高中数学“条件概率”两种解法，此篇一文讲透-高考数学试题方法研究增补

高中数学“条件概率”两种解法，此篇一文讲透 条件概率是指事件B在另外一个事件A已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为：P(B/A)读作“在A的条件下B发生的概率”。 求条件概率一般有两种方法： (1)利用条件概率的基本定义 基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用条件概率公式计算； (2)利用缩小的样本空间,实际就是古典概型的基本意义 古典概型公式 根据条件概率的直观定义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，P(B/A)就是以A为样本空间计算B发生的概率，，其中n(AB)表示事件AB包含的基本事件个数，n(A)表示事件A包含的基本事件个数． 条件概率是新课标，新高考的重点和难点，在高考试题中常以选择填空的形式出现，在解答题中也常常出现。我们平时在做练习时，对于每道题目，最好两种解法都要亲自尝试一下，会让你对条件概率有更深刻的理解， 例1、【两种解法】已知正方形ABCD，其内切圆I与各边分别切于点E、F、G、H，连接EF、FG、GH、HE．现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形EFGH外，则P(B/A)=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【法一 利用条件概率的基本定义】由题意可设正方形ABCD的边长为2a，则圆I的半径为r=a，面积为πa2； 正方形EFGH的边长为，面积为2a2； ， 【法二 利用古典概型或缩小的样本空间】 由题意可设正方形ABCD的边长为2a，则圆I的半径为r=a，面积为πa2； 正方形EFGH的边长为，面积为2a2； ．故选：B． 例2、【两种解法】小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，没人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则P(B/A)=（ ） 【答案】 【解析】【法一 利用条件概率的基本定义】小赵独自去一个景点，有4个景点可选，其余三人只能在小赵剩下的景点中选择，可能性为33=27种，所以小赵独自去一个景点的可能性为4×27=108种，， ∴ 【法二 利用古典概型或缩小的样本空间】小赵独自去一个景点，有4个景点可选，其余三人只能在小赵剩下的景点中选择，可能性为33=27种，所以小赵独自去一个景点的可能性为4×27=108种，而4个人去的景点不完全相同景点的可能性为44-4=252种，∴ 例3、【两种解法】把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件，“第二次出现正面”为事件，则P(B/A)=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【法一 利用条件概率的基本定义】“第一次出现正面”：, “两次出现正面”: , 则， 【法二 利用缩小的样本空间】即“第一次出现正面”后，第二次抛硬币，包含两种情形：正面和反面，所以依据古典概型可知，，故选A 例4、【两种解法】从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P(B/A)=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【法一 利用条件概率的基本定义】由题意 事件AB为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：需分两种情况进行讨论，若第一次取到的为3或9，第二次有2种取法；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种取法，故共有2×2+3×3=13个事件 由条件概率的定义： 【法二 利用缩小的样本空间】事件A为“第一次取到的是奇数”后，则缩小了的样本空间变为5×8=40，所以利用古典概型为故选：B 例5、【两种解法】(多选)甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，，表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．事件与事件相互独立 D．、、两两互斥 【答案】BD 【解析】【法一 利用条件概率的基本定义】因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故D正确； 因为， 所以，故B正确； 同理， 所以，故AC错误；故选：BD 【法二 利用缩小的样本空间】可直接得出，， 例6、【两种解法】中秋节吃月饼是我国的传统习俗，若一盘中共有两种月饼，其中4块五仁月饼，6块枣泥月饼，现从盘中任取3块，在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【法一 利用条件概率的基本定义】 设“取到的都是同种月饼”为事件A，“都是五仁月饼”为事件B， ， 所以在取到的都是同种月饼的条件下，都是五仁月饼的概率为 故选：D 【法二 利用缩小的样本空间】很