精品解析：湖南省长沙市长郡中学2024届高三下学期模拟（一）数学试卷

大联考长郡中学2024届模拟试卷（一） 数学 命题人：陈家烦 曾卫国 审题人：廖喜全 孔令然 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数z在复平面内对应的点在（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，若，则（ ） A B. 1 C. D. 2 4. 已知函数，若在上单调递增，则的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设集合，现对的任意一非空子集，令表示中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均数为（ ） A. 501 B. 500 C. 1002 D. 1001 6. 若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 某校A､B､C､D､E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有（ ）种. A. 18 B. 36 C. 60 D. 72 8. 在中，为边上一点，，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知双曲线，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的焦点可在轴上也可在轴上 C. 的焦距为6 D. 的离心率的取值范围为 10. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为，成绩位于内的同学成绩方差为.则（ ） 参考公式：样本划分为层，各层的容量､平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，. A B. 估计该年级学生成绩的中位数约为 C. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为 D. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为 11. 设函数，则（ ） A. B. C. 曲线存在对称轴 D. 曲线存在对称中心 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，，，，成等比数列，且2和8为其中的两项，则的最小值为______. 13. 若正四面体的顶点都在一个表面积为的球面上，过点且与平行的平面分别与棱交于点，则空间四边形的四条边长之和的最小值为__________. 14. 已知O为坐标原点，过作x轴的垂线交直线于点B，C满足，过B作x轴的平行线交E：于点P（P在B的右侧），若，则_____________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）若，求的面积； （2）若，求. 16. 如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为和，为圆台的两条不同的母线. （1）求证：； （2）截面与下底面所成夹角大小为，且截面截得圆台上底面圆的劣弧的长度为，求截面的面积. 17. 面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分. （1）若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）； （2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望. 附：若（），则，，. 18. 已知等轴双曲线的顶点分别是椭圆的左、右焦点、. （1）求等轴双曲线的方程； （2）为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，，求的最小值. 19. 已知函数，且与轴相切于坐标原点． （1）求实数值及的最大值； （2）证明：当时，； （3）判断关于的方程实数根的个数，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大联考长郡中学2024届模拟试卷（一）