应的整式方程的根. 6. A 二、填空题 7. 1 x-1 = 6(答案不唯一) 8. 3 2 　 【解析】由题意,得 1 4-x + 1 2-3x = 0,解得 x = 3 2 , 经检验 x= 3 2 是分式方程的解. 9. a≥1 且 a≠2　 【解析】解方程,得 x= 2a-2. ∵ 关于 x 的分式方程x -a x-2 = 1 2 的解为非负数,x- 2≠0,∴ 2a-2≥0 2a-2-2≠0{ ,解得 a≥1 且 a≠2. 10. m>3 且 m≠9　 【解析】解方程,得 x = m -3 2 . ∵ 关 于 x 的方程2x -m x-3 -1 = x 3-x 的解为正数且 x≠3,∴ m-3 2 >0 m-3 2 ≠3 ì î í ï ï ï ï ,∴ m>3 且 m≠9. 11. 15　 【解析】根据题意,得: 1 5 - 1 x = 1 3 - 1 5 . 解得 x = 15. 经检验:x = 15 为原方程的解,∴ x 的值是 15. 三、解答题 12. 解:(1)方程两边同乘(x-1),得 3+x= 3(x-1),解 得 x= 3,检验:当 x= 3 时,x-1≠0,∴ 原分式方程 的解为 x= 3; (2)方程两边同乘(x-5)(x+5),得 3(x+5) +4(x -5)= 2,解得 x = 1,检验:当 x = 1 时,( x-5) ( x+ 5)≠0,∴ 原分式方程的解为 x= 1. 13. 解:(1)(1+50%)x (2)根据题意,得4 200 x - 4 200 (1+50%)x = 14,解得 x = 100,经检验,x= 100 是原方程的解,且符合题意, ∴ (1+50%) x = 150,答:现在每天生产 150 万块 芯片. 14. 解:(1)设足球的单价为 x 元,则篮球的单价为(x +10)元. 依题意,得 600 x+10 = 500 x . 解得 x = 50,经检 验,x = 50 是原方程的解,且符合题意,∴ x+10 = 60. 答:篮球的单价为 60 元,足球的单价为 50 元. (2)设购买足球 m 个,则购买篮球(60-m)个. 依 题意,得 60-m≥2m60-m≤47{ ,解得 13≤m≤20,设学校购 买篮球和足球两种用品共花 w 元,则 w = 60×0. 8 (60-m) +50×0. 7m= -13m+2880. ∵ k= -13<0,∴ 追梦之旅·初中期末真题篇·郑州 ZBB·八年级数学下　 第 6 页 w 随 m 的增大而减小,∴ 当 m = 20 时总费用最 少,则 60-20 = 40(个) . 答:当学校购买 40 个篮 球,20 个足球时,总费用最少. 追梦专项八　 平行四边形 一、选择题 1. C　 【解析】设与这个内角相邻的外角为 x,则这个 内角为 3x,由题意得,x+3x = 180°,解得 x = 45°,由 于正多边形的外角和是 360°,所以这个正多边形 的边数为 360°÷45° = 8. 故选 C. 2. A 3. A　 【解析】设多边形有 n 条边,则 n-2 = 7,解得 n = 9. 故选 A. 【解题技巧】经过 n 边形的一个顶点的所有对角线把 多边形分成(n-2)个三角形,根据此关系式求边数. 4. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ BC = AD,CD= AB,AD∥BC,∴ ∠ADE = ∠DEC. ∵ DE 平 分∠ADC,∴ ∠ADE = ∠CDE,∴ ∠CDE = ∠DEC, ∴ EC=CD. ∵ BE = 2,∴ BC-CD = 2,∵ ▱ABCD 的 周长是 20,∴ BC+CD = 1 2 ×20 = 10,∴ CD = 4. 故选 A. 5. B 6. B　 【解析】∵ P、N 是 AB 和 BD 的中点,AD = BC, BC= 8,∴ PN= 1 2 AD = 1 2 ×8 = 4,PN∥AD,∴ ∠NPB = ∠DAB = 50°,同理,PM = 4, ∠MPA = ∠CBA = 70°,∴ PM=PN= 4,∠MPN = 180°-50°-70° = 60°, ∴ △PMN 是等边三角形. ∴ MN = PM = PN = 4,∴ △PMN 的周长是 12. 故选 B. 【方法点拨】此题考查的是三角形中位线的性质,即 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一 半. 根据中位线定理求得 PM 和 PN 的长,然后证明 △PMN 是等边三角形即可求解. 二、填空题 7. BE=DF(答案不唯一) 　 8. 120° 9. 12　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,且 AB = 4,BC= 5,∴ CD=AB= 4,BC = AD = 5,OA =OC,AD ∥BC,∴ ∠OAE= ∠OCF,∠OEA= ∠OFC,在△OAE 和△OCF 中 ∠OAE= ∠OCF ∠OEA= ∠OFC OA=OC { ,∴ △OAE ≌ △OCF (AAS),∴ OF =OE = 3 2 ,AE =CF,∴ EF =OE+OF = 3,则四边形 CDEF 的周长=CD+DE+EF+CF=CD+ EF+DE+AE= 4+3+5 = 12. 三、解答题 10. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥ BC,AD = BC. ∵ CE = BC, ∴ AD = CE, ∴ 四边形 ACED 是平行四边形; (2)解:由(1)知四边形 ACED 是平行四边形,∵ AC∥DE,∴ DE = AC = 6. ∵ CD = 1 2 BE,CE = BC,∴ BC=CD. 在▱ABCD 中,BO = DO,∴ CO⊥BD,∴ ∠BOC= 90°. ∵ AC∥DE,∴ ∠BDE = ∠BOC = 90°, ∵ BE= 2BC = 2CD = 2AB = 10,∴ BD = BE2 -DE2 = 8,∴ △BDE 的周长 = BD+BE+DE = 8 + 10 + 6 = 24. 11. 解:(1)如图所示; (2)选命题Ⅱ. 证明:过点 E 作 EM∥AB 交 BC 边于点 M,连接 DM. 又∵ DE∥BC,∴ 四边形 EDBM 是平行四边 形,∴ BD=EM,DE =BM. 又∵ DE = 1 2 BC,∴ DE = BM=CM,∴ 四边形 DECM 是平行四边形,∴ DM =CE,DM∥CE,∴ DM∥AE. 又∵ EM∥AD,∴ 四边 形 ADME 是平行四边形,∴ AD = EM,DM = AE,∴ AD=BD,AE =CE,∴ D,E 分别是 AB,AC 的中点. (答案不唯一) 12. 解:(1) t　 (8-t) (2) ∵ AD∥BC,点 Q、点 P 分别在 AD、BC 上,∴ DQ∥PC,当 DQ = PC,四边形 PQDC 是平行四边 形,当点 Q 与点 D 重合时,则 t= 8;当点 P 与点 C 重合时,则 2t= 10,解得 t = 5,当 0<t<5 时,由 DQ =PC 得 8-t = 10-2t,解得 t = 2;当 5≤t<8 时,由 DQ=PC 得 8-t = 2t-10,解得 t = 6,综上所述,当 t = 2 或 t= 6 时,四边形 PQDC 为平行四边形. 追梦专项九　 大题抢分练 1. 解:(1)原式= 3a(a2 -2ab+b2)= 3a(a-b) 2; (2)原式= (2. 2+17. 8) 2 = 202 = 400. 2. 解: ( 1 ) 原 式 = [ x x-1 - 1 x(x-1) ] · x 2 (x+1) 2 = (x+1)(x-1) x(x-1) · x 2 (x+1) 2 = x x+1 ; (2) 原式 = (a +1)(a-1) -3 a-1 · a -1 (a+2) 2 = a 2 -4 a-1 · a-1 (a+2) 2 = (a+2)(a-2) a-1 · a -1 (a+2) 2 =a-2 a+2 . 3. 解:(1)方程两边同乘以(x-2),得 2x+x-2 = -5,解 得 x= -1. 检验:当 x= -1 时,x-2≠0,∴ x= -1 是原 分式方程的解. (2)方程两边同乘以 2(x+3),得 4x+2(x+3) = 7, 解得 x= 1 6 ,检验:当 x= 1 6 时,2(x+3) ≠0,∴ x = 1 6 是原分式方程的解. 4. 解:原式 = 2a +1 (a+1)(a-1) · (a -1) 2 a(a-1) - 1 a+1 = 2a+1 a(a+1) - 1 a+1 = 2a+1-a a(a+1) = a+1 a(a+1) = 1 a ,∵ -1≤a≤2,a≠ ±1、0,∴ a= 2,∴ 当 a= 2 时,原式= 1 2 . 5. 解: x-3(x-2)≥-2① 2x-1 3 >x -1 2 ②{ ,解不等式①得 x≤4,解不 等式②得 x>-1,∴ 原不等式组的解集为-1<x≤4, ∴ 该不等式组的解集在数轴上的表示如图所示: 追梦之旅·初中期末真题篇·郑州 ZBB·八年级数学下　 第 7 页