高中数学 线面平行的证明方法-高考数学试题方法研究增补

高中数学：灵活应用线面平行的几种证明方法 证明线面平行的方法一般有四种，其中利用定义，判定定理和面面平行的性质是最基本的方法，而空间向量法是近几年高考考题中常考甚至可以说是必考题型和方法之一。 线面平行的判定方法： （1）利用定义：线面平行（即直线与平面无任何公共点）； （2）利用判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行即可） （3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必然平行于另一个平面； （4）空间向量法：即证明直线的向量与平面的法向量垂直，就可以说明该直线与平面平行。 (5)与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系 ①若该直线不属于任何一个平面，则该直线与两平面都平行； ②若该直线在其中一个平面内，则其必和另一个平面平行． 例1、【利用判定定理】（2020•泉州一模▪多选）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项中正确的是（　　） A．AC⊥B1E B．B1C∥平面A1BD C．三棱锥C1﹣B1CE的体积为 D．异面直线B1C与BD所成的角为45° 【答案】AB 【解析】如图， ∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面BB1D1D， 又B1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥B1E，故A正确； ∵B1C∥A1D，A1D⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD，故B正确； 三棱锥C1﹣B1CE的体积为，故C错误； ∵BD∥B1D1，∴∠CB1D1是异面直线B1C与BD所成的角，又△CB1D1是等边三角形， ∴异面直线B1C与BD所成的角为60°，故D错误．故选：AB． 例2、【利用面面平行的性质】（2020春•芝罘区校级期末▪多选）下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】在A中，连接AC，则AC∥MN，由正方体性质得到平面MNP∥平面ABC， ∴AB∥平面MNP，故A成立； B若下底面中心为O，则NO∥AB，NO∩面MNP＝N， ∴AB与面MNP不平行，故B不成立； C过M作ME∥AB，则E是中点， 则ME与平面PMN相交，则AB与平面MNP相交， ∴AB与面MNP不平行，故C不成立； D连接CD，则AB∥CD，NP∥CD，则AB∥PN，∴AB∥平面MNP，故D成立． 故选：AD． 例3、【建立空间直角坐标系】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90º,AB=AC=AA1=1,延长A1C1至点P，使C1P=A1C1，连接AP交棱CC1于点D，求证：PB1//平面BDA1; 【证明】如图所示，建立空间直角坐标系O-xyz,以A1为坐标原点，以为x,y,z轴，则有P（0,2,0），B1（1,0,0），B（1,0,1），D（0,1,0.5） 设平面BDA1的法向量为 则有 取z=2,则x=-2，y=-1 ∴ 故PB1//平面BDA1 例4、 与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是（　　） A． 都平行 B． 都相交 C． 在两平面内 D． 至少和其中一个平行 【答案】D 【解析】（1）若该直线不属于任何一个平面，则该直线与两平面都平行； （2）若该直线在其中一个平面内，则其必和另一个平面平行．故选：D 跟踪练习： 1、【利用面面平行】如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，且侧面垂直底面，，分别为，的中点． （1）求证：； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由． 2、【利用面面平行】在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD//BC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=1，AD=2，E为PD的中点. (1)求证：CE//平面PAB (2)求证：平面PAC⊥平面PDC (3)求直线EC与平面PAC所成角的正切值 3、【利用判定定理】如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，AB=1，AA1=2，∠BAD=60°，点P为DD1中点. (1)求证：直线BD1//平面PAC (2)求证：BD1⊥AC (3)求二面角B1-AC-P的余弦值. 4、【利用空间向量或面面平行】（2020春•东城区校级月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1＝AB＝BC＝2． （Ⅰ）求证：BC1⊥平面A1B1C； （Ⅱ）求异面直线B1C与A1B所成角的大小； （Ⅲ）点M在线段B1C上，且，点N在线段A1B上，若