7.1.2 全概率公式-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第三册）

7.1.2 全概率公式 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 1. 结合古典概型，了解利用概率的加法公式与乘法公式 推导出全概率公式的过程，为解决一类概率问题奠定基础. 2. 理解全概率公式，并能利用全概率公式进行相关的概 率计算. 3. 了解贝叶斯公式，并能利用贝叶斯公式进行简单的计 算. 通过本节课的学习，要求会利用全概率公式求解事件概率，会利用贝叶斯公式进行简单的计算，解决简单的应用问题. 课前预习 预习01　乘法公式 在P(B|A)，P(BA)，P(A)这三者中，如果已知P(A)与P(B|A)，能不能求出P(BA)? 提示：能，P(BA)＝P(A)·P(B|A)． 乘法公式 由条件概率公式P(B|A)＝可知，P(BA)＝ 这就是说，根据事件A发生的概率，以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出 的概率．一般地，这个结论称为乘法公式． 预习02全概率公式和贝叶斯公式 如图，有三个箱子，分别编号为1,2,3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同，某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球. (1)求取得红球的概率； (2)发现该球是红球，求该球是取自1号箱的概率． 提示：(1)设事件Bi表示“球取自i号箱”(i＝1,2,3)，事件A表示“取得红球”，其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一同时发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥．运用互斥事件概率的加法公式得到P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A)，再对求和中的每一项运用乘法公式得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝.因此，取得红球的概率为. (2)设事件Bi表示“球取自i号箱”，事件A表示“取得红球”，由问题1知P(A)＝.由条件概率公式得P(B1|A)＝＝＝＝. 1．一般地，如果样本空间为Ω，而A，B为事件，则BA与B是互斥的，且B＝BΩ＝B(A＋)＝BA＋B，从而P(B)＝P(BA＋B)＝P(BA)＋P(B)． 2．全概率公式 (1)当P(A)＞0且P()＞0时，由乘法公式有 P(BA)＝P(A)P(B|A)，P(B)＝P()P(B|)， 所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)．这称为全概率公式． (2)公式推广 定理1　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n. 则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝(BAi)＝(Ai)P(B|Ai)． 上述公式也称为全概率公式．n＝3时的情形可借助下图来理解． 3．贝叶斯公式 (1)一般地，当1＞P(A)＞0且P(B)＞0时，有 P(A|B)＝＝. 这称为贝叶斯公式． (2)贝叶斯公式推广 定理2　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.则对Ω中的任意概率非零的事件B，有 P(Aj|B)＝＝. 上述公式也称为贝叶斯公式． 知识讲解 知识点 全概率公式 1.全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有，称为全概率公式. 【特别注意】全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件B的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. 条件：（1）是一组两两互斥的事件，并且可以构成一个完备的事件组，其和为全集. （2）已知事件B的发生有各种可能的情形，如果事件B发生是由原因 所引起的，则事件B发生的概率 ，每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，这就是全概率公式，所以可以把全概率理解为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的作用，也就是结果发生的可能性与各种原因的作用大小有关.即全概率公式就是将复杂的概率事件转化为简单的各概率事件的和.是计算复杂概率问题的有力工具. 2.* 贝叶斯公式：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，, 有 【特别注意】全概率也是条件概率. 【大招总结】 大招1 两个事件的全概率问题 两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． 大招2多个事件的