辽宁省锦州市2023-2024学年高三下学期质量检测数学试卷

2024年锦州市普通高中高三质量检测 数学(参考答案及评分标准) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有 -项是符合题目要求的。 BDDC CCDA 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9. BC 10. ABD 11. ACD 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. 645 9 1) 13. 14. 256. 175 64 (第一空2分,第二空3分) 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本题满分13分) _2 解:(1)若F为校BB的中点,则平面DEF//平面4.BC.....2分 C 证明:如图,连接EF,DF. ......................... 因为E.F分别是校AA,BB.的中点:所以A.B.//EF. ....4分 因为EF2平面A.BC,ABC平面4BC,所以EF//平面4BC, 因为D.F分别是梭BC,BB.的中点,所以DF//BC. ..............................分. 因为DFt平面A.BC,BCc平面4.BC,所以DF//平面4BC. 因为EFODF=F,EF,DFC平面DEF,所以平面DEF//平面4.BC ........6分 (2)取AD的中点O,连接OA, 由△ABC为等边三角形,D为校BC的中点,可得AD1BC. 因为BC 1 DE ADODED, AD, DEc面ADE, 所以BC1平面ADE, ........-7分 又AO-平面ADE,所以BC1A.O _ 因为AA=3.A.D=AD=3,所以△AA.D为等边三角形,所以A.O1AD 又ADO......平..u.....................9分.. 以O为坐标原点,过点O作CB的平行线作为x轴,以OD,OA所在直线为y轴、:轴建立如 图所示的空间直角坐标系 则40#。)##(1##-#。40.0.3}# .AB=x+3y=0 设平面B44的法向量为=x,v,引)则 取-(3-3,1) n- .. ...................................... ................ .0分 .AA-- 3 2 2~=0. 设平面AAC的法向量为=(x,yV,2)则 D取=(3,3.,-1). .AC=-x+3y=0. .......................................分.. i 9-3-1 5 所以cos(i.ni)= 同9+1+3x3+1+913' ......................1...... _ 即二面角B一AA-C的余弦值为 13 评卷说明:用几何法求解,找到二面角4分,求出该角的余弦值3分 16.(本题满分15分) _stn2n-o020x01-i020)1-1- ...........................................分.. 2 所以/(x)-sin2--1. 62 6 _ 所以函数/(x)的单调递增区间为 ...................分. . (2)已知/(B)=in2B-1=0,0 - ................分 得a=2sinA.c=2sinC ..................分 -0240240- 4 ...................11分 # ·得4。(} 由△ABC是锐角三角形,有 ...............12分. 所以2A-#,则sn2A-) ..............................14分 所以 .24)(3# #22# 2给4分, 4 给3分,理由不充分减1-2分 17.(本题满分15分) 100t(30×40-10×20){*50 解:(1)依据表中数据,x2= ~16.667>6.635 3 40x60×50×50 ......3分 所以在犯错误的概率不超过1%的前提下,可以认为发球权与得分有关 ...........5分 3 (2)(i)由题意p=1, ..........................分 2 即p.--2P,-,所以{Pn是以{为首,# n 所以p.-#(2)”,即-()”。 (1)n-, 以-{}(0- .....................1..... 设(x)=x-sinx,xE(0,1),因为/h(x)=1-cosx>0,所以h(x)在(0.1)上单调递增 显然q>q,则h(q)>h(q),所以q-sinq.>A.-sinq, ...............分. (}-7~-: n:_$n (34--)(sn sn-) -~)($in.- sng)_o-(). ............14.. ##)#(4#1 所以Z(di-g)(sinl-sing)25x25 2 1- 25 .......... ........... ......................................15分 18.(本题满分17分) 解:(1)因为线段GH的中垂线交线段TG于点R,则RH=RG, 所以,R7+H=7+G2V3TH=2 由圆定义知:动点R的轨迹为以T(-1.0)、H(1.0)为焦点:长轴长为23的圆 3+2 ..................-...... -4 代入C: 64 (ii)解法一:设M(x,y),N(xx,y). [x.+x=x。 因为OO=OM+ON所以 y.+y.=y。 又因为Q在曲线E上,代入2x+3y=12得2(x+x)+3(y.+y=2 即2x.+2x.4. 3.+3+6.y三-1.().............-11分 2x.+3y.=6① 又因为{ (2x.+3y=6②' ①+②得:2x2+2x+3y2+3y2=12代入(*)式 得2xX+3yy=0,平方得4x.x+9yy+12xxy¥=0 ①x②得4x2x2+9y22+6x22+6x2y2-36 所以xy+xy-2xxy三6,即(×-xy)6......-14分 又因为直线o:yx-xy=0{oM-、+y}, l-xyl N到直线oM的距离d- ### ......................5分 .#6 ..... .... .................. ..... .16分 2 所以四边形OMQN的面积为定值6. ..............................分. 解法二:设M(X,y),N(x,y),因为OO=OM+ON,所以四边形OMON是平行四边 形,设对角线交点为D ①当直线MN的斜率不存在时,由圆的对称性及O0一OM+ON知O(2x.0). 代入曲线 _ 所以四边形OMON的面积为、6 4 ..........10分. ②当直线MN的斜率存在时,设直线MN的方程为y三kx+b y=x+b 与曲线C联立: 得(3k}+2)x}+6kbx+3b}-6 =$$ 由△>0得3k2-b2+2>0. (x+x2=3 -6kb .362-6 ......................................1分. 1x2= 3^{+2 则x。-x2-3kb 2 32+2' 将(xo,y)代入曲线E整理得:3k{+2=2b^{} () ..........1.. MMI -1+k2(x+x)2-4xx2 36k2b2 4(3b2-6) =V1+k2 (3k2+2)232+2 32222 =2v6V1+2 #7 (32} ...................1.. 将(*)式代入得:IMN|= V6V1+R2 l ........................14分. 又原点O到直线MN的距离d- ............................. 1.分. 所以SaoM=1MNd-1 14 .......................... ...1.分. 所以四边形OMON的面积为定值y6 ....... .............................17.”分. 综上所述,四边形OMON的面积为定值6 19.(本题满分17分) r2y' (x)-8 ff(2.1)--4 y 曲面在点(2.1.4)的切平面方程为z-4=-2(x-2)-4(v-1),即2x+4y+z-12- ............ .. ...............分. (2)/(x,y)--a /”(,y)-- ....................... :2y' y. /”(x,y)-a #(r,)--2 y' y×。 ......................1... 1' 曲面z=/(x,vy)在点(x.,y.,z。)的切平z-2.---(x-xo)--(v-y) 。 _ 即y。x+xy.z+x.yz-3a=0 ...................1..... 与三个坐标轴交于(0,0.3z)(03y,0) (3x,0.0) ....................... 与三个坐标面围成的四面体体积: 。 .......... ................ ......................17分. 7高三数学试卷 第 1 页（共 6 页） 2024 年锦州市普通高中高三质量检测 数学 注意事项: 1.本试卷考试时间为 120 分钟，满分 150 分。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域 内，超出答题区域或写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 下列维恩图能正确表示集合 M={0，1，2}，N={ 2 2 0x x x  }关系的是（ ） 2. 已知复数 z 满足 1z i i   ，z 在复平面内对应的点为 Z(x，y)，则（ ） A . 2 2 ( 1) 2x y   B . 2 2 ( 1) 2x y   C . 2 2 ( 1) 2x y   D . 2 2 ( 1) 2x y   3. 甲、乙两位选手在某次射击比赛中的成绩（每个成绩上面点的个数表示这个成绩出现的次 数）如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A . 甲成绩的平均数等于乙成绩的平均数 B . 甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数 C . 甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D . 甲成绩的方差小于乙成绩的方差 A B C D M M M M N N N N 乙 环数 环数 10 9 8 8 7 7 甲 10 9 第 3 题图 高三数学试卷 第 2 页（共 6 页） 4. 设 ，  是两个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，下列命题是真命题的是（ ） A. 若m  ，m n ，则 n ∥ B. 若m n ，m  ， n  ，则  C. 若  ，m  ， n  ，则m n D. 若 =m  ， =l  ， =n  ，则 n∥l∥m 5. 数列{ }na 的通项公式为 2023 2024 n n a n    ，该数列的前 50 项中最大项是（ ） A. 1a B. 44a C. 45a D. 50a 6. 已知过抛物线 C： 2 2 ( 0)y px p  的焦点 F 的动直线交抛物线 C 于 A，B 两点，Q 为线段 AB 的中点，M 为抛物线 C 上任意一点，若 MF MQ 的最小值为 6，则 p=（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 6 2 7. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，F 为 线段 BD 上的一动点，若 ( 0 0)AF xAE yDC x y   ， ， 则 (2 3 )(2 1)x y  的最大值为（ ） A. 1 2 B. 3 4 C. 1 D. 2 8. 若 0.0001 sin 0.0001a   ， ln1.0001b  ， 0.0001 1.0001c e  ，则（ ） A. a b c  B. b a c  C. c a b  D. a c b  二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知函数 ( )f x 的定义域为 R 且导函数为 ( )f x ，如图是函数 ( )y xf x 的图像，则下列说法正确的是（ ） A. 函数 ( )f x 的减区间是(-2，0) ，(2， ) B. 函数 ( )f x 的减区间是(，-2) ，(2， ) C. -2 是函数 ( )f x 的极小值点 D. 2 是函数 ( )f x 的极小值点 第 7 题图 A B C D E F -2 O x y 2 第 9 题图 高三数学试卷 第 3 页（共 6 页） 10. 已知曲线 C： 2 2 3 2 2( ) 4x y x y  ，则（ ） A. C 过原点 B. C 关于原点对称 C. C 只有两条对称轴 D. 2 2 {( ) ( ) } {( ) 1}x y x y C x y x y  ， ， ， + 11. 设随机变量 X 的分布列如下表所示： X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 则下列命题正确的是（ ） A. 当{ }na 为等差数列时， 5 6 1 5 a a  B. 数列{ }na 的通项公式可能为 128 127 2 n n n a   C. 当数列{ }na 满足 1 2 n n a  (n=1，2，…9)时， 10 9 1 2 a  D. 当数列{ }na 满足 2 ( ) kP X k k a  (k=1，2，…9，10)时， 11 10 ( 1) na n n   三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好 与圆柱的高相等，且圆柱的体积与内切球的体积之比及圆柱的表面积与内切球的表面积之 比均为 3∶2．若圆柱的体积为16 ，则该球的内接正方体体积为 . 13. 已知 ，  是锐角，且 4 cos 5   ， 16 cos( ) 65     ，则 cos  的值为 . 14. 已知 1a ， 2a ， 3a ， 4a {1，2，3，4}，N( 1a ， 2a ， 3a ， 4a )为 1a ， 2a ， 3a ， 4a 中不同数字的种类， 如 N(1，1，4，3)=3，N(2，4，4，2)=2，(1，2，2，1)与(1，2，1，2)视为不同的排列，则( 1a ， 2a ， 3a ， 4a )的不同排列有 个（用数字作答）；所有的排列所得 N( 1a ， 2a ， 3a ， 4a ) 的平均值为 .（第一空 2 分，第二空 3 分） 高三数学试卷 第 4 页（共 6 页） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分 13 分） 如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C— 中，D，E 分别是棱 BC， 1AA 的中点. （1）在棱 1BB 上找一点 F，使得平面 DEF∥平面 1 1A B C ，并证明你的结论； （2）若 1= 3AA ，△ABC 是边长为 2 的等边三角形， 1A D AD ，BC⊥DE，求二面角 1 1 1B A A C— — 的余弦值． 16.（本题满分 15 分） 已知 ( 3 sinm x ， cos )x ， (cos cos )( 0 )n x x x    R，- ， ， 1 ( ) 2 f x m n   ，且 ( )f x 的图像上相邻两条对称轴之间的距离为 2  . （1）求函数 ( )f x 的单调递增区间； （2）若锐角△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 3b  ， ( ) 0f B  ，求 △ABC 面积的取值范围 . 第 15 题图 E A1 A B B1 C1 C D 高三数学试卷 第 5 页（共 6 页） 17.（本题满分 15 分） 某学校举办一场毽球比赛．已知毽球比赛的规则是：若发球方胜，则发球方得 1 分，且继 续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得 1 分，且成为下一回合发球方．甲队教练现在对 甲、乙两队得到发球权与得分的相关性进行分析，根据以往比赛结果得到下表所示的数据： 甲队得分 乙队得分 合计 甲队发球 30 20 50 乙队发球 10 40 50 合计 40 60 100 （1）根据调查数据回答，在犯错误的概率不超过 1%的前提下，可以认为发球权与得分有 关吗？ （2）用以往频率估计概率，且第一回合是甲队发球，设第 n 回合是甲队发球的概率为 pn. （ⅰ）求数列{pn}的通项公式； （ⅱ）设 3 1 5 5 n nq p  ，证明： 1 1 1 12 ( )(sin sin ) 175 n i i i i i q q q q      . 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d        ，其中 n a b c d    ； 2 = ( )P X k  0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 高三数学试卷 第 6 页（共 6 页） 18.（本题满分 17 分） 已知 G 是圆 T： 2 2( 1) 12x y   上一动点(T 为圆心)，点 H 的坐标为(1，0)，线段 GH 的 垂直平分线交 TG 于点 R，动点 R 的轨迹为 C. （1）求曲线 C 的方程； （2）设 P 是曲线 C 上任一点，延长 OP 至点 Q，使 2OQ  ，点 Q 的轨迹为曲线 E. （ⅰ）求曲线 E 的方程； （ⅱ）M，N 为 C 上两点，若OQ OM ON  ，则四边形 OMQN 的面积是否为定值？若是， 求出这个定值；若不是，请说明理由. 19.（本题满分 17 分） 定 义 ：设 0 0 0( )P x y， 是 二 元 函 数 ( )z f x y ， 定 义 域 内 的 点，若 0y y ，极 限 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim x f x x y f x y x      ， ， 存在，则称此极限是函数 ( )z f x y ， 在 0 0 0( )P x y， 关于 x 的偏 导数，记为 0 0( )x x yf  ， .同理 0 0( )y x yf  ， = 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim y f x y y f x y y      ， ， .类比一元函数导数几 何意义，偏导数 0 0( )x x yf  ， 就是平面 0y y 上曲线 0 ( )z f x y y y      ， ， 在点 00 0( )Q x y z， ， 0 0 0( ( ))f x yz  ， 的切线斜率，平面 0z z = 0 0( )x x yf  ， 0( )x x + 0 0( )y x yf  ， 0( )y y 是曲面 ( )f x yz  ， 在点 00 0( )x y z， ， 的切平面.已知曲面 3 ( 0)xyz a a  . （1）若 2a  ，求曲面在点(2，1，4)的切平面方程； （2）求证：曲面上任意点 00 0( )x y z， ， 的切平面与三个坐标面围成的四面体体积是定值， 并求出这个定值． OP