试卷7 追梦之旅2024年下册期末原创模拟卷-【追梦之旅·期末真题篇】2023-2024学年八年级数学下册（北师大版 郑州专用）

郑州专版·八年级数学·下册　 第 1 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 2 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 3 页　 　 　 　 试卷 7 追梦之旅下册期末原创模拟卷 　 　 　 　 测试时间:90 分钟　 　 测试分数:120 分 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 刺绣,古代称之为针绣,是用绣针引彩线,将设计的花纹在纺织 品上刺绣运针,以绣迹构成花纹图案的一种工艺,是中国民间传 统手工艺之一. 下列四个刺绣花纹图案中,既是轴对称图形又是 中心对称图形的是(　 　 ) A. 　 B. 　 C. 　 D. 2. 已知 a,b 是实数,若 a>b,则下列不等式正确的是(　 　 ) A. a-b<0 B. a+2<b+2 C. b a >1 D. 2-3a<2-3b 3. 下列从左到右的变形中,属于因式分解的是(　 　 ) A. x2 +x+2 = x(x+1) +2 B. 3xy2 = 3x·y2 C. x2 -y2 = (x+y)(x-y) D. (x+1)(x-1)= x2 -1 4. 牛顿曾说过:反证法是数学家最精良的武器之一. 我们用反证法 证明命题“三角形中不能有两个直角”,应先假设(　 　 ) A. 三角形中有一个内角是直角 B. 三角形中有两个内角是直角 C. 三角形中有三个内角是直角 D. 三角形中不能有内角是直角 5. 用完全相同的同一种地板砖铺地面,要求不留缝隙,下列不能铺 满地面的是(　 　 ) A. 任意三角形地砖 B. 任意四边形地砖 C. 正六边形地砖 D. 正八边形地砖 6. 已知关于 x 的分式方程 mx x-1 - 2 x-1 = 1 无解,则 m 的值是(　 　 ) A. 1 B. 1 或 2 C. 0 或 2 D. 0 或 1 7. “某学校改造过程中整修门口 3 000 m 的道路,但是在实际施工 时,…,求实际每天整修道路多少米?”在这个题目中,若设实际 每天整修道路 x m,可得方程3 000 x-10 -3 000 x = 20,则题目中用“…” 表示的条件应是(　 　 ) A. 每天比原计划多修 10 m,结果延期 20 天完成 B. 每天比原计划多修 10 m,结果提前 20 天完成 C. 每天比原计划少修 10 m,结果延期 20 天完成 D. 每天比原计划少修 10 m,结果提前 20 天完成 8. 如图,在▱ABCD 中,将△ADC 沿 AC 折叠后,点 D 恰好落在 DC 的延 长线上的点 E 处.若∠B=60°,AB=2,则△ADE 的周长为(　 　 ) A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 第 8 题图 　 　 　 第 9 题图 9. 如图,四边形 ABCD 中,AC⊥BC,AD∥BC,BD 为∠ABC 的平分线,BC =6,AC=8,E、F 分别是 BD、AC 的中点,则 EF 的长为(　 　 ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,DE 平分 ∠ADC 交 AB 于点 E,∠BCD = 60°,AD = 1 2 AB,连接 OE. 下列结 论:①S▱ABCD = AD·BD;②DB 平分∠CDE;③AO = DE;④OE 垂 直平分 BD. 其中正确的个数有(　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 若分式 3 x-2 有意义,则 x 的取值范围是　 　 　 　 . 12. 【结论开放性试题】请写出一个多项式,并把它进行因式分解 (要求第一步先提公因式,第二步能运用公式分解因式). 请写 出该多项式及分解的结果:　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 13. 多边形的每个内角的度数都等于 140°,则这个多边形的边数 为　 　 　 　 . 14. 如图,直线 y1 =mx,y2 = kx+b 交于点 P(2,1),则关于 x 的不等式 kx+b>mx>-1 的解集为　 　 　 　 . 第 14 题图 　 　 　 第 15 题图 15. 如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(4,0),点 B( -3,2),点 C (0,2),点 P 从点 B 出发,以每秒 2 个单位长度的速度沿射线 BC 运动,点 Q 从点 A 出发,以每秒 1 个单位长度的速度向原点 O 运动,到达原点后立刻以原来 4 倍的速度沿射线 OA 运动,若 P、Q 两点同时出发,设运动时间为 t 秒,若以点 A、Q、C、P 为顶 点的四边形为平行四边形,则 t 等于　 　 　 　 秒. 三、解答题(本大题共 7 小题,共 75 分) 16. (8 分)(1)解分式方程:x -1 x + 3 x+2 = 1; (2)解不等式组 x-3(x-2) <8 x+2 2 -1≤x +1 3 ì î í ï ï ï ï ,并把它的解集在数轴上表示 出来. 17. (12 分)在长度均为 1 的正方形网格中建立如图所示的平面直 角坐标系,已知点 A、B、C 的坐标分别为(1,0)、(4,2)、(2,4) . (1)将△ABC 沿着 x 轴向左平移 5 个单位后得到△A1B1C1,请 在图中画出平移后的△A1B1C1; (2)将△ABC 绕着 O 顺时针旋转 90°后得到△A2B2C2,请在图中 画出旋转后的△A2B2C2; (3)将线段 AB 绕着某个定点旋转 180°后得到 B1A1(其中点 A 的对应点为点 B1,点 B 的对应点为点 A1 ),则这个定点的坐标 是　 　 　 　 　 　 . 试卷 7 　 　 　 　 　郑州专版·八年级数学·下册　 第 4 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 5 页 郑州专版·八年级数学·下册　 第 6 页 18. (9 分)如图,AC⊥BC,垂足为 C,AC= 6,BC = 4 3 ,将线段 AC 绕 点 C 按顺时针方向旋转 60°,得到线段 CD,连接 AD,DB. (1)求线段 BD 的长度; (2)求四边形 ACBD 的面积. 19. (10 分)郑州市花是月季花,月季随处可见,可谓“一城月季,满 城花香. ”学校用 6 000 元购买了 A、B 两种月季花苗共 150 株进 行种植.已知一株 B 种月季花苗是一株 A 种月季花苗价格的 2 倍,且购买 A 种月季花苗与购买 B 种月季花苗费用相同. (1)求购买一株 A 种月季花苗、一株 B 种月季花苗各需多少元? (2)若学校第二次购买 A、B 两种月季花苗共 90 株,且第二次购 买 A 种月季花苗的株数不多于 B 种月季花苗株数的 2 倍,问至 少要花多少钱? 20. (12 分)如图,平行四边形 ABCD 中,BD 是它的一条对角线,过 A,C 两点作 AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为 E,F,延长 AE,CF 分 别交 BC,AD 于 G,H. (1)求证:四边形 AGCH 是平行四边形; (2)已知 BE= 4,FH= 3,求 DH 的长. 21. (12 分)对于二次三项式 x2 +2ax+a2,可以直接用公式法因式分 解为(x+a) 2 的形式,但对于二次三项式 x2 +2ax-3a2,就不能直 接用公式法了,我们可以在二次三项式 x2 +2ax-3a2 中先加上 一项 a2, 使其成为完全平方式,再减去 a2 这项,使整个式子的 值不变. 于是有 x2 +2ax-3a2 = x2 +2ax-3a2 +a2 -a2 = x2 +2ax+a2 - a2 -3a2 = (x+a) 2 -(2a) 2 = (x+3a) (x-a) . 像上面这样把二次三 项式因式分解的方法叫做添(拆)项法. (1)请用上述方法把 x2 -4x+3 因式分解; (2)多项式 x2 +2x+2 有最小值吗? 如果有,那么当它有最小值 时 x 的值是多少? 22. (12 分)已知,△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,将边 AB 绕点 A 顺时 针旋转 90°得线段 AE,点 E 为点 B 的对应点,连接 BE,EC,其中 EC 交线段 DA 于点 F,连接 BF. (1)如图 1,若∠ABC= 60°,则 BF 与 EC 的位置关系是　 　 　 　 , ∠BCE= 　 　 　 　 . (2)若∠ABC=α,(1)中的结论是否成立? 若成立,用图 2 给出 证明,若不成立,说明理由. (3)如图 3,若 AF= 5 2 2 ,FC= 3,请直接写出 BE 的长. 图 1 　 图 2 　 图 3 为等边三角形,∴ ∠ABC = 60°,∴ ∠BEF = 30°. ∵ BE=AB+AE= 2+4 = 6,∴ FB= 1 2 EB= 3,∴ CF=FB -BC= 1,则 CD= 2CF = 2;当 E 在线段 AB 的延长 线上,D 在线段 CB 的延长线上时,如图 2 所示, 过 E 作 EF⊥BD,垂足为点 F,可得∠EFC = 90°. ∵ EC = ED,∴ F 为 CD 的中点,即 CF = DF = 1 2 CD. ∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠ABC = ∠EBF = 60°,∴ ∠BEF = 30°. ∵ BE = AE-AB = 4-2 = 2,∴ FB= 1 2 BE = 1,∴ CF = BC+FB = 2+1 = 3,则 CD = 2CF= 6. 综上,CD 的值为 2 或 6. 图 1 　 　 　 图 2 三、解答题 16. 解:(1)原式= -m(1-4m+4m2)= -m(2m-1) 2; (2)原式= (4+a-b)(4-a+b) . 17. 解:解不等式①,得 x<-1,解不等式②,得 x≥2. 所以不等式组无解. 18. 解: 原 式 = a +2-3 a+2 · (a +2)(a-2) (a-1) 2 = a-1 a+2 · (a+2)(a-2) (a-1) 2 =a-2 a-1 ,∵ (a+2)(a-2)≠0,(a-1) 2 ≠0,∴ a≠±2,1,∴ 当 a = -1 时,原式 = -1-2 -1-1 = 3 2 . 19. 解:设大巴车的速度是 xkm / h,则王老师开车的 速度是 1. 2xkm / h. 由题意,得120 x = 120 1. 2x +24 60 ,解得 x= 50. 经检验,x = 50 是原分式方程的解,且符合 题意. 答:大巴车的速度是 50km / h. 20. 解:(1)如图所示: (2)由(1)知 FH 垂直平分 BC,∴ FB =FC,∴ ∠B = ∠FCB. ∵ ∠B = 47°,∴ ∠AFC = ∠B+∠FCB = 47°+47° = 94°. 21. 解:(1)如图②,基本图案是 ,图②是由基本图 案向右平移 2 次后得到的;如图③,基本图案是 ,图③是由基本图案轴对称作图得到的. (部 分答案不唯一) (2)如图所示: (答案不唯一) 22. 证明:(1)在▱ABCD 中,AD = BC,AD∥BC. ∵ AM =CN,∴ AD-AM =BC-CN,即 DM =BN,∴ 四边形 BNDM 是平行四边形; (2)在▱ABCD 中,AB=CD,AB∥CD,∴ ∠E= ∠F. ∵ 四边形 BNDM 是平行四边形,∴ BM = DN. ∵ AM= CN,AB = CD,∴ △AMB≌ △CND( SSS),∴ ∠ABM= ∠CDN. ∵ ∠E= ∠F,BM =DN,∴ △BEM ≌△DFN(AAS) . 23. 解:(1)设本次活动中儿童有 x 人,成人有 y 人. 由题意,得 x+y= 85y= 2x-5{ ,解得 x= 30 y= 55{ . 答:本次活动中 儿童有 30 人,成人有 55 人; (2)由题意得购买 55 件成人 T 恤衫可赠送 5 件 儿童 T 恤衫. 设每件成人 T 恤衫的价格是 m 元, 由题意,得 55m+15×(30-5)≤1530,解得 m≤21, ∴ m 最大为 21. 答:每件成人 T 恤衫的价格最高 是 21 元. 追梦之旅下册期末原创模拟卷 一、选择题 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D C B D B B C A C 1. B　 2. D　 3. C　 4. B 5. D　 【解析】D. 正八边形每个内角是 135 度,不能 整除 360 度,不可以密铺. 故选 D. 6. B　 【解析】解方程,得(m-1)x = 1. ∵ 方程无解,∴ x= 1 或 m-1 = 0,∴ m-1 = 1 或 m= 1,∴ m= 2 或 m= 1. 故选 B. 【方法点拨】分式方程无解有两种情况:一是化成的 整式方程无解;二是分式方程有增根. 7. B　 【解析】设实际每天整修道路 x m,则(x-10)m 表示:实际施工时,每天比原计划多修 10m,∵ 方 程 3 000 x-10 -3 000 x = 20,其中3 000 x-10 表示原计划施工所 需时间,3 000 x 表示实际施工所需时间,∴ 实际施工 比原计划提前 20 天完成. 故选 B. 8. C　 【解析】由折叠可得,∠ACD = ∠ACE = 90°,在 ▱ABCD 中,AB∥CD,∴ ∠BAC = ∠ACD = 90°,又∵ ∠B= 60°,∴ ∠ACB = 30°,∴ BC = 2AB = 4,∴ AD = 4,由折叠可得,∠E = ∠D = ∠B = 60°,AE = AD,∴ △ADE 是等边三角形,∴ △ADE 的周长为 4 × 3 = 12. 故选 C. 9. A　 【解析】∵ AC⊥BC,∴ ∠ACB = 90°. ∵ BC = 6, AC= 8. ∴ AB= 10. ∵ AD∥BC,∴ ∠ADB = ∠DBC. ∵ BD 为 ∠ABC 的 平 分 线, ∴ ∠ABD = ∠CBD, ∴ ∠ABD= ∠ADB,∴ AB=AD= 10,连接 BF 并延长交 AD 于 G. ∵ AD∥BC,∴ ∠GAC = ∠BCA. ∵ F 是 AC 的中 点, ∴ AF = CF, 在 △AFG 和 △CFB 中, ∠AFG= ∠CFB AF=CF ∠GAC= ∠BCA ì î í ïï ï , ∴ △AFG ≌ △CFB ( ASA ), 追梦之旅·初中期末真题篇·郑州 ZBB·八年级数学下　 第 20 页 ∴ BF=FG,AG=BC= 6,∴ DG= 10-6 = 4. ∵ E 是 BD 的中点,∴ EF= 1 2 DG= 2. 故选 A. 10. C 　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ ∠BAD = ∠BCD = 60°,∠ADC = 120°,∵ DE 平分 ∠ADC,∴ ∠ADE = ∠DAE = 60° = ∠AED,∴ △ADE 是等边三角形,∵ AD= 1 2 AB,∴ AD=AE = 1 2 AB,∴ E 是 AB 的中点,∴ DE = AE = BE,∴ ∠BDE = 1 2 ∠AED= 30°,∴ ∠ADB = 90°,即 AD⊥BD,∴ S▱ ABCD =AD·BD,故①正确;∵ ∠CDE = 60°,∠BDE = 30°,∴ ∠CDB= ∠BDE,∴ DB 平分∠CDE,故②正 确;∵ Rt△AOD 中,AO>AD,∴ AO>DE,故③错误; ∵ O 是 BD 的中点,E 是 AB 的中点,∴ OE 是 △ABD 的中位线,∴ OE∥AD. ∵ ∠ADB = 90°,∴ ∠EOB= 90°,∴ EO⊥DB,∴ OE 垂直平分 BD. 故④ 正确. 故选 C. 二、填空题 11. x≠2　 【解析】由题意,得 x-2≠0,∴ x≠2. 12. a3 -4a=a(a+2)(a-2)(答案不唯一) 13. 9　 【解析】多边形的每个外角为 180° - 140° = 40°. 又∵ 多边形的外角和等于 360°,∴ 这个多边 形的边数为 360°÷40° = 9. 14. -2<x<2　 【解析】由图象可知:kx+b>mx 的解集为 x<2. ∵ 两直线交于点 P(2,1),把 P(2,1)代入 y1 = mx,得 2m= 1,解得m= 1 2 ,∴ y1 = 1 2 x,则 1 2 x>-1,解 得 x>-2,∴ mx>-1 的解集为 x>-2,∴ kx+b>mx>-1 的解集为-2<x<2. 15. 1 或 3 或17 2 　 【解析】∵ 点 A(4,0),点 B(-3,2), 点 C(0,2),∴ OA = 4,BC = 3,BC∥x 轴,即 PC∥ AQ,∴ 当 PC= AQ 时,以点 A,Q,C,P 为顶点的四 边形为平行四边形,若 0<t< 3 2 时,BP= 2t,PC = 3- 2t,AQ= t,∴ 3-2t = t,解得 t = 1;若 3 2 <t≤4 时,BP = 2t,PC= 2t-3,AQ= t,此时 2t-3 = t,解得 t = 3;若 4<t<5 时,BP= 2t,PC= 2t-3,OQ = 4( t-4),AQ = 4 -4( t-4),此时 2t-3 = 4-4( t-4),解得 t = 23 6 (舍 去);若 t>5 时,BP = 2t,PC = 2t-3,OQ = 4( t-4), AQ= 4( t-4) -4,此时 2t-3 = 4( t-4) -4,解得 t = 17 2 ,综上所述,当 t 为 1 或 3 或17 2 秒时,以点 A,Q, C,P 为顶点的四边形为平行四边形. 三、解答题 16. 解:(1)方程两边都乘以最简公分母 x(x+2),得 (x-1)(x+2) +3x= x(x+2),解这个方程,得 x = 1. 检验:当 x= 1 时,最简公分母 x(x+2)≠0,∴ 原方 程的解是 x= 1. (2)解不等式 x-3(x-2) <8 得 x>-1,解不等式 x+2 2 -1≤x +1 3 得 x≤2,∴ 不等式组的解集为:-1<x ≤ 2, 解 集 在 数 轴 上 表 示 如 图: 17. 解:(1)如图,△A1B1C1 即为所求; (2)如图,△A2B2C2 即为所求; (3)(0,1) 18. 解: ( 1) 由旋转得 AC = CD = 6, ∠ACD = 60°, ∴ △ACD 是等边三角形. 过点 D 作 DE⊥BC 于点 E. ∵ AC⊥BC,∴ ∠DCE = ∠ACB-∠ACD = 90° - 60° = 30°,∴ 在 Rt△CDE 中,DE = 1 2 CD = 3,∴ CE = 3 3 ,∴ BE = BC-CE = 3 ,∴ BD = BE2 +DE2 = 2 3 ; (2) S四边形 ACBD = S△ ACD +S△ BCD = 1 2 AC×CE+ 1 2 BC× DE= 1 2 ×6×3 3 + 1 2 ×4 3 ×3 = 15 3 . 19. 解:(1)设购买一株 A 种月季花苗 x 元,则购买一 株 B 种月季花苗 2x 元. 根据题意,得3000 x +3000 2x = 150,解得 x= 30,经检验,x = 30 是原方程的解, 且符合题意,∴ 2x = 60. 答:购买一株 B 种月季花 苗需要 60 元,购买一株 A 种月季花苗需要 30 元; (2)设购买 A 种月季花苗 m 株,则购买 B 种月季 花苗(90-m)株. 根据题意得:m≤2(90-m),解得 m≤60,设购买两种月季花苗 90 株所需总费用为 w 元,则 w= 30m+60(90-m)= -30m+5400. ∵ k = -30<0,∴ w 随 m 的增大而减小. ∵ m≤60,且 m 为正整数,∴ 当 m= 60 时,w 取得最小值,为-30× 60+5400 = 3600(元) . 答:至少要花 3600 元钱. 20. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥ BC. ∵ AE⊥BD,CF⊥BD,∴ AG∥CH,∴ 四边形 AGCH 是平行四边形; (2)解:∵ 四边形 AGCH 是平行四边形,∴ CG = AH. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC, AD=BC,∴ ∠HDF = ∠GBE,DH=BG. ∵ AE⊥BD, CF⊥BD, ∴ ∠DFH = ∠BEG = 90°,在△DFH 和 △BEG 中, ∠DFH= ∠BEG ∠HDF= ∠GBE DH=BG { , ∴ △DFH ≌ △BEG 追梦之旅·初中期末真题篇·郑州 ZBB·八年级数学下　 第 21 页 (AAS),∴ DF=BE= 4,∴ DH = 42 +32 = 5,即 DH 的长为 5. 21. 解:(1)x2 -4x+3 = x2 -2×2x+22 -22 +3 = (x-2) 2 -12 = (x-1)(x-3); (2)有最小值,x2 +2x+2 = x2 +2x+12 -12 +2 = ( x+ 1) 2 +1,∵ (x+1) 2 ≥0,∴ (x+1) 2 +1≥1,当 x = -1 时,x2 +2x+2 = 1. 故当它有最小值时 x 的值是-1. 22. 解:( 1) BF ⊥ EC 　 45° 　 【解析】 ∵ AB = AC, ∠ABC= 60°,∴ △ABC 是等边三角形,∴ ∠ABC = ∠BAC= ∠ACB= 60°,由旋转得∠BAE = 90°,AE = AB= AC,∴ ∠EAC = 90° + 60° = 150°,∴ ∠AEC = ∠ACE= 15°,∴ ∠BCE = ∠ACB-∠ACE = 45°. ∵ △ABC 是等边三角形,AD⊥BC,∴ AD 是 BC 的垂 直平分线,∴ FB =FC,∴ ∠FBC = ∠BCE = 45°,∴ ∠BFC= 90°,∴ BF⊥EC; (2)若∠ABC= α,(1)中的结论成立. 证明:∵ AB =AC,∠ABC=α,∴ ∠ACB = α,∠BAC = 180°-2α, 由旋转得∠BAE = 90°,AE = AB = AC,∴ ∠EAC = 360°- 90° - ( 180° - 2α) = 90° + 2α, ∴ ∠AEC = ∠ACE= 1 2 (180° - ∠EAC) = 45° -α,∴ ∠BCE = ∠ACB+∠ACE=α+(45°-α)= 45°. ∵ △ABC 是等 腰三角形,AD⊥BC,∴ AD 是 BC 的垂直平分线, ∴ FB = FC,∴ ∠FBC = ∠BCE = 45°,∴ ∠BFC = 90°,∴ BF⊥EC; (3)BE= 73 . 　 【解析】由(1)、(2)可得∠BCE = 45°. ∵ AB = AC, AD ⊥ BC, ∴ ∠FDC = 90°, Rt△FDC 中,CF2 = CD2 +DF2 = 2CD2 = 9,∴ CD = DF= BD = 3 2 2 ,∴ AD = AF + DF = 4 2 , ∴ AB = AD2 +BD2 = 146 2 . 由旋转得∠BAE = 90°,AE = AB = 146 2 ,在 Rt △BAE 中, BE = AE2 +AB2 = 73 . 追梦之旅下册期末原创预测卷 一、选择题 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A D B D B C D A B C 1. A　 【解析】由题意,得 a+3≠0,解得 a≠-3,∴ a 应 满足的条件是 a≠-3. 故选 A. 2. D　 3. B 4. D　 【解析】过点 D 作 DE⊥OB,垂足为 E. ∵ OC 是 ∠AOB 的平分线,DP⊥OA,DE⊥OB,∴ DE =DP = 4,∴ S△ ODQ = 1 2 ×3×4 = 6. 故选 D. 5. B 　 【解析 】 正 六 边 形 每 个 内 角 的 度 数 为 (6-2)×180° 6 = 120°,正五边形每个内角的度数为 (5-2)×180° 5 = 108°,如图,由题意得∠3 = 360° ÷6 = 60°,∠4 = 360° ÷5 = 72°,则∠2 = 180° -60° -72° = 48°,∴ ∠1 = 360° - 48° - 120° - 108° = 84°. 故选 B. 6. C　 【解析】解方程得 x =m +5 2 ,∵ x≠1,∴ m +5 2 ≠1, ∴ m≠ - 3,∵ 方程的解是正数,∴ m +5 2 > 0,∴ m> -5,∴ m>-5 且 m≠-3. 故选 C. 7. D　 【解析】D. ∵ BD⊥AD,BC = AD = 3,AB = 5,∴ BD= 4,∴ S▱ABCD =AD×BD= 3×4 = 12. 故选 D. 8. A　 【解析】记所作直线交 BC 于点 M. 由题意,得 MD 是 BC 的垂直平分线,∴ CD = BD, ∴ ∠B = ∠BCD= 30°. ∵ ∠A = 45°,∴ ∠ACB = 180° -∠A- ∠B= 105°,∴ ∠ACD= 105°-30° = 75°. 故选 A. 9. B　 【解析】∵ ∠C = 90°,AC =BC = 2 ,∴ AB = 2. ∵ 将△ABC 绕点 A 逆时针方向旋转 60°到△AB′C′的 位置,∴ S△ABC = S△AB′C′,AB = AB′,∠BAB′ = 60°,∴ △ABB′是等边三角形,S阴影 = S△ AB ′ B . 过点 A 作 AD ⊥BB′. ∴ BD=B′D = 1,∴ AD = AB2 -BD2 = 3 ,∴ S阴影 = 1 2 BB′·AD= 1 2 ×2× 3 = 3 . 故选 B. 10. C　 【解析】作 CH⊥EF 于 H. ∵ △ABC,△ADE 都 是等边三角形, ∴ AB = AC, AD = AE, ∠BAC = ∠DAE= ∠ABC= ∠ACB = 60°,∴ ∠BAD = ∠CAE, 在△BAD 与△CAE 中, AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE { ,∴ △BAD ≌△CAE(SAS),故①正确;∴ BD =EC = 1,∠ACE = ∠ABD = 60°. ∵ EF∥BC,∴ ∠EFC = ∠ACB = 60°,∴ △EFC 是等边三角形,∴ EF=EC =BD= 1, EH= 1 2 EF = 1 2 ,∴ CH = 3 2 ,∵ EF∥BD,∴ 四边形 BDEF 是平行四边形,∴ S平行四边形 BDEF = BD·CH = 3 2 ,故 ② ③ 正确. ∵ △ABD≌ △ACE,∴ S△ABD = S△ACE . ∵ AC=BC= 3,EF=CF= 1,∴ AF= 2,AF = 2 3 AC. 过 点 A 作 AG ⊥ BC, ∴ BG = 3 2 , ∴ AG = AB2 -BG2 = 3 3 2 . ∵ S△ ABD = 1 2 ×1×3 3 2 = 3 3 4 ,∴ S△ AEF = 2 3 S△ AEC = 2 3 S△ ABD = 3 2 ,故④错误,∴ ①② ③都正确. 故选 C. 二、填空题 11. 三个角都相等的三角形是等边三角形　 真 12. a<1 13. ±6　 【解析】依题意,得 mx= ±2×3x,解得 m= ±6. 14. 6　 【解析】∵ 点 D 为 AC 的中点,∴ CD = 1 2 AC = 4. ∵ CE=CD,∴ CE = 4. ∵ △ABC 是等边三角形, ∴ ∠ACB = 60°. ∵ DF⊥BC,∴ ∠DFC = 90°,∴ 追梦之旅·初中期末真题篇·郑州 ZBB·八年级数学下　 第 22 页