试卷8 追梦之旅2024年下册期末原创预测卷-【追梦之旅·期末真题篇】2023-2024学年八年级数学下册（北师大版 郑州专用）

郑州专版·八年级数学·下册　 第 1 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 2 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 3 页　 　 　 　 试卷 8 追梦之旅下册期末原创预测卷 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 要使分式 8 a+3 有意义,a 应满足的条件是(　 　 ) A. a≠-3　 　 　 B. a>-3　 　 　 C. a= -3　 　 　 D. a<-3 2. 下列卡通图标分别是“星球”、“宇航员”、“星系”和“黑洞”,其中 是中心对称图形的是(　 　 ) A. B. C. D. 3. 下列不等式变形正确的是(　 　 ) A. 由 a>b,得 ac>bc B. 由 a>b,得 2+a>2+b C. 由 a>b,得-a>-b D. 由 a>b,得 a-1<b-1 4. 如图,射线 OC 是∠AOB 的平分线,D 是射线 OC 上一点,DP⊥ OA 于点 P,DP = 4,若点 Q 是射线 OB 上一点,OQ = 3,则△ODQ 的面积为(　 　 ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第 4 题图 　 第 5 题图 　 第 7 题图 5. 如图,由一个正六边形和正五边形组成的图形中,∠ABC 的度数 应是(　 　 ) A. 72° B. 84° C. 82° D. 94° 6. 关于 x 的分式方程3x +m x-1 =5 的解是正数,则m的取值范围是(　 　 ) A. m>-5 B. m<-5 C. m>-5 且m≠-3 D. m≠-3 7. 如图,在▱ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,BD⊥AD,AB= 5,BC= 3,则以下结论不正确的是(　 　 ) A. AD= 3 B. OB= 2 C. AC= 2 13 D. ▱ABCD 的面积为 6 8. 如图,在△ABC 中,∠A= 45°,∠B= 30°,尺规作图如下:分别以点 B、点 C 为圆心,大于 1 2 BC 为半径作弧,连接两弧交点的直线交 AB 于点 D,连接 CD,则∠ACD 的度数为(　 　 ) A. 75° B. 60° C. 65° D. 45° 第 8 题图 　 　 第 9 题图 　 　 第 10 题图 9. 如图,在△ABC 中,∠C= 90°,AC=BC= 　 2 ,将△ABC 绕点 A 逆时 针方向旋转 60°到△AB′C′的位置,则图中阴影部分的面积 是(　 　 ) A. 2 B. 3 C. 3 2 D. 2 3 10. 如图,已知△ABC 是边长为 3 的等边三角形,点 D 是边 BC 上的 一点,且 BD= 1,以 AD 为边作等边△ADE,过点 E 作 EF∥BC,交 AC 于点 F,连接 BF,CE,则下列结论中正确的有(　 　 ) ①△ABD≌△ACE;　 　 ②四边形 BDEF 是平行四边形; ③S四边形BDEF = 　 3 2 ;　 　 　 ④S△AEF = 　 3 . A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 命题“等边三角形的三个角都相等. ”的逆命题是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 这个逆命题是　 　 　 　 命题. (填“真”或“假”) 12. 若不等式 ( a - 1) x < a - 1 的解集是 x > 1,则 a 的取值范围 是　 　 　 　 . 13. 已知二次三项式 x2 +mx+9 能用完全平方公式分解因式,则 m 的 值为　 　 　 　 . 14. 如图,△ABC 是边长为 8 的等边三角形,D 为 AC 的中点,延长 BC 到点 E,使 CE=CD,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F,则线段 EF= 　 　 　 　 . 第 14 题图 　 　 　 第 15 题图 15. 如图,已知△ABC 的面积为 8,点 D 在线段 AC 上,点 F 在线段 BC 的延长线上,且 BF= 4CF,四边形 DCFE 是平行四边形,则图 中阴影部分的面积是　 　 　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分) 16. (8 分)(1)简便计算:2 0242 -4 048×2 023+2 0232; (2)分解因式:a2(x-y) +b2(y-x). 17. (8 分)(1)解不等式:5(x-2) -2(x+1) >3; (2)解不等式组 4(x+1)≤7x+10 x-5<x -8 3 ì î í ï ï ï ï ,并把它的解集在数轴上表示 出来. 18. 【过程性纠错】(9 分)同学们,在学习路上,我们犯各种各样的 错误是在所难免的. 其实,这些错误并不是我们学习路上的绊 脚石. 相反,如果我们能够聚焦错误、分析错误、发散错误以及 归类错误,那么我们就能够以错误为梯,补齐短板,进而大幅提 升学习效益. 小王在复习时发现一道这样的错题: 解方程:1- x +3 2x-2 = 2x 1-x 解:1- x +3 2(x-1) = -2x x-1 ① 1-(x+3)= -4x② 1-x-3 = -4x③ -x+4x= -1+3④ 3x= 2⑤ x= 2 3 ⑥ (1)请你帮他找出这道题从第　 　 　 　 步开始出错; 试卷 8 　 　 　 　 　郑州专版·八年级数学·下册　 第 4 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 5 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 6 页 (2)请完整地解答此分式方程; (3)通过解分式方程,你获得了哪些经验? (至少要写出两条) 19. (9 分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点分别为 A(-1,4),B(-4,2),C(-3,5)(每个方格的边长均为 1 个单位长 度). (1) 若 △A1B1C1 和 △ABC 关于原点 O 成中心对称, 请画 出△A1B1C1; (2) 将 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°得到 △A2B2C2, 请画 出△A2B2C2; (3)将△ABC 进行平移得到△A3B3C3,若 A3 的坐标为(4,2),则 B3 坐标为　 　 　 　 　 　 ; (4)以 A,B,C,D 为顶点的四边形是平行四边形且点 D 是 y 轴 上一点,则点 D 的坐标是　 　 　 　 　 　 . 20. (10 分)如图,△ABC 中,∠ACB = 90°,CA =CB,点 F 为 BC 延长 线上一点,点 E 在 AC 上,且 AF=BE. (1)求证:△ACF≌△BCE; (2)若∠ABE= 23°,求∠BAF 的度数. 21. (10 分)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AC 与 BD 交于点 E, 点 E 是 BD 的中点,延长 CD 到点 F,使 DF=CD,连接 AF. (1)求证:AB=DF. (2)若 AB= 4,AF= 8,∠F= 30°,求四边形 ABCF 的面积. 22. (10 分)翻开史书,中华文化灿烂的历史展现在眼前,尤其是红 色革命文化的精神,值得人们传承和弘扬,一部部红色典籍更 是每个时代需要的精神食粮. 某学校计划开设阅读课让同学们 学习革命文化,便购买了《红岩》和《林海雪原》供学生阅读,首 次购买书籍的单价及花费如表: 《红岩》 《林海雪原》 单价(元 / 本) x x-3 购买花费(元) 675 540 已知首次购买到的两种书籍数量相等. (1)求学校购买这两种书籍的单价各为多少元 / 本? (2)首次购书之后,学校发现学生对革命文化有了更深入的了 解,现打算再次购买 500 本,且购买的总费用不超过 6 600 元, 那么这次最少可购买《林海雪原》多少本? 23. (11 分)问题情境:在学习《图形的平移与旋转》时,数学兴趣小 组遇到这样一个问题:如图 1,点 D 为等边△ABC 的边 BC 上一 点,将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 60°得到线段 AE,连接 CE. (1)【猜想证明】试猜想 BD 与 CE 的数量关系,并加以证明; (2)【探究应用】如图 2,点 D 为等边△ABC 内一点,将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 60°得到线段 AE,连接 CE,若 B、D、E 三点共 线,求证:EB 平分∠AEC; (3)【拓展提升】如图 3,若△ABC 是边长为 2 的等边三角形,点 D 是线段 BC 上的动点,将线段 AD 绕点 D 顺时针旋转 60°得到 线段 DE,连接 CE. 点 D 在运动过程中,△DEC 的周长最小值为 　 　 　 　 (直接写答案). 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 (AAS),∴ DF=BE= 4,∴ DH = 42 +32 = 5,即 DH 的长为 5. 21. 解:(1)x2 -4x+3 = x2 -2×2x+22 -22 +3 = (x-2) 2 -12 = (x-1)(x-3); (2)有最小值,x2 +2x+2 = x2 +2x+12 -12 +2 = ( x+ 1) 2 +1,∵ (x+1) 2 ≥0,∴ (x+1) 2 +1≥1,当 x = -1 时,x2 +2x+2 = 1. 故当它有最小值时 x 的值是-1. 22. 解:( 1) BF ⊥ EC 　 45° 　 【解析】 ∵ AB = AC, ∠ABC= 60°,∴ △ABC 是等边三角形,∴ ∠ABC = ∠BAC= ∠ACB= 60°,由旋转得∠BAE = 90°,AE = AB= AC,∴ ∠EAC = 90° + 60° = 150°,∴ ∠AEC = ∠ACE= 15°,∴ ∠BCE = ∠ACB-∠ACE = 45°. ∵ △ABC 是等边三角形,AD⊥BC,∴ AD 是 BC 的垂 直平分线,∴ FB =FC,∴ ∠FBC = ∠BCE = 45°,∴ ∠BFC= 90°,∴ BF⊥EC; (2)若∠ABC= α,(1)中的结论成立. 证明:∵ AB =AC,∠ABC=α,∴ ∠ACB = α,∠BAC = 180°-2α, 由旋转得∠BAE = 90°,AE = AB = AC,∴ ∠EAC = 360°- 90° - ( 180° - 2α) = 90° + 2α, ∴ ∠AEC = ∠ACE= 1 2 (180° - ∠EAC) = 45° -α,∴ ∠BCE = ∠ACB+∠ACE=α+(45°-α)= 45°. ∵ △ABC 是等 腰三角形,AD⊥BC,∴ AD 是 BC 的垂直平分线, ∴ FB = FC,∴ ∠FBC = ∠BCE = 45°,∴ ∠BFC = 90°,∴ BF⊥EC; (3)BE= 73 . 　 【解析】由(1)、(2)可得∠BCE = 45°. ∵ AB = AC, AD ⊥ BC, ∴ ∠FDC = 90°, Rt△FDC 中,CF2 = CD2 +DF2 = 2CD2 = 9,∴ CD = DF= BD = 3 2 2 ,∴ AD = AF + DF = 4 2 , ∴ AB = AD2 +BD2 = 146 2 . 由旋转得∠BAE = 90°,AE = AB = 146 2 ,在 Rt △BAE 中, BE = AE2 +AB2 = 73 . 追梦之旅下册期末原创预测卷 一、选择题 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D B D B C D A B C 1. A　 【解析】由题意,得 a+3≠0,解得 a≠-3,∴ a 应 满足的条件是 a≠-3. 故选 A. 2. D　 3. B 4. D　 【解析】过点 D 作 DE⊥OB,垂足为 E. ∵ OC 是 ∠AOB 的平分线,DP⊥OA,DE⊥OB,∴ DE =DP = 4,∴ S△ ODQ = 1 2 ×3×4 = 6. 故选 D. 5. B 　 【解析 】 正 六 边 形 每 个 内 角 的 度 数 为 (6-2)×180° 6 = 120°,正五边形每个内角的度数为 (5-2)×180° 5 = 108°,如图,由题意得∠3 = 360° ÷6 = 60°,∠4 = 360° ÷5 = 72°,则∠2 = 180° -60° -72° = 48°,∴ ∠1 = 360° - 48° - 120° - 108° = 84°. 故选 B. 6. C　 【解析】解方程得 x =m +5 2 ,∵ x≠1,∴ m +5 2 ≠1, ∴ m≠ - 3,∵ 方程的解是正数,∴ m +5 2 > 0,∴ m> -5,∴ m>-5 且 m≠-3. 故选 C. 7. D　 【解析】D. ∵ BD⊥AD,BC = AD = 3,AB = 5,∴ BD= 4,∴ S▱ABCD =AD×BD= 3×4 = 12. 故选 D. 8. A　 【解析】记所作直线交 BC 于点 M. 由题意,得 MD 是 BC 的垂直平分线,∴ CD = BD, ∴ ∠B = ∠BCD= 30°. ∵ ∠A = 45°,∴ ∠ACB = 180° -∠A- ∠B= 105°,∴ ∠ACD= 105°-30° = 75°. 故选 A. 9. B　 【解析】∵ ∠C = 90°,AC =BC = 2 ,∴ AB = 2. ∵ 将△ABC 绕点 A 逆时针方向旋转 60°到△AB′C′的 位置,∴ S△ABC = S△AB′C′,AB = AB′,∠BAB′ = 60°,∴ △ABB′是等边三角形,S阴影 = S△ AB ′ B . 过点 A 作 AD ⊥BB′. ∴ BD=B′D = 1,∴ AD = AB2 -BD2 = 3 ,∴ S阴影 = 1 2 BB′·AD= 1 2 ×2× 3 = 3 . 故选 B. 10. C　 【解析】作 CH⊥EF 于 H. ∵ △ABC,△ADE 都 是等边三角形, ∴ AB = AC, AD = AE, ∠BAC = ∠DAE= ∠ABC= ∠ACB = 60°,∴ ∠BAD = ∠CAE, 在△BAD 与△CAE 中, AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE { ,∴ △BAD ≌△CAE(SAS),故①正确;∴ BD =EC = 1,∠ACE = ∠ABD = 60°. ∵ EF∥BC,∴ ∠EFC = ∠ACB = 60°,∴ △EFC 是等边三角形,∴ EF=EC =BD= 1, EH= 1 2 EF = 1 2 ,∴ CH = 3 2 ,∵ EF∥BD,∴ 四边形 BDEF 是平行四边形,∴ S平行四边形 BDEF = BD·CH = 3 2 ,故 ② ③ 正确. ∵ △ABD≌ △ACE,∴ S△ABD = S△ACE . ∵ AC=BC= 3,EF=CF= 1,∴ AF= 2,AF = 2 3 AC. 过 点 A 作 AG ⊥ BC, ∴ BG = 3 2 , ∴ AG = AB2 -BG2 = 3 3 2 . ∵ S△ ABD = 1 2 ×1×3 3 2 = 3 3 4 ,∴ S△ AEF = 2 3 S△ AEC = 2 3 S△ ABD = 3 2 ,故④错误,∴ ①② ③都正确. 故选 C. 二、填空题 11. 三个角都相等的三角形是等边三角形　 真 12. a<1 13. ±6　 【解析】依题意,得 mx= ±2×3x,解得 m= ±6. 14. 6　 【解析】∵ 点 D 为 AC 的中点,∴ CD = 1 2 AC = 4. ∵ CE=CD,∴ CE = 4. ∵ △ABC 是等边三角形, ∴ ∠ACB = 60°. ∵ DF⊥BC,∴ ∠DFC = 90°,∴ 追梦之旅·初中期末真题篇·郑州 ZBB·八年级数学下　 第 22 页 ∠CDF= 30°,∴ CF= 1 2 CD= 2,∴ EF=CF+CE= 6. 15. 8 3 　 【解析】连接 EC,过 A 作 AM∥BC 交 FE 的延 长线于 M. ∵ 四边形 CDEF 是平行四边形,∴ EF ∥CD,DE∥CF,∴ AC∥FM,AM∥DE∥CF,∴ 四边 形 ACFM,四边形 ADEM 是平行四边形. ∵ △CDE 的边 DE 上的高和△BDE 边 DE 上的高相同,∴ △BDE 的面积和△CDE 的面积相等,∵ △ADE 的 面积和△AME 的面积相等,∴ 阴影部分的面积等 于平行四边形 ACFM 的面积的一半,是 1 2 CF × hCF . ∵ △ABC 的面积是 8,BF = 4CF,∴ BC = 3CF, ∴ 1 2 BC×hBC = 1 2 ×3CF×hCF = 8,则 1 2 CF×hCF = 8 3 , ∴ 阴影部分的面积是 8 3 . 三、解答题 16. 解: ( 1) 原式 = 20242 - 2 × 2024 × 2023 + 20232 = (2024-2023) 2 = 1; (2)原式=a2(x-y) -b2(x-y) = (x-y) (a2 -b2 ) = (x-y)(a+b)(a-b) . 17. 解:(1)去括号,得 5x-10-2x-2>3. 移项、合并同 类项,得 3x>15. 系数化为 1,得 x>5. (2) 4(x+1)≤7x+10① x-5<x -8 3 ②{ ,解不等式①,得 x≥-2, 解不等式②,得 x< 7 2 ,∴ 不等式组的解集为-2≤ x < 7 2 . 解 集 在 数 轴 上 表 示 如 图 所 示. 18. 解:(1)② (2)去分母,得 2(x-1) -(x+3)= -4x. 去括号,得 2x-2-x-3 = -4x. 移项,得 2x-x+4x = 2+3. 合并同 类项,得 5x= 5. 系数化为 1,得 x= 1,检验:当 x= 1 时,2(x-1) = 0,∴ x = 1 是原方程的增根,原方程 无解. (3)解分式方程去分母时,每一项都要乘以最简 公分母,不要漏乘常数项;解分式方程要检验. (答案不唯一) 19. 解:(1)如图,△A1B1C1 即为所求; (2)如图,△A2B2C2 即为所求; (3)(1,0)　 (4)(0,7) 20. ( 1 ) 证明: ∵ ∠ACB = 90°, ∴ ∠ACF = 90°. 在 Rt△BCE 和 Rt△ACF 中, BC=ACBE=AF{ ,∴ Rt△BCE≌ Rt△ACF(HL); (2)解:∵ ∠ACB= 90°,CA=CB,∴ ∠CAB= ∠CBA = 45°. ∵ ∠ABE= 23°,∴ ∠CBE= 22°. ∵ Rt△BCE ≌Rt△ACF,∴ ∠CAF = ∠CBE = 22°,∴ ∠BAF = 45°+22° = 67°. 21. (1)证明:∵ 点 E 是 BD 的中点,∴ BE =DE. ∵ AD ∥BC,∴ ∠ADE = ∠CBE,在△ADE 和△CBE 中, ∠ADE= ∠CBE DE=BE ∠AED= ∠CEB { ,∴ △ADE≌△CBE(ASA),∴ AE =CE. ∵ BE=DE,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD. ∵ DF=CD,∴ DF=AB; (2)解:由(1)知 DF = AB,又∵ DF∥AB,∴ 四边形 ABDF 是平行四边形;过 C 作 CH⊥BD 于 H,过 D 作 DQ⊥AF 于 Q. ∵ 四边形 ABCD 和四边形 ABDF 是平行四边形,AB = 4,AF = 8,∠F = 30°,∴ DF = CD=AB= 4,BD = AF = 8,BD∥AF,∴ ∠BDC = ∠F = 30°. ∵ CH⊥BD,DQ⊥AF,∴ DQ = 1 2 DF = 2,CH = 1 2 DC= 2,∴ S四边形ABCF =S▱ ABDF+S△ BDC = 8×2+ 1 2 × 8×2 = 24. 22. 解:(1)由题知,学校购买《红岩》的单价为 x 元 / 本,购买《林海雪原》的单价为(x-3)元 /本. 根据 题意,得675 x = 540 x-3 ,解得 x = 15,经检验,x = 15 是 原分式方程的解,且符合题意,15 - 3 = 12 (元 / 本) . 答:学校购买《红岩》的单价为 15 元 /本,《林 海雪原》的单价为 12 元 /本. (2)设购买《林海雪原》m 本,则购买《红岩》 (500 -m)本,根据题意,得 12m+15(500 -m) ≤6600, 解得 m≥300. 答:这次最少可购买《林海雪原》 300 本. 23. (1)解:BD =CE,证明:∵ 将线段 AD 绕点 A 逆时 针旋转 60°得到 AE,∴ AD = AE,∠DAE = 60°. ∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB = AC,∠BAC = 60° = ∠DAE, ∴ ∠BAD = ∠CAE, ∴ △ABD ≌ △ACE (SAS),∴ BD=CE; (2) 证明: 由题意得 AD = AE, ∠DAE = 60°, ∴ ∠ADE= ∠AED = 60°,∴ ∠ADB = 120°. ∵ △ABC 是等边三角形,∴ AB = AC,∠BAC = 60° = ∠DAE, ∴ ∠BAD = ∠CAE,∴ △ABD≌ △ACE( SAS), ∴ ∠ADB = ∠AEC = 120°,∴ ∠BEC = 60°,∴ ∠BEC = ∠AED= 60°,∴ EB 平分∠AEC; (3) 2 + 3 　 【解析】连接 AE,由旋转可得 AD = DE,∠ADE= 60°,∴ △ADE 是等边三角形,∴ AD =AE. 由(1)可得△ABD≌△ACE,∴ BD = CE,∴ △DEC 的周长=CD+CE+DE =CD+BD+AD = BC+ AD= 2+AD. ∴ 当 AD 最小时,△DEC 的周长最小, 当 AD⊥BC 时,AD 最小. 此时 BD = 1 2 BC = 1,∴ AD= AB2 -BD2 = 3 ,∴ △DEC 的周长的最小值 为 2+ 3 . 追梦之旅·初中期末真题篇·郑州 ZBB·八年级数学下　 第 23 页