2023-2024学年人教版数学八年级下册期末培优专题复习专题六勾股定理（三）

2023-2024年人教版八年级下期末培优专题复习 （解析版） 专题六 勾股定理（三） （知识点精讲+易错点点拨+单元检测卷） 一.知识点精讲 知识点一、网格问题中的勾股定理 正方形网格中的每一个角都是直角,所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两 个格点之间的长度问题,一般情况下都是应用勾股定理来进行计算的。利用勾股定理求线段长度进行有关的计算与证明。解题关键是确定每一条边所在的直角三角形。 例1-1．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识 （1）求△ABC的面积． （2）判断△ABC是什么形状？并说明理由． 易错点点拨 （1）利用割补法用长方形的面积减去三个小三角形的面积即可求出△ABC的面积． （2）根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而得出到其形状． 变式训练1 1．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、； （3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数． 2．如图，每个小方格的边长都是1，求： （1）求△ABC的周长； （2）画出BC边上的高，并求△ABC的面积； （3）画出AB边上的高，并求出高． 3．如图网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识 （1）求△ABC的面积； （2）判断△ABC是什么形状？并说明理由． 知识点二、勾股定理与两点间距离 在平面直角坐标系中，已知平面内、两点坐标，则、两点之间的距离等于． 例2-1．阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是M（x1，y1），N（x2，y2）），M，N两点之间的距离可以用公式MN＝计算．解答下列问题： （1）若点P（2，4），Q（﹣3，﹣8），求P，Q两点间的距离； （2）若点A（1，2），B（4，﹣2），点O是坐标原点，判断△AOB是什么三角形，并说明理由． 易错点点拨 两点间距离公式常用于函数图形内求两点之间距离、求点的坐标的基本公式，是距离公式之一。两点间距离公式叙述了点和点之间距离的关系。 变式训练2 1 .阅读： 在平面直角坐标系中，已知两点的坐标，可构造直角三角形，运用勾股定理，求这两点间的距离；在平面直角坐标系中有两点，，求A，B两点间的距离． 过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，相交于点C，连接． ∴，， 在中，由勾股定理得：， 若，，从而得到两点间的距离公式． 解决下列问题： (1)若，，则两点间的距离 ________ (2)如图2：点，点，则____，若，则________ 2 .探究一：在平面直角坐标系中探究的几何意义 例如：已知，，如果要求、两点之间的距离，可以构造如图所示的直角三角形，则、之间的距离为______． 结论：在平面直角坐标系中，已知平面内、两点坐标，则、两点之间的距离等于因此，的几何意义可以理解为点与点之间的距离． 应用一：的几何意义可以理解为点与点______，______的距离和点与点______，______的距离之和． 探究二：求代数式的最小值． 解： 如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成与点______，______的距离．可以看成点与点______，______的距离． 所以原代数式的值可以看成线段与的长度之和，的最小值就是原代数式的最小值，设点关于轴的对称点为，则，因此求的最小值，只需求的最小值．而点、之间的所有连线中线段最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，所以______． 即的最小值为______． 拓展：代数式的最小值为______． 3 .已知：在平面直角坐标系中，两点的横向（或级向）距离可以用两点横坐标（或纵坐标）的差的绝对值来表示． (1)如图，平面内点A坐标为，点B坐标为，则两点的横向距离______，纵向距离______，最后，可得______． (2) 平面内有点，点，请参考（1）中方法求线段的长．（用含m的式子表示） 知识点三、勾股定理与图形的折叠 折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．通过折叠的性质，将所求的线段和已知的线段转换到同一个三角形中是解题的关键． 例3-1．如图，在矩形ABCD中， AB=3，AD=4，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G； （1）如图1，当∠DAG=30° 时，求BE的长； （2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长； （3）如图3，在矩形ABCD中，E，G分别是BC、CD上的一点，AEEG，将△EGC沿EG翻折得，连接，若是以AE为